(2+1)维广义Broer-Kaup方程的精确解

傅海明，戴正德

(1. 广州华夏职业学院 基础部，广州 510935；2. 华南理工大学 数学学院，广州 510640；3.云南大学 数学与统计学院，昆明 650091)

(2+1)维广义Broer-Kaup方程的精确解

傅海明1，2，戴正德3

(1. 广州华夏职业学院 基础部，广州 510935；2. 华南理工大学 数学学院，广州 510640；3.云南大学 数学与统计学院，昆明 650091)

给出了一种新的辅助函数法，构造了一种新的形式的解，并给出了该新的辅助函数的一些新形式的周期解等，从而得出了所要求的偏微分方程的同宿孤立波解和带有周期的孤立波解.作为例子，求解了(2+1)维广义Broer-Kaup方程. 显然该新的辅助函数法也可以求解其他多种类型的非线性发展方程，可见该方法是一种容易理解，计算简便，结果丰富的求解非线性偏微分方程的方法，并且具有一定的物理意义.

(2+1)维广义Broer-Kaup方程；辅助函数法；精确解

求解非线性偏微分方程是一件比较困难的事，迄今为止还没有发现一个方法能求出偏微分方程的所有解.因此吸引了很多学者前来挑战，寻找偏微分方程的解或者寻求解偏微分方程的方法.求解非线性偏微分方程的方法中，常见的方法主要有inverse scattering transformation法[1]，Backlund transformation法[2]， Darboux transformation法[3]，Hirota bilinear法[4-7]，trancated Painlevé expansion法[8]，Exp-function法[9]，包络变换法[10-11]，Jacobi椭圆函数展开法[12]和ADM方法[13]等等.

F-展开法最早由周玉斌和王明亮教授[14]等提出，利用Riccati 方程容易求解的特性，构造非线性发展方程的单函数精确解.F-展开法一提出，很快就掀起了一股研究热潮，由王灯山和张鸿庆教授[15-18]等做了很多推进.第一方面，寻求辅助方程更丰富的精确解；第二方面，试探构造方程更多不同结构的精确解；第三方面，不断提高辅助方程的幂次以得到更丰富的精确解.F-展开法是借助一个简单的微分方程的解来求解非线性偏微分方程的一个好方法，本文对于F-展开法进行了一种改进，假设所要求的非线性偏微分方程有一种新的形式的解，此形式解的一个特殊解就是一般F-展开法所得到的解.求得辅助函数一些新解，从而得到包含周期顾立波和同宿顾立波的解.下面以(2+1)维广义Broer-Kaup方程

(1)

为例，给出新的辅助函数法的基本原理和求解步骤，并给出了新的辅助函数的周期解.

1 扩展辅助函数法的基本方法及步骤

考察非线性发展方程

F(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0,

(2)

其中F为未知数u及其各阶偏导数的多项式，引入行波变换

u(x,t)=u(ξ)，ξ=kx+wt,

(3)

其中：k,w为待定常数.将变换(3)代入方程(2)，得

F(u,u′,u″,u″,u(4),…)=0,

(4)

假定方程(4)具有如下形式的解

(5)

且φ(ξ)满足如下辅助方程

φ′(ξ)=p+qφ2(ξ),

(6)

式(5)、(6)中，n为正整数，p,q,aij,bij(i=0,1,2,…;j=1,2,…)为待定参数.

第一步. 使方程中线性最高阶偏导数项中包含φ(ξ)的偏导数的最高幂次与非线性项中包含φ(ξ)的偏导数的最高幂次相等，可以确定n的值.

第二步. 将式(5)、(6)代入方程(4)，得到一个关于φi(ξ)(i=0,1,2,…)的多项式方程.

第三步. 先把第二步得到的多项式方程通分，然后对分子进行整理，把φ(ξ)相同次幂的放在一起，并另其系数全部为零，就可以得到一个关于未知数p,q,aij,bij(i=0,1,2,…;j=1,2,…)的超定方程组.

第四步. 直接验证可知，方程(6)有下面4种情况的解:

(7)

情况II：当p<0,q>0时：

(C≠1为任意实数)，

(8)

情况III：当p>0,q>0时：

(9)

情况IV：当p<0,q<0时：

(10)

第五步. 解第三步中所得的代数方程组，并结合辅助方程(6)的解，立即可得方程(2)的周期孤立波解和同宿波解.

2 解(2+1)维广义Broer-Kaup方程

引入行波变换，设方程(2+1)维广义Broer-Kaup 方程有如下形式的行波解:

(11)

把式(11)代入方程(1)，并积分两次，令积分常数均为0，得

wH+kH2+k2Hξ+2αkH=0

(12)

设方程(12)具有形如式(5)的解，平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项，可以计算得到n=1.则

(13)

把式(13)和方程(6)代入方程(12)，可以写成关于φi(ξ)(i=0,1,2,3,4)的多项式，令φi(ξ)(i=0,1,2,3,4)的系数等于零，得到如下代数方程组

(a0+a2p)[b0(w+2αk)+k(a0-a2p)-b1pk2]+a1b0pk2=0,

(a0+a2p)[b1w+2αb1k+2a1k)+a1b0(w+2αk)+2a2b0pqk2=0,

(2αk+w)a2b1q+2a1a2qk+2a2b0q2k2=0,

a2q2k(a2+b1k)=0.

(14)

解以上方程组，得到以下3组解：

解组I

(15)

把式(15)和式(7) 、(8)代入式(13)，得到方程(1)的解为

(j=1,2,…,38),

(16)

解组II

(17)

把式(16)和式(7) 、(8)代入式(13)，得到方程(1)的解为

(18)

解组III

(19)

把式(19)和式(7)、(8)代入式(13)，得到方程(1)的解为

(20)

3 结 语

本文给出了扩展了的F-展开法，构造了一种新的形式的解，给出了辅助方程的一些丰富的周期孤立波解等等.一般的F-展开法只能得到解组I的情况，不能得到解组II和解组III的情况，显然，该扩展了的F-展开法能得到更丰富的解.我们把这个扩展了的方法应用于求解(2+1)维广义Broer-Kaup 方程，得到一些丰富的新周期孤立波解和同宿波解.当然，此方法还可以进行扩展，譬如把方程(6)换成Riccati方程φ′(ξ)=r+pφ(ξ)+qφ2(ξ)+…+δφn(ξ)等等.可以看得出，这个新辅助函数法思路清晰、步骤明确、计算过程明了，并适用于相当大部分非线性偏微分方程.

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Studyonexactsolutionsfor(2+1)-dimensionalgeneralizedBroer-Kaupequation

FU Hai-ming1，2, DAI Zheng-de3

(1. Department of Basic Courses, Guangzhou Hua Xia Technical College, Guangzhou 510935, China; 2. School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China; 3. School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming 650091, China)

A new auxiliary function method was given, and some exact solutions of the auxiliary function were given too. As an example, (2+1)-dimensional generalized Broer-Kaup equation was solved. Obviously, the auxiliary function method can be applied to solve other type of nonlinear evolution equations as well.

(2+1)-dimensional generalized Broer-Kaup equation; auxiliary function method; exact solution

2017-02-25.

国家自然科学基金资助项目(11361048).

傅海明(1981-)，男，硕士，副教授，研究方向：偏微分方程、可积系统与孤立子.

O175

A

1672-0946(2017)05-0611-05