高等数学一元函数不定积分求法研究

贺皖松，吴 娟

(亳州职业技术学院 基础教学部， 安徽 亳州 236800)

高等数学一元函数不定积分求法研究

贺皖松，吴 娟

(亳州职业技术学院 基础教学部， 安徽 亳州 236800)

高等数学一元函数积分求法是多元函数积分求法的基础，在高等数学的学习中起举足轻重的作用.根据调查研究发现，许多学生对高等数学一元函数的多种不定积分方法混淆不清，机械套用公式，套用积分方法的现象屡见不鲜，没有真正理解高等数学一元函数积分方法的真谛.系统研究一元函数的不定积分的方法、本质特点，积分准则，结合代表性例题，给出求不定积分的基本步骤，对激发学生学好高等数学的兴趣，为后续课程的学习奠定扎实的基础，提高教学质量，都具有十分重要的意义[1].

高等数学；一元函数；不定积分；方法；步骤

引言

为深入了解高等院校学生对高等数学一元函数不定积分方法的掌握情况，笔者从亳州职业技术学院、亳州学院、安庆职业技术学院、淮北职业技术学院,对四所院校的2016级已学过高等数学的学生中随机选取了200学生作为样本，共发放问卷200份，收回有效问卷200份，回收率100%.经整理取得的统计数据见表1-2.

表2 学生对高数一元函数不定积分方法未掌握的主要原因

从表1，表2我们明显看出，有55%的学生没有真正掌握高等数学一元函数的积分方法，没有掌握积分方法的主要原因是：积分方法概念模糊，多种积分方法混淆不清，积分计算的基本步骤思路不清等.因此研究一元函数的积分方法、准则，计算步骤，使学生真正地理解、掌握一元函数的积分方法不仅对学生的后续学习具有实际指导意义，而且也有利于激发学生对高等数学的学习兴趣；也为广大教育工作者在高等数学一元函数积分方法的教学中提供参考.

1 一元函数不定积分方法

一元函数的不定积分方法从大的方面分为直接积分法、换元积分法与分部积分法，其中换元积分法包括第一类换元积分法［2］与第二类换元积分法.每种积分方法有各自的特点与适用范围，深刻理解不同积分方法的本质特点与精神实质是掌握一元函数积分方法的前提.

1.1 直接积分法

直接积分法的关键之处是对不定积分的概念及其基本的积分公式的熟练掌握程度，因此，教师在授课时必须采用灵活多样的教学方法与手段强调不定积分的概念、基本积分公式的推导，指导学生做适当的练习，使学生彻底掌握直接积分方法.

1.2 换元积分法

换元积分法有两种情况，一种是第一类换元积分法；一种是第二类换元积分法.

第一类换元积分法也称为凑微分法［2］，其本质是把被积函数的一部分通过微分的性质凑到微分符号的里面，转化成基本的积分公式的形式，再利用基本积分公式求出所求的 积 分.例 如 求 积 分分 析：与结合，凑成换元结合基本的积分公式求出所求的结果.如

第二类换元积分法简称为去根号法，去根号的常用方法有简单根式代换、三角代换、倒代换、双曲代换、欧拉代换等［3］.无论何种代换，其本质就是利用合适的脱除根号的方法脱除根号，经化简变形，结合基本积分公式及积分性质，求出所求的积分.例如求积分使用直接积分法与第一类换元积分法都无法求出结果，必须使用第二类换元积分法才能求出所求积分.详细解析过程如下：令则两边微分，则上述求解的过程，其本质用数学公式来表示就是：设 是单调可导函数，且如果则有如下等式成立：其中是的反函数.

第二类换元积分法的三角代换、倒代换等代换与简单根式代换本质相同，就是利用有关三角恒等式去根号，化简变形，求出结果的过程.

1.3 分部积分法

需要指出的是，有时分部积分法与换元积分法结合使用，才能求出所求的不定积分，如求积分其求解过程如下：

1.4 特殊类函数的积分法

这里的特殊类型函数积分是指有理分式函数、有理式三角函数等的积分.

有理分式求积分常用的方法是把被积函数用待定系数法［2］分解为若干个真分式函数的代数和，然后结合积分性质，逐项积分求出结果.如求积分解答如下：把被积函数

三角函数有理式的积分常用的方法有万能公式换元法、“1”的妙用法，分母简化法、以及降幂法等，解题时要具体情况具体对待，要遵循一元函数求积分的简易性准则，不能一概而论.

2 求一元函数不定积分应遵循的准则

求一元函数的不定积分，有一定的章法可循，体现在要遵循的准则上.

2.1 客观性准则

求一元函数的不定积分，首先要遵循积分方法的客观性准则.就是在求不定积分时，应根据被积函数的特点来选择与其相对应的最为恰当的积分方法，而不是随意去选择任何一种积分方法.被积函数的客观性本质特点，决定积分方法的客观性.

2.2 检验性准则

求一元函数的不定积分，就是求被积函数的全体原函数.由于一个函数的全体原函数有无穷多个，但是在遵循客观性准则前提下，有时采用不同的方法所求的结果从外表上看可能不一样，因此，就必须对所求的结果进行检验.方法很简单，只要对所求出的结果求导数，观察求导后是否与被积函数完全相同.如果完全相同，则所求的积分是正确的，否则就是错误的.对所求的结果进行检验的准则，是确保结论正确，纠正错误的有效途径，必须遵循.

3 求一元函数不定积分的基本步骤

一元函数不定积分有其本身固有的客观规律，按其规律求不定积分就能少走弯路.其规律体现在求积分的基本步骤上.

首先，观察被积函数的结构特征，根据其本质结构特征确定与之对应的积分方法，求出积分.如果被积函数在形式上与基本积分公式一致或经化简、变形就能化成基本积分公式的形式，就采用直接积分法，求出所求的积分；如果通过凑微分，能化成基本积分公式的形式，就采用第一类换元积分方法求出积分；如果被积函数中含有根号，且根号只有通过换元的方法才能脱除，则采用第二类换元积分法求积分；如果被积函数是两类不同性质的函数的乘积形式，则采用分部积分法求之；如果被积函数是有理分式函数或有理式三角函数，则采用与之对应的积分方法求出所要求的积分.其次，要检验所求结果的正确性.最后，要反思，总结经验教训，不断完善积分方法，促进学习兴趣的提高.

4 结论

掌握一元函数的不定积分方法并不太难，只要真正理解每一种积分方法的特点、准则、步骤，反复练习，勤于思考，就有可能做到游刃有余.掌握了一元函数不定积分的求法，对一元函数定积分的计算，对高等数学多元函数积分的学习，对激发学生学好高等数学的学习兴趣都具有十分重要的意义.尽管随着许多数学软件如SPSS、等的开发与应用，求一元函数的不定积分可以用电脑代替人脑，但是掌握并理解一元函数的积分方法的特点、求解步骤等仍然具有十分重要的现实意义，因为只有真正掌握了有关积分方法的真谛，才有可能开发出更好、更优秀的积分计算软件.相信在不久的将来，一定有更多、更好的积分计算软件问世.

[1]徐琪霞，赵蕊芬.会计实践教学存在的问题及解决措施[J].经济师，2012（10）：92-93.

[2]曹勇.浅谈不定积分的常用方法[J].科技信息，2012(10)：131+133.

[3]伍丽嫦.不定积分方法归类[J].中国校外教育（理论），2007（8）:76+78-79.

[4]大学文科数学知识点与试题及解答[DB/OL].豆丁网，2015-08-25.http://www.docin.com/p-488808920.html

[5]同济大学，天津大学 等.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008:153 .

A Study of the Methods of Calculating Indefinite Integration of One-Variable Functions in Advanced Mathematics

HE Wan-song，WU Juan

(Basic Teaching Department，Bozhou Vocational and Technical College， Bozhou 236800，China)

Calculating integration of one-variable functions in advanced mathematics is the preliminary of calculating integration of multivariable functions, and plays a vital role in the study of advanced mathematics.According to research, many students are confused by the variety of methods to Indefinite integrate one-variable functions in advanced mathematics.Quite a few of them would inflexibly and blindly apply the formulate and the algorithms without understanding the essence of the methods of integrating one-variable functions in advanced mathematics.It is of great significance for stimulating students’ interest in studying advanced mathematics well, building solid foundation for study in the future,and improving teaching quality, to systematically study the methods and nature of Indefinite integration of one-variable functions as well as its guide-lines, and provide the basic steps and general procedures of Indefinite integration with reference to typical examples.

advanced mathematics； function of one variable,； indefinite integral；method ；step

O172.2

A

2095-7408（2017）05-0012-04

2017-09-19

2017年度安徽省高校优秀青年人才支持计划项目“数学建模在高职药学类专业教学改革中的创新应用研究”（gxy2017216）.

贺皖松（1972— ），安徽亳州人，讲师，硕士，主要从事数学教学及数据统计分析研究.