函数题组训练——函数的概念与性质

陕西 刘麦玲

山东 庄艳侠

湖南 欧阳巧林

江苏 王怀学

函数题组训练
——函数的概念与性质

陕西 刘麦玲

山东 庄艳侠

湖南 欧阳巧林

江苏 王怀学

1.函数的概念

1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应

【典例】高一(9)班1组有6位同学，在某次数学考试的成绩如下表所示：

学号123456成绩807579809880

根据上表回答问题：

(1)上述问题涉及到几个变量？

(2)每个变量的取值范围分别是多少？

(3)学号为4的同学的成绩是否唯一确定？成绩是80的同学是否唯一？

(4)设变量x是该组同学的学号，变量y是该班同学的成绩，则y是x的函数吗？

【解析】(1)上述问题涉及两个变量，即学号与成绩；

(2)学号的取值范围是{1，2，3，4，5，6}；成绩的取值范围是{75，79，80，98}；

(3)学号为4的同学的成绩是80，是确定的唯一的；成绩是80的对应3位同学；

(4)y是x的函数.

【评注】两个变量x，y都有自己的取值范围，对于x每取一个值，相当于在集合A中任取一个数；变量y都有且仅有唯一的值和它对应，相当于在集合B中有且仅有唯一的元素和它对应.

本题中，若设变量x是该组同学的学号，变量y是该班同学的姓名，显然y也不是x的函数.

【变式1】下列对应关系是从A到B的函数的有________．

(1)A={1，2，3，4，5}，B={0，2，4，6，8}，x→2x，x∈R；

(2)A={x|x是矩形}，B={x|x为圆}，f:每个矩形的外接圆；

(3)A={1，2，3，4}，B={x|xlt;10，x∈N}，x→2x+1，x∈R；

(4)A=B=N*，x→x-1，x∈A.

【变式2】在下列对应关系中，f(x)满足函数关系的是

( )

A.f(sin2x)=sinx

B.f(sin2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1|

D.f(x2+2x)=|x+1|

1.2图象一样的函数就是同一函数

【典例】下列函数中一定是同一函数的是

( )

A.①④ B.②③

C.①③ D.②④

【解析】①中，两个函数的定义域不同；

对于④，两个函数的对应关系不相同，定义域也不同．

故选B.

【变式1】下列各组函数表示同一函数的是

( )

A.f(x)=sinx，g(x)=cosx

B．f(x)=2sinx，g(x)=2cosx

【变式2】下列各组函数表示同一函数的是

( )

A.f(x)=sinx，g(x)=tanx

C．f(x)=x，g(x)=x+1

D．f(x)=sin2x+cos2x，x∈R与g(x)=1，x∈R

2函数的定义域

2.1简单的不等式(组)的求法

【典例】解下列不等式组：

所以{x|-2≤x≤4}；

所以x2=1，x=±1，不等式解集是{-1，1}；

于是{x|x≤-2且x≠-4或x≥2且x≠4}；

由数轴可知，不等式组的解集是{x|-1≤xlt;2}.

【变式1】求下列函数的定义域.

2.2使解析式有意义的自变量取值集合是函数的定义域

所以函数f(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2].

2.3复合函数的定义域也是自变量x的取值范围

( )

A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

【解析】因为f(x)的定义域为[0，2]，

所以对g(x),0≤2x≤2,且x≠1,

【变式1】已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为

( )

【变式2】已知f(x)的定义域为[-2,3]，则函数f(x-2) 的定义域是________.

2.4求函数解析式遇到的函数定义域问题

【变式1】已知f(x2+1)=2x2+3，则f(x)=________．

2.5用区间或集合表示函数定义域

2.6对数函数定义域不能成为永远的痛

【典例1】求下列函数的定义域：

(2)y=log7(x2-2x-3)；

(3)y=log(x+1)(16-4x)；

(2)因为x2-2x-3gt;0，即(x-3)(x+1)gt;0，解得xlt;-1或xgt;3，即函数的定义域是(-∞，-1)∪(3，+∞)；

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)y=log(x-1)(3-x)；

【典例2】已知函数f(x)=logax(agt;0，a≠1)在其定义域内为增函数，则满足f(|x-1|)lt;0的实数x的取值范围为________．

【解析】f(|x-1|)lt;0等价于loga|x-1|lt;loga1，

则0lt;|x-1|lt;1，

即-1lt;x-1lt;1且x≠1⟺0lt;xlt;2且x≠1，

所以实数x的取值范围(0，1)∪(1，2)．

【变式1】“Mgt;N”是“log2Mgt;log2N”成立的________条件(用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空)

【变式2】已知定义在集合A上的函数f(x)=log2(x-1)+log2(2x+1)，其值域为(-∞，1]，则A=________．

3.函数的值域

3.1先内后外求复合函数的函数值

【解析】因为7lt;9，

所以f(7)=f[f(7+4)]=f[f(11)].

因为11gt;9，所以f(11)=11-3=8，

所以f(7)=f(8)；

因为8lt;9，所以f(8)=f[f(8+4)]=f[f(12)]，

所以f(7)=f(8)=f[f(12)]；

因为12gt;9，所以f(12)=12-3=9，

所以f(7)=f(8)=f(9)；

因为9=9，所以f(9)=9-3=6，

所以f(7)=f(8)=f(9)=6；

所以f(7)=6.

( )

A.-1 B.-2

C.1 D.2

( )

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

3.2赋值法求函数的值

【解析】令g(x)=-3，1-2x=-3，x=2，g(2)=-3.

【变式1】已知f(x+2)=2x+3，则f(8)=________.

【变式2】已知f(x+1)=3(x-2 017)2+1，则f(2 018)=________.

3.3分离常数法求函数值域

【典例】求下列函数的值域：

3.4基本不等式法求函数值域

即y≤-1或y≥3.

所以所求函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞).

( )

A．-3 B．3

C．4 D．-4

3.5三角换元法求函数值域

3.6函数单调性法求最值(值域)

【解析】此函数的定义域为[1,+∞)，且是增函数，当x=1时，ymin=1，函数的值域为[1,+∞).

3.7有界性法求函数的值域

所以-1lt;y≤1，即函数值域为(-1，1]．

3.8不等式性质或函数图象求值域

【典例1】求下列函数的值域：

所以f(x)≠1，所以函数值域是(-∞，1)∪(1，+∞)；

所以函数值域是{y|1lt;ylt;2}；

【变式1】函数f(x)=x2-2x+3的值域是________.

【变式2】函数f(x)=2-3-x(-1≤x≤2)的值域是________.

函数f(x)在[2，4]上单调递增，

(1)求证：函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数；

(2)已知g(x)=log2f(x)，求函数g(x)=log2f(x)的值域.

4.函数的解析式

4.1已知函数的名称用待定系数法求解析式

【典例】求一个实系数的一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7.

【解析】设f(x)=ax+b(a≠0)，

则f{f[f(x)]}=a[a(ax+b)+b]+b

=a3x+a2b+ab+b

=8x+7,

所以a3=8且a2b+ab+b=7,解得a=2,b=1.

故所求f(x)=2x+1.

【变式1】若一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x-3，则函数f(x)的解析式为________.

【变式2】已知函数f(x)=2x+3，g(x)=4x-5，求满足f[h(x)]=g(x)的h(x)为________.

4.2构造方程组用消去法求函数解析式

【变式2】已知函数f(x)满足f(1-x)=2f(x)-x2，求函数f(x)的解析式.

【典例2】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，求f(x),g(x).

【解析】由已知得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，

即f(x)+g(x)=-x3+x2+1，与f(x)-g(x)=x3+x2+1联立解方程组，得f(x)=x2+1，g(x)=-x3．

【变式1】若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=ex，则g(0),f(2),f(3)的大小关系是________.

4.3用换元法(配凑法)求函数f(x)的解析式

【典例1】求分别满足下列条件的函数f(x)的解析式：

(1)f(x-1)=(x-1)2+1；

(2)f(x-1)=x2-2x+2；

(3)f(x-1)=3x-2；

(4)f(2x)=3x2+1.

【解析】(1)f(x)=x2+1；

(2)因为f(x-1)=(x-1)2+1，所以f(x)=x2+1；

(3)因为f(x-1)=3(x-1)+1，所以f(x)=3x+1；

【变式1】已知f(x+1)=x2-2x+2，则f(x+3)=________.

4.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法

( )

【解析】设函数g(x)的图象上任意一点(x,y)，

因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，

【变式1】已知函数f(x)=x2+2x-3，当点(x，y)在y=g(x)的图象上运动时，点(2x，3y)在函数y=f(x)图象上运动，则y=g(x)的解析式是____________.

【变式2】已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则

( )

A．f(2x)=e2x(x∈R)

B．f(2x)=ln2·lnx(xgt;0)

C．f(2x)=2ex(x∈R)

D．f(2x)=lnx+ln2(xgt;0)

4.5判别式法求最值

【典例1】已知关于x的方程tx2+4x+t+3=0有实数解，求实数t的取值范围．

【解析】当t=0,4x+3=0有实数解；

当t≠0，关于x的方程tx2+4x+t+3=0有实数解等价于二次函数f(x)=tx2+4x+t+3在R上必与x轴有交点，则Δ=16-4t(t+3)≥0,得t2+3t-4≤0，所以-4≤t≤1且t≠0．

综上，实数t的取值范围{t|-4≤t≤1}．

【变式1】已知关于x的一元二次方程kx2+2x-3=0有实数解，求实数k的取值范围.

【变式2】关于x的方程(y+1)x2-6x-y+9=0在(0,1)上有解，求正数y的取值范围.

【典例2】设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.

【解析】设2x+y=t，则y=t-2x，

代入4x2+y2+xy=1整理得6x2-3tx+t2-1=0，

【变式1】若x,y∈R，设M=x2-2xy+3y2-x+y，则M的最小值为________.

【变式2】设x,y为实数，若x2-3xy+y2=2，则x2+y2的最小值是________.

【解析】(y+1)x2-6x+9-y=0在(0，1)上有解，

也就是二次函数f(x)=(y+1)x2-6x+9-y(ygt;0)在(0，1)上与x轴有公共点.

故函数的最小值为8.

【变式2】若正数x,y满足x+3y=5xy，则3x+4y的取值范围是________.

5.函数性质

5.1函数的单调性

( )

A．f(-5)gt;f(3)

B．f(-5)lt;f(3)

C．f(-3)gt;f(-5)

D．f(-3)lt;f(-5)

【解析】f(x)在(0，+∞)上为增函数，又为奇函数，故f(x)在(-∞，0)上也为增函数，因为-3gt;-5，所以f(-3)gt;f(-5)，故选C.

( )

B．f(x)=(x-1)2

C．f(x)=ex

D．f(x)=ln(x+1)

【典例2】已知函数y=f(x)的定义域是(0，2)，且对于任意的正数m，都有f(x+m)lt;f(x)，求满足f(2-a)lt;f(a2)的实数a的取值范围.

【解析】因为对于任意的正数m，都有f(x+m)lt;f(x)，所以函数y=f(x)在(0，2)上单调递减.

因为函数y=f(x)在(0，2)上单调递减，

且f(2-a)lt;f(a2)，所以2-agt;a2，

又函数定义域是(0，2)，

因此实数a的取值范围是0lt;alt;1.

【变式1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调增函数，且f(x2+x)gt;f(2)，求实数x的取值范围.

【变式2】已知函数y=f(x)在[0，2]上是单调增函数，且f(x+1)gt;f(2x)，求实数x的取值范围.

【典例3】(1)函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是

( )

A．[-2，2] B．[-1，1]

C．[0，4] D．[1，3]

(2)设函数y=f(x)为R上的单调增函数，函数图象经过(3，1)，求不等式f(x)≤1的解集.

【解析】(1)因为函数为奇函数且f(1)=-1，

要满足-1≤f(x-1)≤1，

即f(-1)≤f(x-1)≤f(1)，

又函数在R上单调递减，所以-1≤x-1≤1，

得1≤x≤3，所以x∈[1，3]，故选D.

(2)函数图象经过(3，1)，则f(3)=1，

所以f(x)≤f(3)，

因为函数y=f(x)为R上的单调增函数，所以x≤3，

不等式f(x)≤1的解集是{x|x≤3}.

【典例4】已知函数f(x)=x3+x对任意的m∈[-2，2]，有不等式f(mx-2)+f(x)lt;0恒成立，求实数x的取值范围.

【解析】因为f′(x)=3x2+1gt;0，

所以f(x)=x3+x在R上单调递增，

又f(x)=x3+x为奇函数，

因此不等式f(mx-2)+f(x)lt;0等价于mx-2lt;-x，

即(m+1)xlt;2对任意的m∈[-2，2]恒成立.

(法1)当m=-1时，x∈R；

(法2)设g(m)=xm+x,

【变式1】已知函数f(x)=2x+sinx对任意的m∈[-2，2]，有不等式f(mx-3)+f(x)lt;0恒成立，则x的取值范围是________.

5.2函数的奇偶性

【典例1】已知函数f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=

( )

A．8 B．2 014

C．2 015 D．0

【解析】f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R，b∈R)，

f(-x)=-asin3x-bx3+4，

所以f(2 014)+f(-2 014)=8.

又因为f′(x)=3acos3x+3bx2为偶函数，

所以f′(2 015)-f′(-2 015)=0，

f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=8.

故选A.

【变式1】函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2，则f(-a)的值为

( )

A.3 B.0

C.-1 D.-2

【解析】(法1)由于f(x)是偶函数，故f(|x|)=f(x)，

【变式1】定义在R上的偶函数g(x)，当x≥0时g(x)单调递减，若g(1-m)lt;g(m)，则m的取值范围是________．

【解析】由f(x)是奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，

所以k2=1,k=±1．经检验符合.

5.3函数图象的对称性

定义域为{x|x≠0且x≠-1}，

该函数为奇函数关于原点中心对称，

故原来的函数对称中心为(-1,0).

【典例2】函数f(x)=(x-3)3+x-1，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，求a1+a2+…+a7.

【解析】令g(x)=f(x)-2=(x-3)3+(x-3)，

所以g(x)图象关于(3，0)对称．

因为f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，

所以f(a1)-2+f(a2)-2+…+f(a7)-2=0.

即g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0.

因为g(x)图象上的点(a1,g(a1)),(a2,g(a2)),(a3,g(a3)),…,(a7,g(a7))与(a7,g(a7)),…,(a3,g(a3)),(a2,g(a2)),(a1,g(a1))关于(a4,g(a4))中心对称，

即a4=3，故a1+a2+…+a7=7a4=21.

【变式1】将函数g(x)=x3-3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，则函数g(x)图象对称中心的坐标为________．

【变式2】已知f(x)=(x-1)3+1，则f(-4)+f(-3)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=________.

【变式3】已知函数f(x)=(x+a)3对任意x有f(1+x)=-f(1-x)，则f(-2 015)+f(2 017)的值为________．

5.4函数周期性

(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，则f(99)=________.

所以f(x)是周期为4的函数，f(5)=f(1)=-5，

【变式1】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，则f(99)=

( )

A.13 B.2

【变式2】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=2 016，若f(3)=2，则f(2 017)=________．

( )

A.-2 B.-1

C.0 D.1

【典例3】已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)=-f(x-2)，且f(1)=1，则f(64)=________．

【解析】f(x+1)=-f(x-2),用x+2替换x,

得f(x+3)=-f(x),f(x+6)=f[(x+3)+3]

=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),

所以函数f(x)的周期为6.

因为f(1)=1,f(4)=-f(1)=-1,

所以f(64)=f(6×10+4)=f(4)=-1.

【变式1】已知奇函数f(x)图象关于x=2对称，且f(1)=1，则f(65)=________.

参考答案

1.函数的概念

1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应

1．(3) 【解析】(1)集合A中的元素5，按照对应法则，在B中应该是对应10，但没有，不是从A到B的函数；

(2)集合A，B不是数集，不是函数；

(3)f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，f(4)=9，是从A到B的函数；

(4)当x=1时，x-1=0∉B，不是从A到B的函数.

C.f(12+1)=f(2)=2,f((-1)2+1)=f(2)=0,则f(2)=|±1+1|=0,2;

即A，B，C选项均不满足同一自变量所对应的函数值是唯一的，故选D.

1.2图象一样的函数就是同一函数

2.D 【解析】A，B，C中函数的图象不同，D中函数的图象完全相同，故选D.

2函数的定义域

2.1简单的不等式(组)的求法

2.2使解析式有意义的自变量取值集合是函数的定义域

1.[-3，1] 【解析】3-2x-x2≥0,解得-3≤x≤1,因此定义域为[-3，1].

2.3复合函数的定义域也是自变量x的取值范围

2.[0,5] 【解析】由f(x)的定义域为[-2,3]得-2≤x≤3，用x-2替换x得-2≤x-2≤3即0≤x≤5.所以f(x)的定义域为[0,5].

2.4求函数解析式遇到的函数定义域问题

1.f(x)=2x+1(x≥1) 【解析】(配凑法)f(x2+1)=2(x2+1)+1，所以f(x)=2x+1(x≥1).

2.6对数函数定义域不能成为永远的痛

【典例1】

3.【解析】A={x|x-2gt;0}=(2，+∞)，B={x|x-1≥0}=[1，+∞).A∪B=(2,+∞)∪[1，+∞)=[1，+∞)，A∩B=(2，+∞)∩[1，+∞)=(2，+∞).

【典例2】

1.必要不充分 【解析】由Mgt;N，不能得到log2Mgt;log2N，因为M，N不一定大于0.反过来，由log2Mgt;log2N可得Mgt;N.

3.1先内后外求复合函数函数的值

1.3 【解析】f(3)+f(6)=f(5)+1=f(7)+1=2+1=3.

2.B 【解析】由题f(x)=f(x-1)-f(x-2)，xgt;0，得f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)，f(0)=log2(4-0)=2，则-f(0)=-2，故选B.

3.2赋值法求函数的值

1.15 【解析】由8=x+2，x=6，由f(x+2)=2x+3得f(6+2)=2×6+3=15.

2.1 【解析】令x=2 017，f(x+1)=f(2 017+1)=f(2 018)，所以f(2 018)=f(2 017+1)=3(2 017-2 017)2+1=1.

3.4基本不等式法求函数值域

3.5三角换元法求函数值域

3.6函数单调性法求最值(值域)

3.7有界性法求函数的值域

3.8不等式性质或函数图象求值域

【典例1】

1.[2，+∞) 【解析】f(x)=(x-1)2+2≥2，所以函数f(x)=x2-2x+3的值域是[2，+∞).

【典例2】

(法2)因为xgt;0,所以x+1gt;1，

可以得到函数f(x)的值域(0，2)，

所以g(x)=log2f(x)的值域是(-∞，1).

4.1已知函数的名称用待定系数法求解析式

2..h(x)=2x-4 【解析】因为f(x)和g(x)均为一次函数，所以h(x)为一次函数，设h(x)=ax+b，所以f[h(x)]=2h(x)+3=2(ax+b)+3=2ax+2b+3=4x-5，所以2a=4，2b+3=-5，解得a=2，b=-4，所以h(x)=ax+b=2x-4.

4.2构造方程组用消去法求函数解析式

【典例1】

【典例2】

4.3用换元法(配凑法)求函数f(x)的解析式

1.f(x+3)=x2+2x+2 【解析】设t=x+1，x=t-1，则f(t)=(t-1)2-2(t-1)+2=t2-4t+5，所以f(x)=x2-4x+5，f(x+3)=(x+3)2-4(x+3)+5=x2+2x+2.

4.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法

2.D 【解析】设函数y=f(x)的图象上任意一点(x，y)，则因为点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，所以(y，x)满足方程y=ex，即x=ey，两边取对数得，lnx=y，即f(x)=lnx，故f(2x)=ln2x=lnx+ln2(xgt;0)，故选D.

4.5判别式法求最值

【典例1】

【典例2】

【典例3】

5.函数性质

5.1函数的单调性

【典例1】

【典例2】

1.xgt;1或xlt;-2 【解析】由题意得x2+xgt;2，(x-1)(x+2)gt;0，得xgt;1或xlt;-2，实数x的取值范围xgt;1或xlt;-2.

【典例4】

5.2函数的奇偶性

【典例1】

1.B 【解析】f(a)=a3+sina+1，f(-a)=-a3-sina+1，f(a)+f(-a)=2，故f(-a)=0,故选B.

【典例2】

【典例3】

5.3函数图象的对称性

【典例1】

【典例2】

1.(1，-2) 【解析】平移后得g1(x)=(x+1)3-3(x+1)2+2，即g1(x)=x3-3x．由函数y=g1(x)为奇函数，它的对称中心为O(0，0)，所以函数g(x)=x3-3x2的对称中心为(1，-2)．

2.11 【解析】f(x)=(x-1)3+1是由y=x3平移得到的，因此f(x)的对称中心为(1，1)，有f(x)+f(2-x)=2，所以f(-4)+f(-3)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=[f(-4)+f(6)]+[f(-3)+f(5)]+…+[f(0)+f(2)]+f(1)=5×2+1=11．

3.0 【解析】用1-x替换x得f(2-x)=-f(x)，即f(2-x)+f(x)=0，可知函数f(x)关于点(1，0)对称，所以f(-2 015)+f(2 017)=0.

5.4函数周期性

【典例1】

【典例3】