一例抛物线焦点弦中点轨迹的几种求法

姜学杰

摘要：抛物线焦点弦问题蕴含丰富的数学思想，对这一问题的研究有助于挖掘抛物线的性质，也有助于学生拓展解题思路、掌握基本的數学思想方法。

关键词：抛物线；焦点弦；中点轨迹

二次曲线焦点弦中点轨迹的求法是平面解析几何中最常见、最基本的方法之一。对该问题的切入点不同，相应的求解方法也不同，而不同的方法又体现着不同的数学思想，因而对这一问题的深入研究对深刻理解二次曲线以及学生掌握基本的数学思想方法大有大有裨益。本文以抛物线为例来谈这一问题。

例 求抛物线y2=2px过焦点的弦的中点轨迹方程。

思路一：常规解法（线线相交，找交点连线的中点），用韦达定理

解法一：如图，PQ是过焦点F的弦，M是PQ的中点，设M（x，y），这P（x1，y1），Q（x2，y2）。

设PQ所在直线的方程为

①

由 得 ，代入①得

，化简得

②

由韦达定理，有

③

代入①并化简得

这就是所求的M的轨迹方程。

思路二：用点线从属关系和韦达定理

解法二：P、Q、M、F满足的关系式为

由④、⑤求出x1、x2并代入③化简得

⑥

④+⑤得

⑦

⑦+⑥×2得

上式即为所求轨迹方程。

解法三：解法二中⑤-④得

代入解法一的①得 。

思路三：定义法

解法四：分别过P、Q作准线的垂线PR、QS于R、S，过F作PQ的垂线FT交准线于T，连接PT、QT，易知⊿RFS、⊿PTQ都是直角三角形，且FK、FT分别是它们斜边上的高，所以

│FT│2=│PF│·│QF│，即

解法五：由上图可知，

即 ，

化简得 。

思路四：用四点共线求解

解法六：

将 代入上式并化简得 ，endprint