水下岩巷围岩蠕变Norton-Hoff解法与分析

王永刚,孙 伟,2,徐张建

(1.西北综合勘察设计研究院,陕西 西安 710003; 2.成都理工大学 地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室,四川 成都 610059)

水下岩巷围岩蠕变Norton-Hoff解法与分析

王永刚1,孙 伟1,2,徐张建1

(1.西北综合勘察设计研究院,陕西 西安 710003; 2.成都理工大学 地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室,四川 成都 610059)

富水环境中岩体巷道的长期稳定性与水的渗流、岩体流变等因素紧密相关。文章假设围岩蠕变行为服从Norton-Hoff定律,建立水下岩巷扰动区蠕变的计算模型,并利用Laplace变换以及有效应力原理解答水下岩巷受力与变形的时效问题;在Norton-Hoff解法基础上获得了与时间相关的水下岩巷变形计算式,并对扰动区的蠕变变形进行参数敏感性分析。研究表明:随着岩石黏滞系数的增大,岩巷蠕变变形逐渐减小,呈现非线性特性;水力传导系数仅对深处围岩的时效变形产生影响,增大该系数,岩巷围岩深处任一点位的位移分布增大。该研究可为更复杂的水下岩巷蠕变变形的数值计算提供理论参考。

岩体巷道;时效变形;Norton-Hoff定律;Laplace变换;有效应力

岩体作为地下工程围岩受力的介质,其与时间相关的力学特性直接影响到工程的长期稳定[1]。在水电工程中,岩巷围岩长期处于有水赋存的状态中,渗流将是影响岩石流变力学性质的一个重要因素[2];岩巷开挖扰动会引起原岩破裂,增大岩体暴露面积,从而增加岩体渗流路径,渗流的不利影响得以扩大，随着时间的推移岩巷周围岩体可能出现失稳现象进而造成重大事故的发生[3]。因此,水下岩巷蠕变变形的分析研究具有一定的理论意义,并且对于富水环境中岩体巷道长期稳定运行具有重要的工程实践意义。

解析法可快速高效地定量评价岩巷工程力学响应,也可直观反映介入参数的物理意义[2],优于但也同样难于数值分析法。文献[4-8]研究了水作用下岩巷开挖扰动围压力学响应的瞬态解,对岩体岩巷渗流工况的计算有一定参考意义;但是这些研究忽略了岩体流变效应。在深埋岩巷开挖扰动作用下,围岩受力大多表现出塑性工作状态[9-11],也就是说,岩巷周边存在塑性圈;当存在水的弱化作用时,围岩塑性行为得以加剧[12]。此外在岩巷长期运行过程中,岩体出现突出的与时间相关的不可逆应变,即黏塑性蠕变变形[13]。针对水下岩巷时效变形,文献[14]假设围岩蠕变行为服从Norton-Hoff定律,且为弹塑性不可压缩体,该假设可为计算黏塑性岩体巷道近似封闭解提供可能性,但是该研究未考虑渗流影响。文献[15]从理论上深化了多孔黏塑性岩体巷道长期变形力学分析,但是该研究局限于岩体稳定蠕变这种特殊状态。

本文在文献[14]基础上,对水下岩巷的蠕变变形进行探讨,假设围岩蠕变行为服从Norton-Hoff蠕变定律,基于水下岩巷蠕变变形的计算模型解答了其受力与变形的时效问题;借助Norton-Hoff解法,获得了与时间相关的水下岩巷蠕变变形计算式;最后探讨了有关参数的敏感性。

1 力学模型

圆形岩巷(半径为R0)开挖于连续均质各向同性岩体中,如图1所示。

图1 圆形岩巷计算模型

在扰动区与未扰动区交界面处有地应力σ0与初始的远场孔隙水压力pw0作用,假设扰动区岩体蠕变行为服从Norton-Hoff定律[14],其应变含有弹性应变分量与黏塑性应变分量。

为了描述岩石水力学行为,可将应变和孔隙率视为状态变量[16]。假设岩石孔隙率差值(n-n0)和应变张量εij由弹性分量(用上标“e”表示)和黏塑性分量(用上标“vp”表示)构成,计算公式为:

其中,n、n0分别为岩石的实际孔隙率与初始孔隙率;i=r,θ,z;j=r,θ,z。

根据热力学基本不等式[16],有

(1)

其中,pw为孔隙水压力;Ws为自由能。

由(1)式可得多孔岩石介质的弹性方程为:

(2)

(3)

b=1-K/Ks,β=(b-n0)/Ks。

其中,Ks为固相条件下介质的体积模量。

考虑到孔隙水压力的影响,借助有效应力原理可得有效应力分量σij′与球应力σm′表达式为:

(4)

由(4)式可知,孔隙水压力对偏应力张量没有影响,则有:

Sij=σij-σml,Sij′=σij′-σm′l=Sij

(5)

(5)式可为多孔岩石介质的弹性力学行为构建计算思路,但由于该介质的黏塑性力学行为描述存在较大难度,因此水力耦合效应下多孔介质的本构方程仍有待补充。文献[14]建立的多孔介质的黏塑性方程为:

(6)

根据Norton-Hoff蠕变定律[14],以及等式Sij′=Sij,可得:

φ*(σij′)=q2/(2η)

(7)

其中,φ*(σij′)为耗散势能,与有效应力分量相关;η为岩石的黏滞系数;q为Von Mises等效应力函数,其计算式为:

(8)

将(8)式代入(7)式中,可得黏塑性应变率表达式为:

(9)

联立(2)式与(9)式,可得总的应变率为:

(10)

联立(3)式与(6)式,可得基于Norton-Hoff蠕变定律的流动方程如下：

(11)

2 水下岩巷围岩蠕变计算

在排水条件下,不衬砌岩巷受力存在如(12)～(15)式的边界条件。

(1) 洞壁处(r=R0)。时域条件为:

σr(R0,t)=0,pw(R0,t)=0

(12)

s-域(即变换域)条件为:

(13)

其中,r表示径向；t为时间；s为时间t在变换域中的符号。

(2) 未扰动边界处(r→∞)。时域条件为:

u(∞,t)=0,pw(∞,t)=pw0

(14)

s-域条件为:

(15)

将边界条件(12)式、(13)式代入(10)式,并化简可得:

σm′(r,t)=Kεv(r,t)-σ0+bpw0(r,t)

(16)

由此,可将(10)式进一步写为:

(17)

在岩巷轴向方向上,(17)式可表达为:

其中,T0为松弛时间,T0=η/(3G)。

假设岩巷开挖前地应力表现为静水压力场,可知当时间t=0时,Sz(r,0)=0,可解得:

(18)

(19)

同理可解得岩巷环向偏应力张量为:

(20)

(21)

由于Sθ+Sz+Sr=0,因此可得:

(22)

平衡方程为:

(23)

由于σij=Sij+σmδij(i=r,θ,z;j=r,θ,z),σm=σm′-bpw,(23)式可化为:

(24)

将(16)式、(20)式及(22)式代入(24)式,可得:

对时间t求导,并考虑(19)式、(21)式,可得:

(25)

(26)

对(26)式进行整理,并考虑(14)式、(15)式,则有:

(27)

其中,ζ=(K+4G/3)/b,T1=T0(bζ/K)。

联立(11)式与(27)式,并利用Laplace变换,可得:

(28)

(28)式的通解为:

φ(s)r]+

B(s)I0[φ(s)r]+pw0/s。

结合边界条件(13)式、(15)式,可得s-域内孔隙水压力及体积应变为:

(29)

(30)

其中,K1为第二类一阶改进Bessel函数。

积分常数C(s)可通过边界条件(12)式确定。联立(4)式、(5)式,利用(12)式、(13)式,可得s-域内总的围岩径向应力为:

L[exp(-t/T0)ku(R0,t)]}

(31)

利用边界条件(12)式、(13)式,以及Laplace变换,对(31)式进行化简,可得:

进一步整理可得s-域内径向位移表达式为:

(32)

利用(32)式可确定积分常数C(s),在此基础上可获得s-域内径向位移的通解为:

(33)

由(29)式、(30)式、(33)式可进一步确定围岩三向偏应力张量(18)式、(20)式、(22)式以及球张量(16)式的解析式。通过整理,可得满足Norton-Hoff定律的围岩受力与变形的s-域函数形式:

(34)

(35)

(36)

当遇到较为复杂的函数时,如(34)～(36)式,其时域内的计算超出了Laplace变换解答范围,唯有借助数值反演计算,例如Stehfest算法,才能获得解答。工程实践中比较关心洞壁(r=R0)处的变形特性,在定义r=R0情况下,可利用Laplace逆变换将(34)～(36)式确定为时域内的解答,即

(37)

σr(R0,t)=0

(38)

(39)

(40)

由(37)式可知,即使考虑了水力耦合效应,洞壁变形特性仍与孔隙水压力的分布无关。而此规律仅限于洞壁的水力学响应上,孔隙水压力分布对除该处外的围岩甚至是深处围岩的变形均产生重要影响。

在特殊情况下,当围岩力学性质表现为弹性不可压缩,即μ=0.5时,岩石的体积模量K以及系数ζ均趋于无穷大,根据(30)式可知体应变为0。在这种情况下,Norton-Hoff解析结果得到的应力与位移计算式(33)式～(36)式中含有系数ζ的项均为0,计算结果可退化为一般岩石巷道情况[14]。

另外,若不计渗流影响,即远场孔隙水压力为pw0=0 MPa,则应力解(38)～(40)式将退化为文献[17]圆形巷道应力计算式(以拉为正)。

3 水下岩巷时效变形分析

以文献[18]所研究的黏土岩为例,对本文解析解的适用性问题以及相关重要参数的敏感性问题进行研究。计算参数如下:

R0=5 m,σ0=12 MPa,

pw0=5 MPa,E=4 GPa,

μ=0.3,Kf=2.2 GPa,

η=6 GPa·a,χh=10-17m4/(N·s),

b=0.6,n0=0.15。

为了更好地探究不同参数之间的耦合影响,更好地理解各参数的物理意义以及节省篇幅,将极径r、时间t及洞壁位移u分别无量纲化如下:

其中,εc=σ0/(2G)。

在给定参数下,不同围岩深处的岩巷位移时程曲线如图2所示。

图2 不同围岩深处的岩巷位移时程曲线

从图2可以发现,岩巷开挖初期的位移发展较快,而后逐渐趋缓,本文解答能够反映多孔黏塑性岩石介质的蠕变行为。同时,在岩巷开挖瞬间洞壁处(r*=1)的位移量最大,之后的位移发展也远大于其他深处围岩,集中体现了应力释放作用。

岩石的黏滞系数对岩巷蠕变行为具有重要影响。不同黏滞系数下的岩巷位移时程曲线如图3所示。从图3可以发现,随着岩石黏滞系数的增大,岩巷随时间的变形逐渐减小,而且呈现极强的非线性特性,当η=15 GPa·a时,岩巷位移基本不随时间变化;此外,岩巷开挖瞬时形成的位移与岩石黏滞系数无关,可见该系数主要用于衡量岩石的时效变形特性。

图3 不同黏滞系数影响下岩巷位移时程曲线

不同蠕变时间下岩巷位移的分布曲线如图4所示。从图4中可以发现,岩巷在邻近洞壁处的变形远大于围岩深处,在深处围岩的变形趋于稳定,主要是由于深处的应力释放受到限制;另外,随着时间的线性增加,岩巷位移的非线性增大特性更加明显。

图4 不同蠕变时间下岩巷位移分布曲线

在岩石水力学中,水力传导系数对岩巷变形也具有重要影响。不同水力传导系数下岩巷位移的分布曲线如图5所示。由于在岩巷洞壁处采取排水处理措施,该系数对洞壁变形没有影响,而随着围岩深度的增加,该系数的敏感性越发凸显:随着水力传导系数的增大,岩巷围岩深处任一点位的位移分布增大,变形更加明显。这主要与未扰动区有初始的远场孔隙水压力作用有关。

图5 不同水力传导系数下岩巷位移分布曲线

4 结 论

(1) 岩巷开挖初期的位移发展较快,而后逐渐趋缓,反映了多孔黏塑性岩石介质的蠕变行为;增大岩石黏滞系数,岩巷时效变形逐渐减小,呈现非线性特性。在开挖瞬间岩巷洞壁处的位移量最大,之后的位移发展也远大于其他深处围岩。

(2) 岩巷洞壁处的变形远大于深处围岩,深处围岩的变形趋于稳定;水力传导系数对洞壁变形没有影响,而随着围岩深度的增加,该系数的敏感性越发凸显;随着水力传导系数的增大,岩巷围岩深处任一点位的位移分布增大。

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Norton-Hoffanalyticalsolutionforsurroundingrockcreepinrockstunnelsbelowwatertable

WANG Yonggang1,SUN Wei1,2,XU Zhangjian1

(1.Northwest Research Institute of Engineering Investigations and Design, Xi’an 710003, China; 2.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China)

The long-term stability of rocks tunnels in the water-rich environment relates closely to the seepage and the rheology behavior. It is assumed that the creep behavior of surrounding rock complies with the Norton-Hoff law, thereby the calculation model of time-dependent deformation in rocks tunnels below the water table is established. The Laplace transform method and principle of effective stress are utilized to calculate the stress and displacement field of rocks tunnels. The expression of time-dependent deformation in rocks tunnels below the water table is given, and the sensitivity analysis of relevant parameters is carried out. The results show that time-dependent deformation gradually degrades with the increase in the viscosity, which represents nonlinearity; the rock hydraulic conductivity only has significant influence on time-dependent deformation in the deep surrounding rock, with increasing the values of this coefficient, the increase of displacement occurs everywhere except at the tunnel wall. This analytical solution provides a useful reference for the more complex numerical simulation in this respect.

rock tunnel; time-dependent deformation; Norton-Hoff law; Laplace transform; effective stress

2016-04-18；

2016-07-20

国家自然科学基金资助项目(41172279)

王永刚(1969-),男,陕西西安人,西北综合勘察设计研究院教授级高工;

孙 伟(1980-),女,山东聊城人,西北综合勘察设计研究院高级工程师,成都理工大学博士生,通讯作者,E-mail:43671348@qq.com;

徐张建(1964-),男,陕西大荔人,西北综合勘察设计研究院教授级高工.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.017

TV672.1

A

1003-5060(2017)11-1520-06

(责任编辑 张淑艳)