磁力火车实验现象的理论解释

仇 亮，寻之朋，石礼伟

(中国矿业大学 物理学院，江苏 徐州 221116)

磁力火车实验现象的理论解释

仇 亮，寻之朋，石礼伟

(中国矿业大学 物理学院，江苏 徐州 221116)

从理论上解释了磁力火车实验中观察到的现象. 计算了火车受到的磁场力,指出火车两端的磁铁必须是同名磁极相对的原因. 推导出火车运动速率的表达式，证明火车运动速率的增幅越来越小,最终火车会匀速率运动. 从匀速率运动时的速率表达式可以看出：干电池的电动势越大,匀速率越大;而随着磁铁磁偶极矩的增大,匀速率则先增大后减小.

磁力火车；磁感应强度；磁场力；感应电动势；牛顿第二定律

2016年中国大学生物理学术竞赛[1-2]中,第8题是磁力火车,涉及到的物理实验装置非常简单:2块扁圆柱形磁铁(实验中使用球形磁铁)与1块柱状的干电池两端相连接(这就是火车),将该体系放在铜线圈内部并且磁铁与铜线圈接触,如图1所示. 图1中干电池两端分别固定2块球形磁铁，组成火车,火车放入铜线圈内部,两端的磁铁与铜线圈接触良好. 红色箭头表示线圈中电流方向. 需要注意的是,磁铁需要与铜线圈接触良好,从而使得火车和2块磁铁之间的铜丝组成闭合回路，以便产生电流. 实验易于操作,实验现象非常明显,物理原理只涉及到普通物理的知识. 本文对磁力火车实验中观察到的物理现象进行理论分析.

图1 实验装置示意图

1 实验现象

实验中观察到的现象如下：

1)当2块磁铁的同名磁极相对放置时,如图2(a)所示,火车能够运动;而当2块磁铁的异名磁极相对放置时,如图2(b)所示,火车不能运动.

2)火车的速率开始时增加得很快;但随着时间的延长,火车的速率增加得越来越慢,最终火车做匀速运动.

3)匀速运动时速率与干电池的电动势有关，电动势越大,火车速率越大,反之越小;而匀速率运动时速率随着磁铁磁偶极矩的增加是先增大后减小.

(a)2块磁铁同名磁极相对放置

(b)2块磁铁异名磁极相对放置

图2 磁铁放置示意图

2 理论解释

利用普通物理的知识来探讨磁力火车实验的原理[3-4].

图3为磁力火车系统剖面图，红色箭头表示的是线圈中电流产生的磁场方向;m1和m2分别是2块磁铁的磁偶极矩,且认为二者相等都为m. 右手坐标系的原点选在左边球形磁铁的球心处.

2.1 火车受到的磁场力

力是使物体运动状态改变的原因. 既然火车能从静止状态开始运动,它一定受到了力的作用. 根据图3分析火车系统所受到的力. 设计实验时,选择的磁铁直径只比铜线圈内径略小,因此可以合理地假定2块磁铁的磁偶极矩m沿着线圈的轴线,即图中的x轴方向. 以左边球形磁铁的中心为坐标原点,建立坐标系(如图3所示). 火车系统和2块磁铁之间的铜线圈组成了闭合回路,因此这部分铜丝中通有电流I,会在铜线圈内部产生磁场. 如将线圈看成一个一个的圆形电流[5-6]，距离原点a处,长度为nda内的圆形电流在x处所产生的磁感应强度为[7-10]

(1)

(1)式中μ0是真空磁导率,R是铜线圈的半径,n是单位长度线圈的匝数,线圈中的电流在x处产生的总的磁感应强度为

(2)

而每块磁铁所受到的磁场力可以用其在磁场中势能的梯度表示[11],即

F=-U=(m·B).

(3)

(3)式中m是球形磁铁的磁偶极矩. 将(2)式代入(3)式可以得到左边的磁铁所受到的磁场力为

(4)

图3 磁力火车系统的剖面图

类似算法可得右边的磁铁所受到的磁场力大小和方向均与左边的磁铁相同.

火车体系所受到的磁场力可以用来解释第1个实验现象. 从推导可以看出,当2块磁铁的S极相对时,火车所受到的总的磁场力向右,使得火车向右运动;当2块磁铁的N极相对时,火车所受到的总的磁场力向左,使得火车向左运动;当N极和S极相对(或是S极和N极相对)时,2块磁铁所受到的磁场力大小相等、方向相反,火车所受到的合磁场力为零,不会运动. 从磁场力的推导过程也可以看出,电池一端没有磁铁而保证该端和铜线圈紧密接触,使得整个体系仍然构成回路,火车也能运动.

2.2 火车的速率

火车运动过程中,两端磁铁所产生的磁场会在构成回路的铜线圈中产生感应电动势,相应地会有感应电流. 根据楞次定律,感应电动势的方向和电池的电动势方向相反[7-9，12]. 左边的磁偶极矩为m的磁铁在任一点r(x,y,z)处所产生的磁感应强度为[11]

(5)

(6)

(7)

而长为l的铜线圈中所产生的总的感应电动势为

(8)

将B′的表达式[(6)式]代入(8)式,通过简单的计算,可以得到左边磁铁在铜线圈中产生的感应电动势为

ε=-Kv,

(9)

负号表示感应电动势的方向与线圈中由电池产生的电流方向相反.

类似地,右边磁铁在铜线圈中产生的感应电动势与ε大小相等、方向相同.

对火车体系和2块磁铁之间的铜丝应用全电路欧姆定律有

ε0+2ε=IRe,

(10)

式中ε0为干电池的电动势,Re为整个回路的电阻,即火车体系和2块磁铁之间线圈的电阻之和. 在x轴方向上对火车体系应用牛顿第二定律，有

(11)

式中M为火车体系的质量. 联立式(10)和(11)得到火车速率的表达式

(12)

这里

(13)

式(12)可以用来解释第2个实验现象. 图4为火车速率随着时间的变化曲线. 从图4中可以看出,开始时火车的速率增加得很快，但随着时间的延长,火车的速率增加得越来越慢,最终做速率恒定的匀速率运动. 这些结论与第2个实验现象吻合.

图4 火车速率随着时间的变化

图5 匀速率运动时，速率随磁偶极矩的变化

图4和图5中，R=0.011 m，l=0.070 m，N=24.58，M=0.077 5 kg，ε0=1.51 V，R0=0.821 Ω，μ=0.45，图4中m=5.31 A·m2[4].

3 结 论

结合普通物理知识,从理论上解释了磁力火车实验中观察到的物理现象. 根据火车系统受到的磁场力,发现只有当2块磁铁同名磁极相对时火车才会运动;根据运动磁铁对线圈的感应电动势、全电路的欧姆定律和水平方向的牛顿第二定律,给出了火车运动速率的表达式,发现火车的速率增幅越来越小,最终会进行匀速运动;根据匀速运动时速率的表达式,发现干电池的电动势越大,火车的速率越大,而火车的速率随着磁铁磁偶极矩的增大则是先增大后减小.

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Theoreticalexplanationoftheexperimentalresultsofmagnetictrain

QIU Liang, XUN Zhi-peng, SHI Li-wei

(School of Physics, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

The experimental results of magnetic train were explained theoretically. After obtaining the expression of the force on magnetic train, it was found that the adjacent poles of two magnets must be the same. According to the expression of the speed of the magnetic train, the increasing rate of the speed became smaller and smaller, and the magnetic train would move at a constant speed in the end. Furthermore, from the expression of the final speed, the greater the eletromotive force of the battery was, the greater the speed would be; whereas, the final speed would firstly increase and then decrease with the increasing of the magnetic dipole moment.

magnetic train; magnetic flux density; magnetic force; induced electromotive force; Newton second law

O441

A

1005-4642(2017)11-0041-03

2017-01-08；修改日期2017-02-04

中国矿业大学课程建设与教学改革项目(No.2017JC08)

仇 亮(1981-)，男，安徽舒城人，中国矿业大学物理学院副教授，博士，主要从事大学物理教学和量子信息研究工作.

[责任编辑：任德香]