生活中的数学之地图中蕴含的数学奥秘

文/刘豫宁 编辑/甄知

生活中的数学之地图中蕴含的数学奥秘

文/刘豫宁 编辑/甄知

当你打开一张标准的世界地图的时候，是否留意到加拿大上方那一片白色的大陆？她是世界第一大岛——格陵兰岛，有200多万平方千米。她的英文名直译过来是“绿岛”，但是这块大陆几乎位于北极圈内，气候寒冷。行政上，她属于丹麦王国。这块大陆在地图上看起来要比她的实际尺寸大一些，似乎能够达到美国国土面积的一半。可是美国的国土面积有 937万平方千米。这种相对尺度的偏差在各种地图上都存在，所以世界地图只能近似地反映各个国家的地理信息。

那么能不能设计一张绝对精确的地图呢？直观来看，这似乎是不行的，因为地球的表面是弯曲的，想把它平铺到一张纸上总是会使某些区域出现扭曲。于是人类根据实际的需要设计出五花八门的地图投影法，应对不同的需要。这些投影法虽然不能消除偏差，却可以把偏差放在不太重要的位置。由于北极地区地广人稀，在绘制行政地图时候往往是牺牲那里的精确度而保持其他地域的版图相对精确。

在航天器未被发明的时代，绘制精确的地图是掌握地理信息的关键手段之一，在军事、航海、行政管理等领域都有重要用途。即使到了今天，我们还要时不时地打开手机上的地图定位一下目的地。到19世纪初，人类已经发明了几十种地图投影法。虽然测量会有偏差，地形的因素也制约了地图的精确性，可是从制图学理论的角度思考，就会自然产生一个问题：这种偏差是不是可以在理论上被消除？在欧洲，这个问题的解决最终落在了两个德国人的肩上，一位是数学家高斯，另一位是探险家洪堡。德国当代作家丹尼尔·凯曼在2005年出版的《丈量世界》中描述了两位同处一个时代的德国科学家以截然相反的方式进行各自的研究，最后却奇迹般地走向同一目标。

高斯

高斯被誉为继牛顿以来最伟大的数学天才，有数学王子的美誉，也是测量学的高手，在包括数学、物理学，统计学的十几个领域有开创性的工作。他出生在一个贫困的犹太家庭里。他在十岁的时候利用对称的方法解决了从 1 一直加到 100 等于多少这个问题，让老师另眼相看。由于在数学上非凡的天分，高斯得到了去更好的学校学习的机会并受到吕讷堡公爵的资助，进入德国哥廷根大学，走上了数学科研之路。高斯一生有很多伟大的发现：他在 18 岁的时候发现了最小二乘法，可以从大量测量数据中总结经验公式，是一种非常有用的数学优化技术。他利用该方法成功地计算了谷神星的轨道，并直接导致了后来人们重新发现这颗小行星。这使得高斯的名声传遍欧洲。高斯在哥廷根大学还担任天文台的台长，他在大量的观测和数据处理中发现了正态分布，它是概率论和统计学的基础，在实际中有广泛的应用。在十元马克（德国货币）上就印着高斯和他发现的正态分布。高斯从 18岁进入哥廷根大学，在那里度过了全部学术生涯。他为哥廷根日后成为近代数学的摇篮起到了关键的作用。

我们故事的第二个主人公，亚历山大·冯·洪堡出生于一个贵族家庭。他的哥哥威廉·冯·洪堡是柏林洪堡大学的创始者，也是著名的教育改革者。他重新改革了普鲁士引以为傲的义务教育制度，让所有阶层的子女都有相同的机会接受教育；在高等教育领域，他提出通过科学研究方法和教学与科学研究相结合的方法去追求纯粹知识的思想，科学研究第一次成为大学职能。亚历山大·冯·洪堡从小受到家庭学术气氛的熏陶，具有极强的好奇心。与哥哥的兴趣不同，他爱好游历各国，凡是足迹所到，高山大川无不登临，奇花异草无不采集，兼有徐霞客的好奇心和李时珍的执着。

为了完成大地测量，洪堡曾考察过西欧、南北美洲、北亚和中亚等地，其科学活动涉及地理学、地质学、地球物理学、气象学和生物学等。他最重要的贡献之一是根据前人和自己所测定的世界各地温度，于1817年第一个绘制了全球等温线图，指出气候不仅受纬度影响，还与海拔高度、离海远近、风向等因素有关，并使同纬度各地的气候得以互相比较。他研究了气候带分布、大陆性和海洋性气候、地形对气候的形成作用；发现植物分布的水平分异和垂直分异性，论述气候同植物分布的水平分异和垂直分异的关系，得出植物形态随高度而变化的结论；根据植被景观的不同，将世界分成16个区，确立了植物区系的概念，创建了植物地理学；首次绘制地形剖面图，进行地质、地理研究；指出火山分布与地下裂隙的关系；认识到地层愈深温度愈高的现象。 他是 19 世纪科学界中最杰出的人物之一，被誉为是哥伦布之后最伟大的博物学家、地理学家。洪堡广泛游历于世界各地，他的科学成就和著作推动了近代自然科学的发展，在世界上产生了很大影响。为纪念洪堡，德国建有洪堡基金会，资助世界各国的自然科学研究。

亚历山大·冯·洪堡

高斯与洪堡无论出身还是经历都不相同，丈量世界的方法也是大相径庭。高斯是个理论派，他把制图学看成一门理论科学，认为基本的理论应该在天文台就可以完成。他对于制图学中的理论误差的认识是非常独到的。他想解决的问题是：如果忽略地形因素，把地球看成一个圆球，怎么把它或者它的一部分精确地投影到一张纸上？他经过大量的测量和计算发现这种理论误差是无法避免的，即使是绘制德国地图！

这个结论听上去就有点反直觉了。为了说明白这件事，我们得先解释一下“度规”这个概念。度规其实就是两点间的距离。迄今为止人类发明了几十种绘制地图的方法。其本质都是把地球投影到平面上。然而无论用什么投影方式绘制的地图，它上面任何两点间的距离都由直线段给出，从而给出一个度规。而在地球表面，两点之间的最短连线的长度就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆。一般来说地球上任何两个城市间的航班都是由大圆连接的。如图所示，从旧金山飞到伦敦的航班，并不是沿着纬线飞行。所以地球表面两点的距离也会给出地球表面上的一个度规。因此绘制绝对精确地图的本质就是要找到一种投影方法，把地球投射到平面上，使得它与地球表面的度规一模一样。高斯经过复杂的计算证明：曲面上的度规决定了它的曲率（准确来说，是高斯曲率）。然而平面作为一种特殊的曲面，它的高斯曲率永远是零，与度规的选取无关，因为它完全没有弯曲；而球面的高斯曲率不是零。这就反推出平面上不存在与球面上同样的度规，也就在理论上论证了地图永远画不准。

高斯的论证不仅对于整个地球，而且对于地球上的任意一块区域都是可行的，这也就说明无法通过不断增加测量精度来提高地图的整体精度。值得一提的是，高斯的理论非但没有终止大地测量学这一学科，而是为它的发展指出了新的道路，特别是高斯曲率这一不变量的引入，对地球表面的度规和弯曲给出了定量的描述。如果说高斯的理论给出了大地测量学的数学基础和理论骨架，那么洪堡大量的实际考察和观测则赋予了这一学科以血肉。两位先哲用各自的方式大大加深了人类对于自身所处的自然环境的认识。

刘豫宁

博士，上海纽约大学数学助理教授。2006年毕业于武汉大学数学系，2011年获法国南锡第一大学应用数学博士学位。