基于阿基米德螺线的两臂柔性板弹簧的性能分析及比较

缪 源，陈 曦，任道顺

（上海理工大学能源与动力工程学院，上海 200093）

基于阿基米德螺线的两臂柔性板弹簧的性能分析及比较

缪 源，陈 曦，任道顺

（上海理工大学能源与动力工程学院，上海 200093）

柔性板弹簧作为小型斯特林制冷机动子系统中支撑活塞的关键性部件，对提高制冷机的寿命和性能起到了十分关键的作用。基于阿基米德螺线，设计了一款应用于低温冰箱的自由活塞斯特林制冷机柔性板弹簧。通过改变曲线略角θ、基元半径R以及螺距V，使弹簧提供的机械刚度满足斯特林制冷机的需求，并使其最大应力降低至疲劳极限的70%。利用ANSYS软件将阿基米德螺线、费马型线和Sunpower型线进行有限元分析，并引入新的无量纲参数评价性能，发现在满足刚度需求的情况下，阿基米德螺线弹簧的最大应力最小且动态径向刚度稳定性高。

阿基米德螺线弹簧；无量纲参数；刚度；最大应力

0 引言

现在的小型低温制冷机的压缩机部分多采用线性压缩机驱动和柔性板弹簧支撑技术。柔性板弹簧可在满足制冷机的轴向刚度要求的同时，提供较大的径向刚度，防止活塞与气缸直接接触，实现间隙密封。

国内外关于柔性板弹簧涡旋型线的种类不尽相同，陈楠等[1]提出了圆渐开线弹簧型线的设计方法，利用基本的圆渐开线方程，通过调整基圆半径、渐开线节距、渐开线起始角、柔性板弹簧臂宽、渐开线圈数、渐开线的渐开角以及涡旋槽在空间的分布，来实现柔性板弹簧型线的设计。陈曦等[2]提出了一种基于费马方程的柔性板弹簧，通过调节方程参数和涡旋槽的几何分布，可精确地构造出满足设计要求的柔性板弹簧型线。通过对设计的弹簧进行关于刚度和自然频率的数学建模、理论分析、AN⁃SYS模拟及实验验证，证明了理论推导和有限元分析的可能性。Trollier等[3]设计了一款Oxford型线的三臂柔性板弹簧，通过改变型线的形状、长度和涡旋臂的厚度，可以在不增加最大应力的情况下，增大轴径向刚度比，其最大应力为600 MPa，低于材料的疲劳极限700 MPa。Lee等[4]基于实验数据，开发了关于阿基米德型线和Oxford型线的设计程序，该程序可较好的预测各种型线的弹簧性能，方便了弹簧的设计过程。Longsworth[5]在8 K@50 mW三级分体式斯特林制冷机的设计中，采用了三臂阿基米德型线的柔性板弹簧，并通过试验总结了经验公式，简化了设计过程。张迪[6]分析了外径180 mm三臂阿基米德型线柔性板弹簧的性能。文章对两臂的柔性板（Archimedes）弹簧进行分析与对比。

1 柔性板弹簧型线的设计方法

阿基米德螺线（亦称等速螺线）的极坐标方程：

式中：a和b均为实数。改变参数a相当于旋转螺旋线，而参数b则控制相邻两条曲线之间的距离。

在笛卡尔坐标系下的方程：

式中：R为基圆半径；V为螺距；θ为略角，改变以上三个参数，可调节型线的几何形状，以适应不同外径和中心孔径。

在Solid Works软件的方程驱动曲线命令里输入该型线在笛卡尔坐标系下的方程，即可得到阿基米德螺线，利用等距实体命令偏移出所需的槽宽，并拉伸出所需厚度，便得到了基于阿基米德螺线的柔性板弹簧。

2 关键参数对弹簧性能的影响

两臂Archimedes弹簧外径65 mm，中心孔径为3 mm，定位孔径3 mm。在ANSYS10.0中定义单元格类型为Solid 10node187，材料选择合金弹簧钢（60Si2Mn），其弹性模量为206 000 MPa，泊松比为0.3。将smart size设置为1（最高），利用ANSYS里自动划分网格功能生成网格，如图1所示。

图1 1 mm柔性板弹簧的网格划分图Fig.1 Flexible spring meshing（1 mm）

2.1 厚度对轴径向刚度和最大应力的影响

约束柔性板弹簧4个定位孔的6个自由度，即对其施加ALL DOF=0的载荷。在中心孔上施加1 N的轴向力或径向力，通过ANSYS求解输出轴向的位移云图，根据刚度定义式K=F/S，其中F为轴向或径向静载荷力，S为对应静载荷力下的相对位移，得到柔性板弹簧的轴径向刚度。中心孔施加5 mm轴向位移，输出Von-mises stress云图查看最大应力，引入文献[7]介绍的径轴向刚度比τ，将弹簧在不同厚度下的性能参数如表1所列。

表1 厚度对弹簧性能的影响Table1 Influence of thickness on spring performance

由表1、图2可看出，0.4 mm厚时，弹簧轴向刚度为357 N/m、径向刚度为80 224 N/m，1.2 mm厚时，轴向刚度增至8 976 N/m、径向刚度为247 586 N/m。通过对比可以看出，随着厚度的增加，柔性板弹簧的轴向刚度呈三次方增加，这与文献[2]的理论证明相一致；径向刚度呈线性增加，这是因为厚度的增加相当于多片柔性板弹簧叠加[8]。由于径向刚度的增加速度没有轴向刚度增加得快，所以径轴向刚度比τ随着厚度的增加而减小，最大应力随着弹簧厚度的增加而增大。

图2 厚度对径轴向刚度比τ的影响曲线Fig.2 Influence of thickness onτ

2.2 槽宽对轴径向刚度和最大应力的影响

保持阿基米德螺线方程中的R为基圆半径、V为螺距和θ为略角不变，仅改变槽宽，观察柔性板弹簧性能的变化，结果如图3所示。可以看出随着槽宽的增加，柔性板弹簧的径轴向刚度比τ下降。这是因为槽宽的增加会减少一部分板材，降低了涡旋弹簧臂的抗拉能力，进而降低了柔性板弹簧的刚度，且径向刚度受槽宽的影响比轴向刚度更大，使得τ下降。

由图4、图5可以看出，最大应力随着槽宽的增加而减少，这是因为臂宽减小，使得涡旋臂更易变形，从而减小的应力集中。1.2 mm槽宽的弹簧因为其臂宽较大，所以应力分布更加均匀，而2 mm槽宽的涡旋臂上大应力区域分布较多。

图3 槽宽对刚度比的影响曲线Fig.3 Influence of Groove Width on Stiffness Ratio

图4 槽宽对最大应力的影响曲线Fig.4 Influence of groove Width on Maximum stress

图5 不同槽宽的最大应力云图Fig.5 the maximum stress cloud of different groove widths

3 不同柔性板弹簧的性能对比

将两臂Archimedes弹簧与Sunpower弹簧[9]和Fermat弹簧[2]进行对比，引入无量纲数刚度质量系数A和刚度应力厚度系数B来评价弹簧性能的优劣。三种弹簧的结构（如图6）参数和性能参数如表2所列。

3.1 刚度质量系数A

引入刚度质量系数A：

式中：K为弹簧的轴径刚度，N/m；δ为弹簧的厚度，m；m为弹簧的质量，kg；g为重力加速度，N/kg。

刚度质量系数A为无量纲数，可用来分析弹簧在单位质量下，刚度与质量的关系。A越大，则该弹簧可在较小质量下提供较大刚度，有效减小斯特林制冷机的动子质量。

图6 三种柔性板弹簧的结构图Fig.6 The structure of three springs

通过表2的1、3和4三组数据可以看出，三种弹簧均在1 mm厚度下的刚度质量系数，Fermat弹簧的Aa和Ar均大于其他两种弹簧，Archimedes弹簧的Ar大于Sunpower弹簧。

表2 柔性板弹簧的结构参数与性能参数Table2 Structural parameters and performance parameters of flexible springs

3.2 刚度应力厚度系数B

引入刚度应力厚度系数B：

式中：K为弹簧的轴向刚度，N/m；σmax为弹簧在5 mm轴向位移下的最大应力，Pa；δ为弹簧的厚度，m。

刚度应力厚度系数B可用来分析在相同轴向位移下，刚度与最大应力的关系。B越大说明该弹簧在满足刚度要求的情况下，有着较小的最大应力，提高了弹簧的循环次数和使用寿命。分析表2中的2、3和5这三组数据，当不同弹簧都提供约9000 N/m的轴向刚度时，Archimedes型线弹簧的B值约是其余两种弹簧的1.3倍，且Fermat弹簧的应力为731 MPa，已经超过了材料的疲劳极限713 MPa。由图7可知，Fermat弹簧在涡旋槽尾处有较大的应力集中，Archi⁃medes弹簧在涡旋臂上的应力分布比较均匀，且最大应力约是Sunpower弹簧的60%。可见Archimedes弹簧在减小最大应力方面有着突出的优势。

图7 5 mm轴向位移下三种弹簧（1 mm）的应力云图和1 N轴向力下的位移云图Fig.7 Stress distribution under 5 mm axial displacement and and displacement distribution under 1 N axial force of three springs

3.3 动态径向刚度稳定性对比

柔性板弹簧在提供合适的轴向刚度之外还需要尽可能大的径向刚度，以保证活塞与气缸间的间隙密封。不同轴向位移下的动态径向刚度是衡量弹簧在往复运动状态下的重要性能指标。文献[10]中对比了Oxford、Sunpower和Fermat三种型线的动态径向刚度，发现Fermat弹簧的动态径向刚度τ虽然随着轴向位移的增加而急剧下降，但最小值仍大于其余两种弹簧。

柔性板弹簧的动态径向刚度受厚度的影响很大。弹簧越厚，其动态径向刚度τ随轴向位移的下降越剧烈，稳定性越差。为了实现低温制冷机的长寿命工作，柔性板弹簧需要有较好的动态径向刚度稳定性。图8对比了三种型线的弹簧分别在0.6 mm和1 mm厚度下的动态径向刚度，可以看出，Fermat弹簧（1 mm）在轴向位移为0 mm时的径向刚度为426 985 N/m，约是Sunpower弹簧的2.6倍，Archime⁃des弹簧的2.1倍。

图8 不同柔性板弹簧的动态径向刚度曲线Fig.8 Dynam ic radial stiffness of different flexible springs

但随着轴向位移的增加Fermat弹簧的动态径向刚度τ急剧下降，在6 mm轴向位移下，其动态径向刚度为16 544 N/m，仅为0 mm位移下的3.87%。相反，Archimedes弹簧和Sunpower弹簧表现出了较好的动态径向刚度稳定性。当厚度为0.6 mm，轴向位移为6 mm时，Archimedes弹簧的动态径向刚度为37 550 N/m，约是静态径向刚度（0 mm轴向位移）的31%，且大于Sunpower弹簧的28 494 N/m和Fermat弹簧的24 623 N/m。

4 总结

介于国内对阿基米德型线柔性板弹簧的研究较少，利用ANSYS软件对两臂阿基米德螺线弹簧进行了有限元分析，并提出新的无量纲参数来评价弹簧性能。

（1）验证了弹簧厚度与轴向刚度成3次方关系，与径向刚度成正比关系，径轴向刚度比τ和最大应力随槽宽的增加而减少；

（2）通过引入新的无量纲参数，刚度质量系数A和刚度应力厚度系数B，分析对比了三种柔性板弹簧性能。其中Fermat弹簧A值最大，可在较小质量下提供较大的刚度，但其B值最小，说明在提供规定轴向刚度下的最大应力过大，容易发生疲劳断裂，且动态径向刚度稳定性差。Archimedes弹簧拥有较大的B值，在往复运动中具有较小的应力，延长了弹簧的使用寿命，且其动态径向刚度稳定性较好，更易实现间隙密封，提高制冷机性能。

[1]陈楠.圆渐开线涡旋柔性板弹簧的制造方法:中国，200510029390.6[P].2005-10-29.

[2]陈曦，刘颖，袁重雨，等.基于费马曲线的柔性板弹簧的理论与试验研究[J].机械工程学报，2011，47（18）:130-136.

[3]Trollier T，Ravex A，Crespi P，et al.High Capacity Flexure Bearing Stirling Cryocooler On-Board the ISS[M]//Cryocool⁃ers12.SpringerUS，2003:31-35.

[4]LeeCC，Pan RB.Flexure bearing analysis procedures and de⁃sign charts[J].Cryocoolers，1997，9：413-420.

[5]Longsworth R C.Three-stage linear，split-Stirling cryocooler for1 to2 K magnetic cold stage[R].Unknown，1993.

[6]张迪.斯特林制冷机循环模拟及板簧参数化研究[D].湖北：华中科技大学，2013.

[7]Chen N，Chen X，Wu Y N，et al.Spiral profile design and pa⁃rameter analysis of flexurespring[J].Cryogenics，2006，46（6）:409-419.

[8]高威利，颜鹏达，陈国邦.几何参数对线性压缩机板弹簧性能的影响[J].低温工程，2007（6）:8-11.

[9]Wood J G，Lane N.Development of the Sunpower 35 We Free-Piston Stirling Convertor[C]//American Institute of Physics，2005：682-687.

[10]陈曦，袁重雨，祁影霞.不同型线柔性轴承的性能分析及比较[J].北京航空航天大学学报，2012，38（12）:1625-1628.

PERFORMANCE ANALYSIS AND COMPARISON OF FLEXIBLE SPRING BASED ON TWO-FIGURE ARCHIMEDES SPIRAL

MIAO Yuan，CHEN Xi，REN Dao-shun
（School of Energy and Power Engineering，University of Shanghai for Sciences and Technology，Shanghai200093，China）

Flexible spring，which is used to support the piston components for improving the life and performance of the stirling refrigerator，has played a very crucial role in stirling cooler.Based on the archimedes spiral，a flexible spring was designed for a free piston stirling refrigerator at freezer temperatures.By changing the curve slightly θ，the radius of the element R and the pitch V，the spring provides suitable mechanical stiffness to meet the needs of the stirling refrigerator and reduce its maximum stress to 70%of the fatigue limit.The ANSYS software was used to make finite element analysis of archimedes spiral spring，fermat type spring and sunpower type spring，and the new dimensionless parameter was introduced to evaluate the performance of flexible spring.It was found that the maximum stress of archimedes spiral spring is the smallest and the stability of dynamic radial stiffness is also high.

archimedes spiral spring；dimensionless parameter；stiffness；maximum stress

TB651；TH135+.2

A

1006-7086（2017）05-0364-05

10.3969/j.issn.1006-7086.2017.05.011

2017-07-13

缪源（1993-），男，山东烟台人，硕士研究生，主要从事柔性板弹簧的研究。E-mail：miaoyuan_cryo@163.com。