巧建数学函数模型解决实际问题

石爽

【摘 要】数学是学生从接受知识起便需要好好学习的一门重要课程，从简单的九九乘法表一直到函数，几何等等。随着学历的提高学生接受的知识也不断加深加难，而函数是数学知识中至关重要的一个知识点，是学生必须认真学习并掌握的。为了解决函数问题，数学家研究出典型的函数数学模型供学生解决这些问题，本文笔者主要从函数的模型分析解决函数问题。

【关键词】函数模型；解决问题

函数就是在某一个关系式中存在两个变量x、y，如果对于x在某一规定范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就称y是x的函數，这时x叫做自变量，y叫做因变量。通过学习函数的概念学生可以先了解函数的构造，也了解函数建立的因素，从此可以根据概念构造出实际的函数解决问题。从小学开始学生就接触不同的函数类型，如：一次函数、二次函数、指数函数、幂函数等等。这些函数都有自己的函数模型，通过这些模型的建立，学生会清楚的建立数学关系，从而轻易地解决难题。

1 巧建函数模型

在学习函数时首先学生要学会建造合适的函数解决问题，笔者将举例子来讲述怎样构造函数。

例一、某租赁公司有50台收割机，其中甲型有30台，乙型有20台，现在公司将派往A，B两地收割，其中派往A地20台，B地30台。两地与该租赁公司商定的价格如下：

设公司派往A地x台乙型收割机，求公司50台收割机一天获得的租金。

解：假设公司一天获得的租金为y，这时要清楚x与y之间的关系，从题意可知y随着x的变化而变化，因此x为自变量，y为因变量。这时就可以用一次函数模型来构造函数了，即：y=ax+b（a≠0）。因为公司派往A地x台收割机，由题知公司共派往A地20台，因此公司派往A地的甲型收割机为（20-x），因为公司有20台乙型收割机，所以可知公司派往B地的乙型收割机为（20-x）；又因为公司派往B地共30台收割机，所以B地的甲型收割机有（10+x）台，这时根据图中的具体价格可以建立函数关系式：

y=1800*（20-x）+1600x+1600*（10+x）+1200*（20-x）

化简得：y=200x+76000

这时就建立出x与y的关系，可以看出它们是一次函数，解这道题一定要考虑两个未知数的联系，然后根据所学知识构建具体形式，以便轻松解题。

例二、求二次函数解析式。

（1）图像经过A（-1，3），B（1，3），C（2，6）

解题前首先知道二次函数的模型：y=ax2+bx+c，然后可以将三点带入函数，建立方程组：3=a-b+c，3=a+b+c，6=4a+2b+c.解得a=1，b=0，c=2，因此函数解析式为y=x2+2

（2）图像经过A（-2，0），B（4，0），函数有最小值-8

根据题意可知函数关于x=1对称，且存在最小值，这时建造关系式就需要另一个二次函数模型：y=（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a。对称轴为x=-b/2a=1，函数存在最小值为（4ac-b2）/4a=-8，又因为函数过A，B两点，因此可以建立方程组，从而解出函数解析式。

这两道题运用不同的的模型解决问题，所以学生在解题前要考虑题意已确定用什么模型解题。以上是最简单的函数模型应用，接下来将举例难度更深一点的问题，去探究如何巧建函数模型。

2 运用一次函数模型：y=ax+b（a≠0）

例一、反比例函数y=2/x与一次函数y=kx+b（k≠0）交与点A（2，m），点B（n，-2），一次函数图像与y轴交点为c。

（1）求一次函数的解析式。

解：由题可知反比例函数y=2/x与一次函数y=kx+b（k≠0）交与点A（2，m），点B（n，-2），因此首先把点A，点B带入反比例函数，求得点A为（2，1），点B为（-1，-2）。这时把点A（2，1），点B（-1，-2）带入一次函数建立方程组：1=2k+b和-1=-2k+b，两者相加整理得2b=0，所以b=0，这时将b=0带入1=2k+b求得k=1/2，因此一次函数y=kx+b解析式为y=1/2x。由该题知求一次函数时只需知道函数上两点的坐标即可根据函数模型建立方程组解出函数解析式。

（2）求点C的坐标。

解：由题知一次函数与y轴交与点C，因此可知点C坐标为（0，f），将x=0带入函数解析式y=1/2x，解得y=0，因此点C坐标为（0，0）。

这道题由题意知一次函数与y轴相交，因此可知点C在x轴上为0，因此直接带入函数解析式就可求出点C坐标。

3 运用二次函数模型：y=ax2+bx+c例一、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+√3与x轴交与（-3，0），（1，0），与y轴交与点C，点D与点C关于抛物线对称轴对称。

（1）求抛物线解析式，说出点D坐标。

解：由题知抛物线y=ax2+bx+√3与x轴交与（-3，0），（1，0），因此将两点带入抛物线建立方程组：0=9a-3b+√3和0=a+b+√3，化简得0=12a+4√3，求出a=-（√3）/3，b=-（2√3）/3，因此抛物线解析式为y=-（√3）/3x2-（2√3）/3x+√3。解这道题和一次函数一样，同样需要建立方程组求解，如果这道题中有三个未知量，则需要三个坐标点来求解，这是求二次函数需要的因素。给出的模型首先要判断是什么函数，然后根据它的模型带入数值求解即可。

（2）解：由题知抛物线与y轴交与点C，根据所学知识可求出点C坐标为（0，√3），题目要求点D坐标，首先需要知道抛物线对称轴，根据定义知抛物线关于x=-b/2a对称，因此根据上式求出的抛物线解析式可知对称轴为x=-1，因为点D与点C关于抛物线对称轴对称，因此由点C坐标可知点D坐标为（-2，√3）。在这道题中主要运用了二次函数的对称轴公式，所以学生要牢记函数的相关定理和公式，已解决更难的问题。

4 结语

学会函数模型是解题的必要前提，学生只有熟悉这些知识才能灵活运用并轻松解题。生活中处处有数学，学生通过这些知识的掌握不仅增加知识，更重要的提升自己解决问题的能力，也学会了自觉思考并面对问题。

【参考文献】

[1]帅中涛.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].读与写（教育教学刊），2012（03）：126.

[2]赵涛.三角函数在高职高等数学中的应用[J].四川职业技术学院学报，2011（02）：108-110.