初中生数学核心素养培养的常态实践与探索

高原

[摘 要]

数学核心素养的培养需要将关注学生思维的发展置于相关研究的核心地带并贯穿于数学教育的始终；数学核心素养的培养需要充分发挥数学的内在力量，通过基于常态化和过程性的数学教育活动慢慢浸润，使学生逐渐学会数学的看待世界形成正确的数学观、使学生逐步学会数学思考进而学会思维、使学生逐级提升思维品质从而实现数学素养的全面提升。

[关键词]

数学核心素养；思维发展；数学思考

数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，是学生为了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体。随着基础教育课程改革的不断深入，“核心素养”被置于深化课程改革、落实立德树人的基础地位，并且正在成为新一轮课程改革深化的方向。与此同时，数学素养的研究也随之走向深入，数学核心素养研究已经成为当前数学基础教育研究的热点问题。然而，素养需要在长期的教育中慢慢养成，因此，“如何将数学核心素养的培养落实到常态的数学课堂教学过程之中”便成为数学核心素养研究在实践层面上的一个关键性问题。

本文试图以初中数学“平行四边形”复习课的几个教学片段为例，谈谈笔者常态教学中基于数学核心素养培养的教学实践与思考，来与同仁们分享与交流。

一、构建知识体系，优化知识结构，学会系统思考

（一）构建图形定义网络

问题设计：本章我们是如何获得这些特殊的平行四边形的呢？结合图形的动画演示过程，请你思考这些四边形之间具有怎样的关系？

师生活动：一方面，教师结合“将平行四边形的边或角进行特殊化获得特殊的平行四边形”的几何画板动画演示过程，让学生沿着“平行四边形——矩形、菱形——正方形”的研究路线来动态地重温概念学习的关键过程；另一方面，教师通过引导学生在对应序号处填上对应的条件，梳理图形的定义，进而形成图形定义网络，通过引导学生在适当的位置填上对应的图形名称，明确图形概念的内涵与外延。（活动媒体呈现，如图1所示）

问题设计：你能按照同样的顺序从“边、角、对角线”的角度来梳理本章所学图形的性质定理吗？

师生活动：教师引导学生以小组为单位按照“平行四边形——矩形、菱形——正方形”的研究路线梳理图形的性质定理（如图2）。此外，教师需要结合图形进一步地明确图形间蕴含的“一般与特殊”的关系，即特殊图形除了具有一般图形的一切性质外，还具有属于自己的特殊性质。

（三）构建图形判定定理网络

问题设计：接下来，我们将继续我们的复习旅程，我们要将视线锁定在这些图形的判定定理上。本章，我们是从图形性质定理的逆命题讨论中研究判定定理的。通过学习，大家不难发现，要想正确地使用图形的判定定理，关键是需要明确“原图形是什么四边形”。

问题①：如果原图形是四边形，你能从“边、角”的角度来梳理本章所学图形的判定定理吗？

问題②：如果原图形是四边形，你能从“对角线”的角度来梳理本章所学图形的判定定理吗？

问题③：如果原图形是平行四边形，你能从“对角线”的角度来梳理本章所学图形的判定定理吗？

师生活动：教师引导学生在明确“原图形是什么四边形”的基础上，梳理相关图形的判定定理，让学生在命题条件的逐步加强过程中进一步地体会图形“一般与特殊”之间的关系。

设计思考：《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部与整体知识的关系，引导学生感受数学教学的整体性。”复习课的教学的核心“生长点”之一应该是加强知识间的联系，优化知识结构体系。鉴于此，上述呈现的教学设计片段序列，从两个维度入手着力构建知识网络：一条是采用贯穿整章的“从一般到特殊”的研究方法所呈现出来的图形特殊化路径——“平行四边形——矩形、菱形——正方形”，另一条是平面图形研究的一般技术路线——“定义——性质定理——判定定理”。构建知识网络过程中，始终引导学生按照“边、角、对角线”的数量关系和位置关系（图形构成要素的关系）的线索展开。

二、动态探究问题，把握问题本质，学会数学思考

师生活动：（刚刚分别按原图形是四边形和平行四边形，从对角线的角度梳理完图形的判定定理）

师：事实上，从对角线入手研究平行四边形和解决平行四边形问题是一条行之有效的路径，下面请同学们来解决这样一道问题：

问题呈现方式说明：利用几何画板在一个原始图形的基础上进行条件的变化，动态生成式地呈现题组，而非静态图片的直接切换。

问题呈现：

问题①：如图，点E、F是?ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，连接DE、EB、BF、FD。

求证：四边形DEBF是平行四边形。

师：接下来，其他条件不变，我们让点E、F的位置发生改变。（呈现问题文字信息，拖动点E、F）

问题②：如图，如果点E、F分别在CA和AC的延长线上时，且满足AE=CF，上述结论仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

师：接下来，保留平行四边形及其对角线不变，我们让图形进一步地变化。

问题③：如图，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作直线GE、HF，分别交平行四边形的四条边于点E、F、G、H四点，连接EF、FG、GH、HE。试判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

师：（问题分析，解题指导）结合图形，由前面问题的解决过程可知，要想通过对角线证明四边形EFGH是平行四边形，即是证明OH=OF，OG=OE。这个问题的本质是“证明两条线段相等”的问题。解题经验告诉我们：要想证明两条线段相等，通过构造或者证明三角形全等是一条行之有效的办法。

师：下面，保持图形基本结构不变，我们将GE与HF的位置关系进行特殊化。（变化图形）

问题④：当GE⊥HF时，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

问题⑤：在问题④的条件下，若AC=BD，则四边形EFGH的形状是__________。

师：（用几何画板格点自动吸附功能，拖动图形）

生：菱形。

师：为什么条件改变了，四边形EFGH的形状却没有发生变化呢？

生1：因为对角线的关系决定了图形的形状，所以，虽然题干的条件改变，但四边形EFGH的对角线GE⊥HF的关系却保持没变，这样，四边形EFGH的形状就保持不变。另外，变化的条件“AC=BD”中的AC和BD是四边形ABCD的对角线，由“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理可知四边形ABCD的形状变为矩形。

师：（利用几何画板格点自动吸附功能，拖动图形）

问题⑥：在问题⑤的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

生：（猜测）四边形EFGH的形状为正方形。

师：首先来看看我们“已经知道什么条件”以及“由已知条件还能得到怎样的结论”呢？

生2：在⑤的条件下，我们知道四边形EFGH的形状为菱形、四边形ABCD是菱形。再由AC⊥BD，我们可以判断此时四边形ABCD为正方形。

师：很好！那么要想证明四边形EFGH的形状为正方形，我们只需证明什么即可？

生3：只需证明对角线GH和HF相等。

师：而要想直接证明对角线GH和HF相等，大家有什么办法吗？

生：（沉默，独立思考，观察图形，尝试证明）

师：我们还有哪些条件或者是已经得到的结论可以利用吗？

生4：四边形ABCD是正方形。

师：请你结合图形再具体点谈。

生4：因为四边形ABCD是正方形，易知OA=OB，∠3=∠5=45°，再由“叠角模型”可知∠1=∠6。接下来，通过证明△AOH≌△BOE（ASA）可证得OE=OH，同理OG=OF。再由OE+OG=OH+OF，可知GH=HF。这样，就可以证明猜想正确。

师：漂亮的证法！但是，大家还是别着急，让我们慢下来回头再看看问题解决的过程。当我们想要直接证明GH和HF相等遇到困难时，其实可以通过倍分变化间接地将问题转化为“证明它们的一半相等”来实现。同学们一定要积累这样的解题经验。

师：回顾本题的解题过程，大家实际上是从已知条件和待证结论两个方面入手的。我们通过“已知……，可得……”和“要想……，只需……”等类似的数学思考进行了双向的探索，并且积极地尝试沟通已知与结论之间的联系，逐步拉近已知与结论之间的距离，进而寻得解法，证得结论。通过本题的解决过程，老师希望同学们不仅仅要知道如何解决问题，更重要的是要学会如何寻得解法，学会如何进行数学的思考。

设计思考：以上两个教学过程设计片段是本课教学的又一类核心认知活动，也是复习课的核心“生长点”，即“在知识体系建立的基础上优化认知结构，让学生在问题解决的过程中进行知识的选择性调用，从而发展逻辑推理能力与分析和解决问题的能力，培养应用意识和创新意识。”两个片段的设计力图通过信息技术深层次融合下的启发式数学解题教学活动，充分发挥数学的内在力量，来帮助学生学会“数学地看待世界，發现问题，表述问题，分析问题，解决问题”，进而“学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深、更合理”。事实上，这也正是落实数学核心素养培养的关键所在。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015（1）.

（责任编辑：张华伟）