一道三角试题引发的一点思考

许四军

摘 要 本文以一道有关三角的化简求值问题为引例，从不同角度去思考如何展开三角函数一章中多个知识点及方法的复习，从而帮助学生能迅速复习及巩固所学三角公式及方法，同时引导学生如何进行发散思维。

关键词 三角 复习 发散思维

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

笔者在一次三角复习课时，遇到下面的一道关于三角化简的简单问题：

引例：化简求值：

本题考查三角恒等式的基本性质的运用，属于简单题。但是大家都知道三角函数在高考中的分量比较重，而本章的公式在高中数学各章中是最多的，对学生而言，记忆较为困难。通常情况下，在进行三角复习时，很多学生都是先花时间去整理归纳三角的公式，课后再去死记或者去默写，测试等方式去记忆这些公式。这样做当然无可厚非，训练多了，大部分学生都能记住并应用，但是对于一些后进生而言，可能比较困难。因为离散的东西总是不好记忆，如果像穿珠子一样，把这些公式用一根主线（如问题）全部串联在一起去记忆，是不是效果要好呢？

经过实际教学情形，本文尝试对于引例给出以下不同解法，这些解法分别涉及到三角恒等式中的两角和与差的正余弦，正切公式、二倍角公式、辅助角公式以及平方差、完全平方公式等各个公式，涉及到拆角思想，三角中常见公式的逆向运用和 “1”的巧用等思想方法，同时给出一些思维变式训练。通过本题的各种解法，可以发现这些知识点之间并不是相互孤立的，而是存在着密切的内在联系，它们就像一张知识网一样构成了一个有机整体。

法一：利用二倍角余弦公式或拆角思想求出15€暗恼嘞抑？

解： cos30€？= cos215€？= 12sin215€？= 2cos215€？ =

解得，sin15€？= ，cos15€？= 。

这样，代入原式得结果为 关于拆角思想，可将15€安鸪？5€？30€？或60€？45€？等，再结合两角差的正余弦公式可得结果。此外，可要求学生记住如何求15€凹？5€暗恼嘞抑导巴频迹徊娇傻胻an15€？= 2 ，tan75€？= 2 + 。

法二：利用平方差公式，上下同乘以分子，再利用二倍角正余弦公式

解：原式分子分母同时乘以sin15€？ cos15€暗？

原式=

= = =

注：当然分子分母同时乘以sin15€？+ cos15€耙部伞U庋砜傻玫狡椒讲罟胶屯耆椒焦降男问剑夂苋菀紫氲饺侵卸督怯嘞夜胶驼夜健？

法三：上下同除以15€暗挠嘞遥昧浇遣畹恼泄？

解：原式分子分母同除以cos15€？得

原式= =

= = tan（45€？ 15€？= tan30€？=

注：本解法利用了1=tan45€？这个技巧，构造了两角差的正切公式的展开式，逆向使用该公式可得结果。这里可向学生强调三角公式的逆向运用的重要性。

法四：先判断正负号，然后利用二倍角正弦公式求平方值，再开根号。

解：由于0

这样，原式= =

= =

注1：此法容易让我们联想到，对任意角 ，下面三者：

sin +cos ，sin cos ，sin cos

间的平方关系为：（sin €？cos ）2 = 1 €？2sin cos ，进一步让学生思考，辨别，解决并总结以下问题：

问题1：求函数f（x）=sinx+cosx的值域；

问题2：求函数f（x）=sin2 x+cosx的值域；

问题3：求函数f（x）=sin2 x+sinxcosx的值域；

问题4：求函数f（x）=sin x+cosx+sinxcosx）的值域。

（答案分别为： [，]， [1，]，[，]，[1，+]）

注2：方法延伸：结合本解法，思考以下变式训练：

已知180€埃肌。？60€盎颍？ （答案为）

法五：利用辅助角公式及两角和与差的正余弦公式进行逆向化简。

解：由于sin15€？ cos15€？= （sin15€？ cos15€？

= sin（15€？45€？） = ，

同理，sin15€？+ cos15€？= （sin15€？cos15€？

=sin（15€？+45€？ =

把以上結果代入原式得结果为

注：一般地，对任意角 ，根据两角和与差的三角函数公式我们有下面的辅助角公式：asin +bcos = sin（ + ），其中 满足tan = ，或者，上式右边换成cos（ ）其中 满足tan = 该公式其实是两角和与差正余弦公式的逆向运用。

以上各种解法所涉及的知识点及方法都是三角函数一章中的基本要求，学生务必掌握。教师在进行三角复习时，可以不必先花时间来进行知识的梳理总结，因为很多学生会觉得枯燥。如果通过目标引领（本文的引例），结合问题来思考解决，进而总结出知识点及方法。这种复习方式也许会让学生对知识方法的理解更深刻。