基于解析几何复习教学的几点反思

张炳峰 戴栋焱

[摘 要] 很多教师在学生基本掌握复习内容的前提下常常不经意间就将数学复习课上出了“炒冷饭”的味道，知识的简单累加使得知识新授课的历史重演，学生感受不到新意的同时也会觉得课堂枯燥无比.

[关键词] 定点问题；复习教学；反思

解析几何的定点问题一直是一个相当重要的内容，笔者在高二年级解析几何定点问题的复习教学中产生了一些感悟，本文结合笔者的课堂教学实践与自身的思考对该内容的课堂教学进行了反思.

教学过程

例：如图1，已知抛物线y2=2px（p>0）及抛物线上两点A，B，满足⊥，直线AB是否经过定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.

笔者在学生思考的空隙画出了示意图.

师：同学们，我们之前已经学习了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的性质等内容，今天这堂课的研究重点是解析几何中的定点问题，我们应该怎样将已学知识联系起来对这一问题展开研究呢？

生1：我认为这个定点是F，0.

师：你的理由是怎样的呢？

生1：我们研究抛物线时接触得最多的便是抛物线的焦点与准线等问题，结合这张图我认为定点应该就是焦点.

其他学生中有持赞同意见的，有的则蹙眉不语.

生2：我感觉不对呢，因为当直线AB垂直于x轴时，可以得到与x轴的交点为（2p，0），因此，我认为定点应该是（2p，0）.

师：很好，生2运用特殊化的办法将生1的猜测否定了，给出自己猜想的同时还运用到了由特殊到一般的思想方法，这是值得同学们学习的. 那么，对于你自己的猜想你怎样证明呢？

生2：还没想好.

师：同学们能帮他证明这一猜想吗？

生3：我认为可以设A（x1，y1），B（x2，y2），因为⊥，所以x1x2+y1y2=0，这样找到x1，x2，y1，y2这四个变量之间的关系并设直线方程. 不过我又感觉这一做法中包含的变量太多，后面怎么做我也不会了.

师：充分利用题中所给的向量条件来处理问题的想法很好，既然大家感觉利用向量来找关系有一定难度，那么大家是否可以思考这一向量垂直条件的其他用法呢？

生4：因为OA⊥OB，所以设直线OA的方程为y=kx（k存在，k≠0），则直线OB的方程为y=-x，与抛物线方程联立可以分别求出A，B两点的坐标，并依据A，B两点的坐标再求出直线AB的方程并最终求出定点.

师：太棒了！利用题中的垂直条件使得四个变量减少成了一个，变量的减少将“围魏救赵”的战略策略完全体现了出来，参数数量过多带来的困扰得以成功化解.

师：定点是焦点这一结论已经被生2利用特殊位置否定了，是否还有其他办法能够求出该定点呢？

生5：设点C（2p，0），通过证明∥，从而证明A，C，B三点共线.

师：这种思想方法从另一个角度将此定点问题解决了. 同学们刚才的发言都很有思想性，事实上，解析几何中的定点问题借助多媒体可以实现直观的演示并使学生建立准确的感性认识，考试新题设计的时候就会经常运用这种方法.

教师随即利用几何画板将这一问题进行了动画演示.

师：同学们，条件与结论互换之后的命题还成立吗？这是留给大家课后思考的问题.

师：解析几何中定点问题究竟应该怎样解决是我们这一堂课重点研究的问题，我们在上述的探索与讨论之后不难发现，合理选择参数并大胆假设直线继而转换成恒成立问题之后一般都能解决此类问题，不过，选择参数时还是要慎重的，应注重运用多个途径来进行消参并简化计算. 另一办法就是利用特殊位置进行定点的猜测并结合三点共线的证明来解决.

教学反思

1. 教学应关注目标并体现新课程理念

教学活动实施的方向以及预设可能达成的结果即为我们每节课所确立的教学目标，作为教学设计核心与关键的教学目标对于课堂教学来说就是指挥棒与生命线. 本节课的教学目标就是引导学生在探索、思考中发现并掌握解析几何中定点问题的常用解决办法. 学生的思维在教师所设计的层层递进的教学活动中飞向高空但又固定在一定的轨道上. 教师在平时的教学中一定要对教学目标加强关注，这一具体的微观目标专注于学生对具体内容的学习，是教学活动中细节问题的处理，因此，“具体化”“可操作”“可检测”成为教师检查教学目标实效性的标准，也是教师在课堂教学中所要强调的.

2. 教学应关注学生主体并拓展学生思维

高中数学新课标尤其强调了教师应对学生的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等方法进行大力地倡导与指点，这些方式能够更好地促进学生学习主动性的发挥并使学习过程成为学生思维再创造的过程. 学生在本节课的复习教学之前已经初步掌握了解析几何中“坐标法”这一基本思想，处理直线和圆锥曲线的方法也已经得到了系统的学习，因此，本节课的复习教学完全可以把课堂还给学生，使学生在“头脑风暴”式的探究中不断拓展思路. 事实上，本章节知识系统的完整性也确实在前后呼应的知识整合中得到了构建与完善. 笔者在本堂课的教学中关注学生解题思路的同时也在对学生进行及时的肯定与表扬，学生在教师的鼓励与表扬中大胆地展露了自己的思想，“教师主导”“学生主体”的新课程理念也在教学设计中的讨论部分得到了充分的体现，将课堂还给学生并充当幕后推手的教师使课堂教学中教师“一言堂”的情况得到了彻底的改变，学生的思维也得到了最大限度的锻炼和发挥.

3. 教学应关注小切口的把握并追求新视角

复习课上出新意才能使效果更好，相当一部分教师总认为数学复习课的教学难度很大，因为学生已经掌握基本的数学知识，因此很多教师不经意间就将数学复习课上出了“炒冷饭”的味道，知识的简单累加使得知识新授课的历史重演，学生感受不到新意的同时也会觉得课堂枯燥无比. 事实上，复习课在知识的回顾与整理中加强思想方法的沟通才是正确的. 因此，有所侧重绝对是复习课教学首先应该把握的，某一块知识或某一类问题的集中解决是复习课教学的重点. 其次，教师应在复习课的教学形式上力求做到切口小、视角新以摆脱复习无趣的困境. 本课的复习教学没有把定点与定值问题捆绑在一起，对于定点问题进行了集中关注与解决，这是把握小切口这一原则在教学设计中的具体体现，学生的知识在纵深方向上的延伸得以实现，连点成线、以点带面的复习效果也因为这一设计得以实现.

本节课一改直接设直线AB的方法并以新的视角与问题为线索对解决方法进行了探究，设OA，OB两直线方程后求出A，B两点的坐标并最终求得直线AB的方程，学生知识的增长点得到了新的构建，学生原有知识的归纳与整理因为小切口、新视角的设计得以更好地实现，学生感觉新鲜、新奇的同时也建立了多角度思考问题的意识，这与华罗庚教授所提出的从其他角度进行复习的理念是完全吻合的.

4. 教学应借助多媒体并实现新飞跃

学生在定点这一高考重点内容上的得分率一向是比较低的，仔细分析发现，学生对定点产生的原因与过程不能很好地理解是导致得分低下的主要原因. 笔者在本课的教学中借助多媒体手段为学生对定点产生建立直观感受起到了很好的推动作用，学生因此对定点问题与恒成立问题之间的转化形成了更好的体会，由此可见，适时而合理的多媒体手段对于学生感性认识的建立、感性认识向理性认识的转变来说都是极有意义的.

5. 教学应彰显课堂本色并延伸小课堂

知识的传递与技能的训练应该是课堂教学最为注重的环节，本课教学结束时所设计的问题使学生能够对所学内容进行有意义的复习与巩固，原有例题的功能因为这一设计得到了升华与完善，目标突出、节奏紧凑、主题鲜明的课堂本色也因为教师的精心设计得到了充分的彰显，同时，画龙点睛的这一设计也使数学课堂沿着教学发展与学生发展的规律顺利延伸，往往给學生回味无穷的体会与感受.

复杂动态的复习课是巩固、深化所学知识的过程，也是发现、解决教学疑难并不断改进教学的过程，因此，教师应在复习教学中引导学生对所学知识、经验与教训进行不断地吸收与总结并保证复习教学的意义.