高中数学教学理解的三种范式

顾晓莉

[摘 要] 核心素养对高中数学提出的要求是教师及学生对数学教学有基本的理解. 事实证明，基于实践的参与范式，基于对话的交往范式，在数学学习中起着重要作用，而理解范式则为数学学习提供了精神基础. 基于这三个范式建立的教学理解，可为数学有效教学以及核心素养培育提供充分保障.

[关键词] 高中数学；参与范式；交往范式；理解范式

核心素养培育视角下的高中数学教学，需要一个基本的前提，那就是对高中数学教学形成基本的理解. 通常情况下，数学教师对自身所从事的学科教学的理解是经验性的，是以默会知识的形态存在的. 经验的作用在于使当事人在既定的轨道上稳定前行，经验的局限在于未经理论提取时，不能以指导性的形态存在. 而教学理解显然是离不开理论建构的，因此将对高中数学教学的理解置于一定的范式之下，显然可以让理论与实践更好地结合，从而让教师的教学经验上升为教学的智慧.

文军萍、陈晓瑞等人通过对课程学习共同体的研究，提出了课程学习共同体建构的三种范式，笔者在解读这三种范式时，发现其对一线教师的教学理解深化是非常有用的. 这种作用主要体现在从学科到课程、从实践到理论、从学习到教学等关系的辩证思考上，也体现在教师对自身教学过程的内省上. 同时需要强调的是，范式作为描述个体或群体存在的行为的重要理论，其与一般理论不同的是，从范式视角研究教学，可以让教师个体自身的个性化的教学理论置于一个具有一定范围内共同认同的范畴当中，从而让教师的个体理论获得一种群体效应，进而获得一种能够对自身教学行为产生积极影响的默会力量. 下面，结合高中数学教学的相关实例，谈谈三种范式在高中数学教学中的理解.

参与范式对高中数学教学的实践意义

参与范式认为，人作为自由的存在，是在实践过程中通过听与记来实现对间接知识的理解并应用于自身的实践的. 在这种范式中，学习者的参与成为学习的关键，而这个参与又不是漫无目的的，而是指向实践性活动的. 在高中数学教学中，实践性活动并不鲜见，尽管其与参与范式中所说的实践还有所区别，但还是存在诸多共性的. 因此，依据数学教学中的实践活动，以让学生高效参与，并让学生的参与在某一范式下进行，那构建数学知识或运用数学知识进行问题解决的过程，就会变得更加高效.

在这一范式中，“参与”与“实践”实际是两个关键词，“参与”由学生的主动性驱动，“实践”由教师提供的学习情境得到保证，于是教学就在学生的参与实践中获得了意义，学生的核心素养也因此得到了培育. 这里不妨以“圆锥曲线”为例进行描述.

圆锥曲线是高中数学的重要内容，学生以圆锥曲线的理解，关键在于其能够有效构建出对圆锥曲线中三种典型曲线的共性认识，这个认识可以是讲授的，但在讲授的情境中学生缺乏体验，因而印象难以深刻，而如果让学生充分实践，则学生可以在实践中生成体验并形成数学认识. 于是，这一范式指引下的本章教学设计即可以是这样的：首先，用多媒体呈现椭圆、双曲线和抛物线，让学生判断这三种曲线是否存在什么关系. 通常情况下，学生是看不出联系的，因为学生的思维中这三种曲线的表象明显不同，生成途径也不同. 其次，让学生体验用一个平面从不同角度截（切）一个圆锥的过程. 这个过程需要教师提前做好数学实验的器材准备，这里主要是要准备两个锥面，最好用稍硬点的纸板卷成一样大，由于在操作上难以锥角对接（得椭圆时只要其中一个锥面），因此可以分开完成“截”这个动作，在得到两个一半的双曲线或抛物线时，再结合学生的想象力，即可完成与平面直角坐标系中的完整的图形的重叠. 这一步操作至关重要，是参与范式中的“实践”主体，是学生生成经验并上升为数学理解的关键环节. 参与范式所强调的学生在“具体某项实践活动情境”下进行“知识的理解、分享与创新”，而这是超越感官意义上的学习的. 在这样的理论对比之下，就可以发现很多时候我们对学生的学习的强调，恰恰就只是感官上的听与记，而不是真正的实践.

高中数学学科知识固然抽象，高中数学应试固然强大，但从核心素养培育的角度来看，从学生构建数学知识的有效性角度来看，参与范式所强调的学生在数学学习中的实践活动，确实是有着其他教学方式所无法替代的意义. 因为参与范式本质上是在引导学生通过实践活动来进行学习，同时也是强调实践在自身教学范式中的重要性，这是一种“沉浸式”的参与，是师生在教学中通过群体（班级授课制的背景下，高中数学教学中的实践必定是群体性实践）的合作学习，来让个体获得数学学科核心素养的提升.

交往范式引导学生高效数学对话教学

交往是人际关系的基本形式，在教学中建立交往范式，旨在通过人际交往这种形式对生成高效的数学教学. 从数学史的角度看，交往在数学发展中的促进作用是显著的，今天的数学成就很大程度上就是在数学家的交往中获得螺旋式的上升的. 将数学探究史迁移到高中数学教学中来，亦可以发现交往之于学生数学学习的意义. 在交往范式中，教学主要体现为对话，这里的对话不是交谈，而是学生之间基于共同的数学话题，进行观念的交流与意义的建构. 交往范式是基于交往理论而形成的，交往理论强调个体（譬如作为学习主体的学生）与他人的一种相互依赖与共存关系，人之所以需要交往，是因为有交往的需要，是因为人需要“相互认识自我”（海德格尔语）. 于是在高中数学教学中，交往范式就可以获得这样的理解：高中数学学习过程中，学生基于共同的学习内容或话题，进行民主、无畏惧的表达. 显然，这样的理解超越了当前合作学习的语境，更强调学习者在对话情境中的心理安全需要，因为只有在学生感觉心理安全的前提下，学生的任何想法才不至于因为交往情境的不民主而被隐藏.

同样如“圆锥曲线”的三种典型曲线的概念构建中，一个很重要的基础是，学生如何才能形成椭圆、双曲线和抛物线的同宗同源的认识. 上一点介绍的参与范式中的学生体验，其价值在于让学生通过自身的实践，形成一种经验性的认识. 作为高中数学教学，还有一个在其基础上的将经验认识转换为数学理解的过程，这个过程就可以在交往范式下进行. 具体地说：在完成了用平面截（切）锥面的实践之后，学生其实首先是根据所截得的曲线的形状进行猜想可能的曲线，这个猜想过程从数学知识发生的角度来看并不简单，因为猜想实际上将学生所看到的曲线形状（经验范畴）与自己经验中的已有曲线概念（数学范畴）进行相互作用，而在这个比较过程中，学生自然会提出如何证明猜想的问题. 此时，教师给学生一个合作学习的空间，让学生对这一问题的猜想与解决过程进行充分的对话，那学生就置身于交往范式中了. 事实证明，在交往范式中，学生对数学概念构建的过程更为充分，一个重要的表现就是学生在讨论的过程中会表现出非常开放的一面，“头脑风暴”式的交往的价值，显然也就超过了“独白式”的学习，用专业研究者的话说，就是学生在交往范式中会有“学习知识”与“学会求知”的双重体验，而后者显然是指向能力范畴的，与核心素养中的关键能力是一脉相承的.

理解范式驱动数学学习中的精神体验

对“理解范式”的理解，在于“理解”本身. 理解范式强调的是学生在学习过程中生成“自律的、反思的、基于契约精神的”学习共同体，强调学习者（学生）之间形成超越功利主义与工具理性，以让学生之间形成一种相互信任与相互理解的关系. 相对于参与范式和交往范式而言，理解范式似乎更多的是在学生学习的精神层面提出的要求，这里不妨以当前最重要的学习方式——合作学习为例，来解读理解范式在高中数学教学中的效用.

在上面所举的圆锥曲线的学习中，无论是学生的实践，还是学生的交往，其实有一个共同的基础，那就是学生之间彼此的理解与信任，正是因为对对方的信任，所以才能在合作学习中理解对方的观点，抑或是批评对方的观点. 比如说有小组内一学生对用平面截圆锥面的操作提出了质疑：如果在切的过程中，锥面发生了形变，那得到的结果不是就不准确了吗？而真正切的时候是不可能没有一点形变的……这样的问题对其他学生的“打击”在于：原先通过观察提出的猜想，此时要面临一个根本性的颠覆. 但又不能说这个观点不正确. 在这样的纠结中，学生之间不是互相批评，而是将问题提交到笔者这边. 笔者在表扬了该生的思考之后，提出两点：一是我们的实践是为了猜想作铺垫，但猜想并不完全根据实践和猜想来完成；二是可以通过理想化的处理，比如说通过计算机程序来完成这样的一个实践过程，这样就可以避免操作中引起的偏差，于是课前准备的课件又自然地发挥了作用……进一步反思，当笔者介入学生的讨论时，实际上笔者也是以共同体内可以依赖的角色参与的，正因为学生对教師信任且理解，因而这个理解范式中的笔者参与也才有了意义.

总之可以这样认为，正是因为在学习过程中总存在着互相理解，因而理解范式才能以显性或隐性的形式为学生的数学学习发挥作用. 从这个角度讲，理解范式其实本就是数学教学的必要条件.