变限的函数及其导数教学方式研究

吕希元

【摘要】探讨一元函数变限积分函数及其导数的教学方式，针对变限函数适用题型多，但计算繁琐，易出错的特点，举例并归类说明不同类型题目如何正确用积分函数求解。

【关键词】导数  积分  极限

【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0130-01

一、积分上限函数介绍

定理：若f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数Φ（x）=■f（t）dt，就是f（x）在[a，b]上的一个原函数，即：Φ'（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b]。

证：记Φ（x+Δx）=■f（t）dt，得：

ΔΦ（x）=Φ（x+Δx）-Φ（x）=■f（t）dt-■f（t）dt

=■f（t）dt+■f（t）dt-■f（t）dt=■f（t）dt

由积分中值定理得：ΔΦ（x）=f（ξ）·Δx，ξ∈（x，x+Δx），从而Φ'（x）=■■=■f（ξ）=f（x）。

推论1：设f（x）在[a，b]上连续，φ（x）在[a，b]上可导，且a≤φ（x）≤b，x∈[a，b]，则：■■f（t）dt=f[φ（x）]·φ'（x）。

推论2：设f（x）在[a，b]上连续，，φ（x）、，ψ（x）在[a，b]上可导，且a≤φ（x），ψ（x）≤b，x∈[a，b]，则：

■■f（t）dt=f[φ（x）]φ'（x）-f[ψ（x）]ψ'（x）

二、应用

变限函数的导数在微积分中是一个很重要的部分，依据多年的教学经验，发现学生在解答类似问题时，依然存在很大问题，比如，不知道导数的本质，及无法和其他方法结合来求导。

例1：设函数y=y（x）由方程■e■dt+■sintdt=0所确定。求■。

解：在方程两边同时对x求导：

■■e■dt+■■sintdt=0

利用复合函数求导得：

■■e■dt·■+■■sintdt=0

即： e■·（2y）·■+（-sinx）=0

故：■=■。

对于变限函数的复合型函数求导，一般就用复合函数的求导法则对函数两边同时求导。

例2：求■■。

分析：这是■型未定式，应用洛必达法则。

解：由■■e■dt=-■■e■dt=-e■（cosx）'=sinx·e■

故：■■=■■=■。

对于变限函数是分式函数求极限时，如果为■型未定式，则可以用洛必达法则分子分母同时求极限求解。

例3：设f（x）在（-∞，+∞）内连续，且f（x）>0，证明函数

F（x）=■在（0，+∞）内为单调增加函数。

证：因为f（x）在（-∞，+∞）内连续，故F（x）在（0，+∞）内可导，所以对F（x）用商的求导法则，可得：

F'（x）=■

=■

由已知条件f（x）>0（x>0），知■f（t）dt>0，又（x-t）f（t）>0，故：■（x-t）f（t）>0，所以F'（x）>0（x>0），故F（x）在（0，+∞）內为单调增加函数。

一元函数微积分中求变限函数的导数是很重要的一个内容，它是联系前面所学的导数和不定积分以及后续所学的定积分的一个桥梁，所以地位非常重要，在多年的教学实践中发现，学生对此块内容的学习存在很多问题，本文重点例举了学生易犯错的几何变限积分的应用，通过上面的分析，加深对变限积分求解的了解。

参考文献：

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