解析几何中求参数取值范围的方法

罗奕辰

几何中的求解参数取值范围是高中数学学习中需要重点掌握的知识点，这不论是在平常的考试或者是高考中都占有较大的比分值。本文从数形结合、建立不等式、几何图形的性质以及函数与方程思想四个方面对几何中求参数取值范围进行了一定的分析，以期为广大高中生提供参考。

解析几何在高中的学习知识中，涉及的范围广，且大部分具有难度性，所以学生在学习参数取值这方面的知识有一定的困难性。这类问题考查的综合知识点强，给解题带来了很多困难。所通过对几何中参数取值范围的解答进行归纳和总结，找出其中的方法对问题进行解决，从而激发学生的学习思维，掌握解题技巧，提高数学成绩。

数形结合求参数取值范围

数与形在一定条件下是可以转化的，这也是数学中比较常见的解题方法。以这样的方式可以使较为抽象的数学题变得更加浅显易懂，利于我们快速的掌握几何中参数取值范围。在求解中，其基本思路就是数形的结合，重点把握点、线、面三者的性质和关系。

例如：在F（0）可以转化为3/2*sinθ+1/cosθ+2，所以将F（θ）可看为两个点，分别为A（cosθ，sin θ）和B（-2，-1），且线的斜率是3/2倍，求K的取值范围？

解题分析：利用三角函数的解题思路，数形结合的即可进行解答。首先将A（cosθ，sinθ）看做是一个单位圆，且为单位圆X2+Y2=1上的動点，B（-2，-1）为单位圆外的一点，进行作图即可得出。如图1所示，得出当K的取值范围在[K_BA1，K_BA2]，kBA1等于0，假设出直线方程BA2为：y+1=k（x+2），最后结果K的是4/3，且在区域为[0，2]时，K的取值范围为[0，4/3]。对于数形这类知识点的解答，其基本思路一定要明确已知的条件，从题中的条件和结论出发，运用圆的公式和定理进行表达，画出相符合的图形，最后得出确定的答案。

建立不等式求参数取值范围

几何题中出现的不等式称之为几何不等式，可以利用题中设定的不等式关系，根据相关公式运用不等式求参数的取值范围。而如果在这道题中，给出了已知条件的不等式关系，就要假设其中存在的变量，找出它们之间相同点，构建不等式，并通过求解不等式求出最后的答案。

例如：已知双曲线X²-y2/15=1的左标准线为准线，抛物线的顶点在原点，求出这条抛物线的方程式，并且如果当直线z：y-1=k*（x-1）实数K不为O的情况下，垂直平分抛物线，求实数K的取值范围？

在已知双曲线为X²-y2/15=1的情况下，根据双曲线的基本方程式可以得出x=1/4，所以抛物线为y²=x.这道题考查的是直线与双曲线关系的题，要想求出K的取值范围，则首先要确定K的不等式方程。在抛物线C被直线z垂直平分的弦方程可为x+ky+c=0和抛物线的方程y²=x。解出则是y2+kv+c=0，得出弦的中点是N，将点N带入方程式即可得到（k²-2k+2）（0。所以实数的取值范围是（-2，0）.利用圆锥曲线的定义，以及标准方程式可以进行简单的求解。

几何性质求参数取值范围

可以利用曲线方程中变量的范围构造进行不等式。如在三角形ABC的面积为S，当BC×AB=1，S的范围是[2，12]，求向量AB与BC的夹角取值范围？这道题的分析可以从中建立夹角与面积s的关系，可得出tan θ=2S，12

根据曲线自身的几何性质，以不等式求出参数的取值范围，几何中的常见圆锥曲线本身都包含了一定的不等式关系。例如抛物线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1，而且在圆锥曲线上的点其不论是横坐标或者纵坐标都具有取值范围，从而可以建立不等关系。例如点A（X，Y）与圆锥曲线方程F（M，N）=0存在三种关系：如果A在圆锥曲线上，则F=0，若A在圆锥曲线内，则F小于0。若Q在A在圆锥曲线外，则F大于0，所以可以通过这些关系式来构建不等式。

函数与方程思想求取值范围

通过三角函数的界线对不等式进行解答，当遇到这类型的题时，应该首先考虑从三角函数的性质出发构建不等式关系。圆锥曲线的方程表明了曲线上存在的点与变量之间的关系，在遇到直线、圆与圆锥曲线时可以运用三函数进行解答，可以利用三角函数进行特定公式代入，从而灵活建立不等式，得到取值范围。

例如：双曲线的两个焦点为A，B，如果M是双曲线上的一点，则|AM|=2|BM|求双曲线离心率e的取值范围。在做题之前首先要考虑到这道题所考察的内容到底是什么，然后通过与双曲线有关的性质与公式进行答题，求离心率的方法，可以利用余弦定理与两个焦点之间的关系求得答案。根据三角函数的取值范围建立不等式就可得出正确答案。

在求解几何中的参数取值范围时，对基本理论的熟悉以及充分利用知识中相同点进行转化。将已知公式带入到题中的未知公式之中，综合运用图形、不等式与三角函数知识进行解答参数的取值范围。以上是数学中比较常见的例题，在解答的时候需要我们注意转换思维的角度，扩宽题目的范围，对解析参数的取值范围是一种科学的、有效的方法。