美国现代数学教育改革及其启示

首都师范大学数学科学学院 (100048) 覃 淋

美国是世界数学教育强国，其数学教育理论研究也走在世界前列．每次由美国数学教育界提出的数学教育改革运动，都会在很大程度上影响到其他国家的数学教育改革．目前，我国也在进行一系列的数学教育改革．纵观美国历次数学教育改革，可以发现，数学教育的改革是不可能一帆风顺的．美国曾经在改革中所犯的错误和经历的问题也许与我国数学教育改革中遇到的难题有某些相似之处，以及他们在数学教育改革中的成功经验或许能给我们一些启示．因此，考察美国的数学教育改革，进行总结反思，吸取经验教训，就显得尤为重要．这可以让我国在数学教育改革的过程中少走弯路，避免许多不必要的错误．

1 “新数学”运动

第二次世界大战结束以后，世界上一些工业先进国进入了和平恢复时期，被战争破坏了的经济需要重建，这些变化促进了技术更新，经济的发展使得科学、文化、教育进一步发展．50年代，随着电子计算机的出现，科学进一步加速发展．数学出现了许多独立发展的新分支，数学的应用日趋广泛，迅速渗透到其他自然科学领域．但在学校数学教育中并没有任何改变，传统的教学内容、教学方法及教学理论已经不能适应时代发展的需要．社会各界对当时数学教学质量差、效率低下等现象普遍不满，对数学教育提出了现代化的要求．

经过多次会议讨论，一致认为传统的数学教育有以下弊病[1]：(1) 观点落后，缺乏近现代数学思想；(2) 内容陈旧，基本是十六世纪前的内容，尤其是几何，基本上是欧氏几何的翻版；(3) 体系散乱，代数、几何、三角“各自为政”，缺乏共同的理论基础；(4) 计算繁琐，过分强调计算技巧，脱离实际；(5) 教学方法单调，偏重演绎，轻视归纳方法；(6) 大学与中小学脱节，中小学课程内容长期停滞不前．

1957年11月，苏联第一颗人造地球卫星上天，引起了世界震惊，尤其引起了当时正处于与苏联对峙状态下的美国的强烈反应．美国开始从战略意义上反思检讨自己教育的失败，尤其是数学教育，得出了“极为重要的空间和国防计划方面能否成功，极大地依赖于数学及其应用是否占优势”的结论．于是，数学教育相关的各项研究随之而起．

1959年9月，美国科学院召开了一次会议，会议主席布鲁纳在报告中提出了几个观点： (1)学习任何学科，务必使学生理解该学科的基本结构；(2) 任何学科知识都可以用某种适当的方法教给任何年龄的学生．随后在法国召开的一次国际性数学教育改革会议将这次改革推向了全世界，许多国家(包括一些发展中国家)都纷纷制定了新的教学大纲，编写了新的数学教材．

这些教材具有以下的共同点[1]：(1)结构化——统一化，以集合——关系——映射——运算——群——环——域——向量空间的代数结构为主轴，把中学数学内容统一起来；(2) 公理化——抽象化，把集合论的初步知识和几何公理化引入教材；(3) 现代化——通俗化，增加了许多近现代的数学内容，大量使用近现代数学符号；(4) 几何代数化，打破欧氏几何体系，轻视几何，重视代数，大量减少传统几何的内容；(5) 计算机化——离散化，普及电子计算机和计算器，使之与数值分析、概率统计等相结合；(6) 传统数学精简化，增加近现代数学知识、观点和方法，精简传统数学内容．

以美国学校数学教育研究小组(SMSG)编写的教材为例，该教材大力强调数学的严谨性与形式化，企图从数学的公理体系出发，发展学生的数学知识．更有甚者，在小学数学教材中竟然编入了集合论、群论的内容．造成的后果是，学生只知道2+3=3+2，而不知道2+3=5．由于过分强调公理化、形式化和演绎推理，通过新数学教材培养出来的学生，计算能力和基本技能都很差，各种考试成绩也大幅下降．引起了社会各界强烈不满，批评之声不断，最终无可挽回地走向失败．

2 “回到基础”运动

新数学运动失败后，作为对“新数学”运动的否定，“回到基础”逐渐成为美国数学教育界的一个潮流．但是这场运动走入了另一个极端，对“新数学”运动的一切都简单粗暴地完全否定，使得美国的数学教育又回到了“新数学”运动之前的状态：机械练习充斥于书本，强调基本知识和基本技能；公式、法则、定理是学习记忆的重点.“新数学”运动反对的种种教育弊病，又重回到数学教育工作者的面前．

到20世纪70年代末，人们发现，“回到基础”并没有提高数学教育的质量：对基本技能和基础知识的强调，不仅没有使学生的数学水平提高，反而使学生的解题能力和思考能力依旧停留在低水平上，在一些方面甚至有所降低．因此，“回到基础”运动也是一场失败的改革．

3 “问题解决”运动

在“回到基础”运动失败后，“问题解决”逐渐成为当时数学教育研究的核心课题．1980年，全美数学教师协会(NCTM)在《行动的议程——对80年代学校数学教育的建议》中指出，“问题解决必须成为中小学数学教学的中心”，这是世界范围内首次明确提出将问题解决作为数学教育的核心．在1984年举行的第5次国际数学教育大会上，问题解决已成为大会的主要议题之一.

2000年，全美数学教师协会发布的《美国学校数学教育的原则和标准》中，问题解决依然是五个能力要求中最重要的数学能力，“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的主要方式”、“问题解决是数学学习不可分割的一部分”[2]．直到今天，不管在理论层面上，还是在实践层面上，问题解决依然是数学教育研究的一个重要组成部分，这也打破了美国以往的“求变——变革——反思——批判——回归”数学教育改革模式．

尽管“问题解决”在数学教育研究中占据着重要地位，但对什么是问题解决，却没有形成统一的看法．根据基尔帕特克(J．Kilpartrick)等人的研究，对问题解决大致有三种观点：(1) 问题解决是实现其它课程目标的工具；(2) 问题解决是一种技能，这种观点认为数学教学的目的就是培养学生的数学问题解决能力；(3) 认为问题解决带有特种技能的意味，这种观点认为数学的核心就是对困难问题的解决．从研究情况来看，大多数研究都属于第2种．

大致地说，美国数学教育界对“问题解决”的研究，主要集中在5个方面[3]：(1)问题如何被教授；(2) 怎样提高学生的数学问题解决能力；(3) 从认知心理学出发，探索问题解决的心理过程；(4) 利用计算机模拟人类解决问题的思维过程，寻找通用的问题解决模式；(5) 把问题解决放到一般情况下来进行研究．

美国数学教育界对数学问题解决的研究中，最值得一提的是舍恩菲得(A．Schoenfeld)的研究．舍恩菲得在波利亚研究的基础上，对波利亚在《怎样解题》中提出的许多解题探索策略进行了实验研究，对其中某些策略进行了细化和扩展．并从研究中概括出决定问题解决能否成功的要素：个人的数学知识范围、探索策略、自我调控能力、学生的数学观．

4 启示

4.1 数学教育改革除了考虑数学学科本身的特点外，还要充分考虑学生的认知特点，从学生的实际情况出发

数学具有“高度抽象性”、“逻辑严格性”、“广泛应用性”三个显著特征，而“新数学”运动过程中所编写的数学教材的典型特征是“教材过于结构化、抽象化和形式化，强调数学的严格性”．教材中充斥着许多现代数学内容，如集合、群、环、域等等；用现代数学的代数结构、拓扑结构和序结构来编写所谓统一的数学课程．学校数学教育研究小组(SMSG)更是认为，数学建立在演绎的基础上，出发点是有限的几条公理，向学生讲授这些公理，学生是可以理解的！且不论学生是否能理解这样的形式化演绎体系．

我们知道，公理化在某个数学分支中的应用，是当它发展到一定的成熟阶段后，如群论、概率论的发展．而“新数学”运动不考虑学生的认知特点，不考虑数学的发展历史，想当然的认为学生可以理解这样的形式化体系．这种不从学生实际出发的数学教育改革，注定是无法成功的．

“新数学”运动还有一个重要缺点是混淆了“作为科学的数学”和“作为教育的数学”，按华东师范大学张奠宙教授的观点，数学有原始形态、学术形态和教育形态3种[4]．“新数学”运动就是将数学的“学术形态”直接向学生讲授，省略了数学家们在建立一个可观的数学结构之前所经历的艰苦漫长的道路，将数学家们原始的、火热的思考过程淹没在形式化的海洋里，学生看到的只是系统化的逻辑叙述，自然很难感受到这“冰冷的美丽”．正如著名数学史家M.克莱因(M．Kline，1908-1992)所说：让(中小)学生学习数系的封闭性公理，…… ，只不过是封闭了学生的心灵而已．

4.2 数学教育改革不能采取“革命”的办法，要循序渐进

在“新数学”运动受到来自四面八方的批评时，美国数学教育界又进行了一场名为“回到基础”的数学教育改革运动．这次运动走入了另一个极端，它否定了“新数学”的一切，回到了机械训练的数学教育.“新数学”运动虽然失败了，但其观点并非一无是处，如其提倡的“现代信息技术与数学教育结合”、“提出发现教学法”等都是很有研究价值的．

“一讲改革就否定以前的一切，每次又从头开始”，这样的教育改革是必须避免的，对任何问题都要一分为二的看待，坚决反对绝对肯定或决定否定的简单化态度．回顾我国的数学教育改革，可以发现，我们的数学教育改革也犯过同样的错误．如姜伯驹院士对《全日制义务教育所学课程标准(实验稿)》的批评：“课程体系完全另起炉灶”、“全面否定过去的体系，知识讲授跳跃杂乱”、“全面否定了我国中等教育的优良传统，大大淡化了数学中的推理与证明”等．这样的教育改革，不仅使我国的数学教育难以取得进步，甚至会重犯以前的错误．因此，在教育改革中，一定要慎之又慎，美国的数学教育改革是前车之鉴．

对于每一次数学教育改革正确的态度应该是：总结、反思、借鉴．对于以前数学教育改革中好的方面，要进行总结，而不是搞历史虚无主义：凡是旧的东西都是落后的，都应该被抛弃．不足或错误的地方，要进行反思，吸取教训，避免重犯．对于国外数学教育改革中优秀的内容，则应该结合我国数学教育的实际情况进行借鉴．

4.3 数学教育应具有层次性，对学生要“区别化”对待，不能搞绝对平均，要兼顾“大众”和“精英”

数学教育要具有层次性，是指要对不同的学生有不同的对待．数学是科学技术的基础学科，在国家之间的竞争占据核心地位．不然，美国也就不会在苏联的人造地球卫星上天后，反应如此之强烈，匆匆进行数学教育改革，甚至把数学教育提高到与国家生死存亡相关的高度．

在“大众数学”思想的影响下，表面上使更多的人学习了数学，实质上使所有人学习了很少的数学；表面上使大多数人获得了所谓的数学教育，实质上剥夺了部分人成为社会主流的机会[5]．有这样一种说法，不能让95%的学生陪5%的学生读书，但是我们也不能让这5%的学生成为牺牲品.

因此，数学教育必须具有层次性．在数学教育改革中，我们必须思考：怎样对待那些有数学才华的学生？怎样才能为他们创造真正有利的成长环境？请记住，大众化、普及化不是平庸化，更不是一刀切！而是“普遍地提高水平，又保证优秀的学生能得到充分的发展”，“大众化与提高水平必须统一起来”[6]．

4.4 加强数学教育理论研究，为数学教育改革提供必要的理论基础

梳理我国数学教育研究的发展历程，可以发现，我国数学教育研究主要集中在数学课程论、数学学习论、数学教育心理学、数学思维与数学解题等方面．在一些方面，比如数学学习和数学教学心理学的研究还是没有走出一般教育心理学的视野．

任何一门科学理论的形成和发展，必须依据两个基本条件[7]：一是理论基础的构建，二是理论应该有实证研究作为支撑．就我国目前实际情况看，我们的数学教育研究还是更多的偏向于经验性的总结，没有或者很少上升到理论层次．翻看一些数学教育研究的杂志，就可以发现，内容基本上以解题研究为主．在少有的数学教育论文中，也大多是微观上的实践，这些实践也仅仅是介绍教学中的一招一式．更有甚者，直接将一般教育学的原理生搬硬套，再加上数学实例，根本没有引伸出数学教育本身的规律性．这样，更别说建立具有中国特色的数学教育理论体系了．而且正是由于数学教育理论研究的不足，导致我们编写的教材知识体系陈旧，严重脱离实际．

还有一个问题是数学教育研究者必须思考的，数学教育具有一般教育过程的性质，又有其自身独有的特性．这种双重性构成了数学教育研究的对象，那么数学教育研究的逻辑起点是什么？教育学还是数学教学？抑或是二者共同作为数学教育研究的起点？若二者共同构成数学教育研究的起点，那么谁占主要的部分呢？也只有弄清了这一问题，数学教育才能真正成为数学教育学．

4.5 注重培养学生解决实际问题的能力

教育的主要目的之一是教会学生解决问题．从我国的数学课堂教学来看，几乎把精力都放到了具体的知识与技能上，虽然这有助于学生形成良好的知识基础与基本技能，对发展学生的思维能力起到了有效的促进作用．但对学生个性品质的培养、问题解决能力和创新能力的培养却产生了某些阻碍作用．

我国教材中给学生的问题大多是源于数学内部的常规问题、形式化问题，这些问题局限于数学内部，拘泥于具体的操作和技巧，对数学与其它学科之间的问题、实际生活问题关注较少．实际问题具有真实性、多变性、广泛性以及复杂性等特点，国外的一些数学教材一般会给学生提供一些来自实际生活的题目，这些题目大都与生活实际联系紧密，难度不大，但综合性较强，涉及多方面的知识，这类问题对培养学生的综合能力有很大的帮助．

因此，怎样在保持我们“双基”优势的同时，如何提高我国学生解决问题的能力是一个值得我们深入研究的课题.

[1]马忠林．数学教育史[M]．南宁：广西教育出版社，2001．

[2]全美数学教师协会．美国学校数学教育的原则和标准[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[3]聂必凯．美国现代数学教育改革[M]．北京：人民教育出版社，2010．

[4]张奠宙．教育数学是具有教育形态的数学[J]．数学教育学报，2005，14(3)：1-4．

[5]涂荣豹．数学教学认识论[M]．南京：南京师范大学出版社，2003．

[6]齐民友．数学教育的改革要遵循数学科学的发展[J]．数学通报，2006，45(8)：1-4．

[7]单墫，喻平．对我国数学教育学研究的反思[J]．数学教育学报，2001，10(4)：4-8．