工科复变函数教学法探讨

杜春文

摘 要：工科复变函数是工科高等院校开设的一门比较重要的基础理论课程。复变函数课程对于学生的专业课程学习影响重大。工科复变函数课程课时较少，理论性较强，比较抽象难懂。如何帮助学生学好工科复变函数，课程进行中适当有效的教学方法是必要的。本文主要探讨了工科复变函数教学过程中的迁移教学，可视化教学，探究式教学以及“互联网+”教学。这些教学方法的运用，不仅能有效提高教学质量，活跃课堂气氛，增加师生间的互动，还可以提高学生的学习兴趣和自主学习的能力。

关键词：迁移 可视化 探究 互联网+

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）07（a）-0156-02

Abstract： Complex variable function is an important basic theory course in engineering colleges and universities. The course of complex variable function has a great inf luence on students' professional course study. The course of complex variable function in engineering is less time， more theoretical and more abstract. How to help students learn the complex function of engineering is necessary. This paper mainly discusses the teaching of migration， visual teaching， inquiry teaching and "Internet+" teaching in the course of engineering complex variable function teaching. The application of these teaching methods can not only effectively improve the teaching quality， enliven the classroom atmosphere and increase the interaction between teachers and students， but also can be mentioned. High students' interest in learning and the ability to learn independently.

Key Words：Migration； Visualization；Inquiryteaching；“Internetf”teachms.

工科复变函数是工科大学数学基础课程中非常重要的一门课程。它是高等数学的后续课程。复变函数与工程力学、电子技术、自动控制等课程联系紧密，又是解决流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析等的一种强有力的工具。对于工科学生而言，复变函数对于更深层次的学习和研究至关重要。如何帮助学生学懂学好工科复变函数理论，教师采用何种教学方法就显的尤为重要了。下面就教学过程中有效的教学方法进行深入细致的探讨。

1 迁移教学

所谓迁移是指一种学习对另一种学习的影响[2]，或习得的经验对完成其他活动的影响。迁移可分为正迁移，负迁移和零迁移。正迁移是一种学习对另一种学习起到积极的促进作用；负迁移是指两种学习之间相互干扰阻碍；零迁移是指两种学习不存在直接的相互影响。

由于工科复变函数是高等数学课程的后续课程，其很多内容都和高等数学的内容相近或者相似。在讲授过程中可以采用类比和转化思想，促进学生正迁移的发生。例如（1）对于复变函数的定义，极限，连续，我们把它转化为两个二元实函数μ（χ，γ）和ν（χ，γ），通过研究μ（χ，γ）和ν（χ，γ）的定义，极限和连续实现的。（2）复数项级数的敛散性转化为实数项级数和敛散性。（3）复积分可以转化为两个二元实变函数的线积分来计算。

复变函数知识可与高等数学的知识进行类比学习，比如复变函数的导数，微分和积分，幂级数，泰勒级数等，这些知识都是实数理论向复数理论的推广，形式上相同或者类似。类比学习有益于知识的理解。通过比较学习，可以理解复变函数的独特理论，比如指数函数exp z是周期函数，对数函数Lanz中的变量z可以小于零，幂级数中的洛朗级数，孤立奇点，以及高等数学中的一些积分很难计算出来的时候可以用复变函数留数的方法很快计算出来等。

2 可视化教学

可视化是利用计算机图形学和图像处理技术，將数据转化成图形或图像在屏幕上显示出来，再进行交互处理的理论，方法和技术。可视化涉及计算机图形学，图像处理，计算机视觉，计算机辅助设计等多个领域。复变函数理论比较抽象，不是很好理解。如果我们在教学过程中能够把抽象的理论用图形或者图像表示出来，这样便于知识的理解和记忆。这种方法称为复变函数的可视化。现代教育技术的发展和数学软件的应用推进着这种教学方式[5]。教学过程中将教学内容和直观演示结合起来，使用计算机编程和绘图技术，使得复变函数课程更具有吸引力。复变函数的可视化不仅可以用于教学，还可以推动数学实验的发展，有利于复变函数的实践应用。因此复变函数的可视化教学值得我们研究。

在复变函数的教学过程中可视化有利于复变函数知识的讲解。（1）对于复数的乘法，或者除法运算，用几何图形表示出来就是对于向量的旋转伸缩。（2）对于∞点的讲解，比较抽象难懂。通常情况是引入复球面，使复球面与复平面相切，切点记为Ο点，过切点Ο和球心做垂直于复平面的垂线，交球面另一点为Ν。复平面上的点和复球面上的Ν点连接，可得复球面上的交点与复平面上的点一一对应。复球面上的Ν点就对应复平面上的∞点。复平面上的点趋于∞点，复球面上的点就会趋于Ν点。这一过程可以用动画的形式表示出来，既形象生动，又便于理解∞点。

3 探究式教学

探究式教学是指在教学过程中，要求学生在教师的指导下，通过以“自主，探究，合作”为特征的学习方式对当前 教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行 小组合作交流，从而较好的达到课程标准中关于认知目标 与情感目标要求的一种教学模式。

对于复积分的讲授过程中从出发，如果将被积函数的分子变成函数f（z），可以猜想出柯西积 分公式和高阶导数公式。然后引导学生进行公式的条件讨論和证明，最后通过例 题加深对公式的理解。整个过程都是问题驱使进行。

对于一些可以使用柯西积分公式和高阶导数公式的复积分也可以考虑使用留数定理来计算，强调一题多解的方法，培养学生的发散性思维。探究式教学可以充分调动学生主动学习的积极性，又可以培养学生的创新思维。整个学习既充满乐趣，又充满挑战。

4 “互联网+”教学

教育部“十三五”规划中多次提及高等教育的信息化和互联网化。互联网已经进入平常的教学过程中，从最初的多媒体教学，到后来的精品课程和视频课程，再到现在流行的“翻转课堂”。很多教师制作了精美的课程课件，MOOC课和微课。教师可以在课前使用网络教学平台或 者手机APP上传学习资料、教学大纲、教学重难点问题和教学安排，课程进行中以任务为导向，通过汇报，解答，点评，讨论等方式多层次多方面合作教学，课外也可以通过网络平台指导学生的课外自学，快速答疑。学生可以通过互联网或者移动网络随时随地学习，这种学习具备自主性，互动性，体验性和创新性。这种教学模式具备远程教育的优点，实现了教育资源的共享，延续了学习时长，拓展了学习空间，突出学习的灵活性，学生学习自由度比较大。这种教学模式突出技术对“互联网+”教学的支撑，比如微课的制作，互联网或者手机APP平台的构筑等等都需要花费教师大量心血。将网络平台融入教学体系中是为了满足学生学习的个性化和多样化要求，创新教学方法，提高教学效果，培养学生自主学习能力。“互联网+”教学需要计算机、手机、多媒体等硬件设施，还需要QQ、微信、微博和网站等网络平台的辅助[4]。目前，这种教学模式正随着信息技术的革新在探索和快速发展过程中。

总之，目前工科复变函数教学改革方向由“教学生学会”向“教学生会学”转变。文章中所提到的迁移教学有利于从高等数学知识转换到复变函数知识的学习；可视化教学有利于复变函数抽象理论的讲解和实验；探究式教学有利于培养学生创新思维和用于探索真理的能力；“互联网+”教学有利于学生独立自主学习。合理使用以上四种教学方法，不仅可以提高教学质量，还可以提高学生的学习兴趣，增进师生情感。

参考文献

[1] 西安交通大学高等数学教研室.工程数学-复变函数[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[2] 熊春连，陈翠玲，段华贵.工科复变函数中的迁移教学[J].大学数学，2010，26（2）：203-206.

[3] 刘显全.复变函数教学法探讨[J].大学数学，2012，28（2）：155-158.

[4] 张会新，王益锋.“互联网+”时代高等教育3.0教学模式探索[J].教育教学论坛，2018（25）：159-160.

[5] 朱健民，李颖.复变函数的可视化问题[J].大学数学，2011，27（1）：175-178.