曲线系方程的第二个盲区

金卫雄

[摘 要] 一直以来我们都知道曲线系会遗漏曲线，但是一般认为只遗漏了一条.实际上远非如此，二次曲线系可以遗漏无数多条曲线. 哪些曲线被遗漏，遗漏原因是什么，怎样避免漏解，在理论上和应用上都需要梳理清楚. 文章将从一个实例出发，公布问题的发现及提出背景，进行初步研究，并在最后给出几个有用的结论，提出新的研究课题.

[关键词] 二次曲线系；遗漏；第二盲区；主轴方向

什么是“第二盲区”

众所周知，若两条曲线L1和L2的方程分别为f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，则方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0（λ∈R）表示过L1，L2交点（如果存在的话）的曲线，称该方程为曲线系方程. 这个曲线系方程遗漏了曲线L2，因此L2可以称作是该曲线系方程的一个“盲区”. 为了消除这个盲区，我们可以使用另一个曲线系方程：λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0（λ1，λ2∈R）. 这个方程中既没有漏掉L2，又没有漏掉L1，因此在理论研究中被广泛应用.

但是，在用上述的曲线系方程表示二次曲线系的时候，却隐藏着一个更大的盲区（为区别起见，不妨称之为第二盲区），这是一直没有被发现的. 为揭示其真相，让我们从一个简单的例子谈起：

例1：给定椭圆C：x2+=1，两条直线y=x+1、y=kx与C相交所得的点共圆，求k值及所共圆的方程.

解：（用曲线系）所给的两条直线可以合写成方程 （x-y+1）（kx-y）=0. 构造曲线系

（x-y+1）（kx-y）+λx2+-1=0（注意这里的“盲区”L2不是圆，因此不需考虑L2）. 整理为

（λ+k）x2-（1+k）xy+1+y2+kx-y-λ=0.

若此方程表示圆，则首先有λ+k=1+，1+k=0，解得k=-1，λ=4.代入曲线系方程得

x2+y2-x-y-=0.

经检验，确实表示圆.故k=-1且所求圆方程为x2+y2-x-y-=0.

这个看似轻松灵巧的解法，漏掉了当k=0和k=4时的两个解（将在后文中分析并补齐）. 而且这个漏解并不是解方程组造成的，根源在于所设的曲线系本身遗漏了一大批曲线. 也就是说，所设的曲线系存在“盲区”，k=0和k=4时所对应的圆恰好在盲区之内，因此造成漏解.

对第二盲区的初步研究

给定两条二次曲线

L1：f1（x，y）=A1x2+B1xy+C1y2+D1x+E1y+F1=0， ①

L2：f2（x，y）=A2x2+B2xy+C2y2+D2x+E2y+F2=0， ②

由L1和L2产生的曲线系L：λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0，

即（λ1A1+λ2A2）x2+（λ1B1+λ2B2）xy+（λ1C1+λ2C2）y2+（λ1D1+λ2D2）x+（λ1E1+λ2E2）y+（λ1F1+λ2F2）=0.③

因为当λ1=0或λ2=0，曲线系中的L就是曲线L2或者L1，不需讨论. 下面只考虑λ1≠0且λ2≠0的情况. 此时，设L1，L2，L的对称轴倾斜角（即主轴方向）分别为θ1，θ2，θ.

（1）先考虑B1≠0且B2≠0且λ1B1+λ2B2≠0的情形. 此时

cot2θ1=，cot2θ2=，cot2θ=.

①如果L1和L2的主轴方向相同，设cot2θ1=cot2θ2=k，==k，则cot2θ===k=cotθ1=cotθ2.

即L的主轴方向与L1，L2的主轴方向相同.

②L1，L2的主轴方向不相同，即≠. 下面将证明L与L1，L2的主轴方向都不相同，即cot2θ≠cot2θ1且cot2θ≠cot2θ2.

假设cot2θ=cot2θ1，

则=，

即λ1（A1-C1）B1+λ2（A2-C2）B1=（λ1B1+λ2B2）（A1-C1），

即=，即cot2θ1=cot2θ2. 矛盾. 从而知L与L1的主轴方向不同. 同理可证L与L2的主轴方向也不相同

（2）再考虑B1=0或B2=0或λ1B1+λ2B2=0的情形.

如果B1=0且B2=0，则显然λ1B1+λ2B2=0，即L与L1，L2主轴方向都相同（都为坐标轴）.

如果B1=0且B2≠0，则显然λ1B1+λ2B2=λ2B2≠0. 此时cot2θ = =cot2θ2+，

故当A1=C1时，cot2θ=cot2θ2，即L1为圆时，L与L2的主轴方向相同.

如果B1≠0且B2=0，同此.

特别地，注意到圆的主轴方向可以认为是任意的，综合上述讨论，可得下面的

定理1 由二次曲线L1和L2产生的曲线系L（方程见上面的①②③），

（1）如果L1和L2的主轴方向相同，则L与L1，L2的主轴方向也相同.

（2）如果L1和L2的主軸方向不同，则L与L1，L2的主轴方向都不相同.

换一种表达方式，我们以下面的“定理2”初步揭示二次曲线系的“第二盲区”：

定理2 由二次曲线L1和L2产生的曲线系L（方程见上面的①②③），

（1）如果L1和L2的主轴方向相同，则与L1，L2的主轴方向不相同的所有二次曲线都不在曲线系L中，即所有与L1及L2的主轴方向不相同的二次曲线都在第二盲区内.

（2）如果L1和L1的主轴方向不同，则与L1或L2的主轴方向相同的所有二次曲线都不在曲线系L中. 即所有与L1或L2的主轴方向相同的二次曲线都在第二盲区内.

需要指出的是，上述定理只是指出了“所述的曲线在第二盲区内”，并没有探明“是否有其他的曲线也在盲区内”.对这一问题，还有待于进一步的研究.

补救的尝试

回到前文的例1. 遗漏了两种情况k=0和k=4. 注意到，直线y=x+1与椭圆x2+=1的交点为A（-1，0）和B，. 当k=4时，直线y=kx恰好经过点B，而它与椭圆的另一个交点是B′，. 也就是说，两条直线与椭圆形成三个交点（不共线），当然是共圆的. 但是，这时两条直线所形成的二次曲线方程是4x2-5xy+y2+4x-y=0，其主轴方向是cot2θ=-，因此曲线系中的所有曲线的主轴方向都不会与椭圆相同，即主轴方向不是坐标轴.故不能表示圆. 因此，这时经过三点A，B，B′的圆就在盲区里，被遗漏了.

求经过A，B，B′三点的圆方程，当然是容易的. 但是，因为本文专门考虑的是曲线系方法，所以下面将特别地用曲线系“找回”漏解. 基本思路是：调整过A，B，B′三点的曲线的主轴方向，让这个主轴与坐标轴一致. 可以选择任意的圆锥曲线（对称轴平行于坐标轴），当然选择抛物线要稍微简单一点.

解：设经过A，B，B′的一条抛物线方程为y=ax2+bx+c（a≠0），将三点坐标代入解得

a=，b=4，c=-，即得抛物线方程为x2+4x-y-=0. 构造曲线系方程得

x2+4x-y-+λx2+-1=0，即+λx2+y2+4x-y-+λ=0.

欲使此方程表示圆，首先有+λ=，解得λ=-9. 代入得方程为

x2+y2-x+y-=0.

经检验，此方程确实表示圆，因此即所求的圆方程、对于k=0的情形，同样可求. 此处略.

最后需要说明的是，对于曲线系方程的第二盲区，本文仅仅是把这个问题提出来，所做的研究是很初步的. 结论也仅仅是针对二次曲线系，还只找出了曲线在第二盲区的充分条件. 提出下列迫切需要解决的问题希望有兴趣的读者加以关注. 最迫切的是“问题1”，只有问题1解决了，问题2的解决才成为可能.

问题1 “曲线在盲区”的充要条件是什么？

问题2 在用曲线系解题时，如何“找回”遗漏的解？endprint