数形结合思想在高中数学教学中的有效渗透

魏红琴

摘 要： 数形结合是数与形之间的一种对应关系，通过它们之间的相互转化，可以将抽象的代数关系与直观的图形结合起来，数形结合思想是一种重要的数学思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，使许多复杂的数学问题变得简单化。

关键词： 高中数学;数形结合;渗透

数形结合是数与形之间的一种对应关系，通过它们之间的相互转化，可以将抽象的代数关系与直观的图形结合起来，数形结合思想是一种重要的数学思想，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，使许多复杂的数学问题变得简单化。

一、 在数学课堂教学中渗透数形结合思想

中学数学中，数形结合是一种重要的数学思想，同时还是一种重要的解题方法。不管是课堂教学还是习题讲解过程中，当碰到那些抽象复杂的内容或者难以理解、难以直接处理的代数关系时，就可以考虑数形结合思想，把抽象的问题变直观、形象化，这样有助于引导学生探索规律，得出结论。比如在讲“三角函数的图像与性质”内容时，三角函数的性质实际上是很抽象的，单一地告诉学生正弦函数的定义域、值域单调性还有奇偶性，学生是很难理解的，但是换一种方式就不一样了，可以带着学生先画出正弦函数的图像，然后让学生去观察图像，比如通过图像的上升下降得到单调性，进而归纳出单调区间;再比如通过图像的对称情况得到函数的奇偶性，这样，正弦函数所有的性质学生都可以在图上观察归纳得到，既直观又具体，学生不仅能很好地理解与掌握正弦函数的性质，还能用同样的方法研究学习余弦函数还有正切函数的性质。

二、 在创设情境，引题过程渗透数形结合思想

对学生而言，数学是一门抽象的学科，数学课是枯燥乏味的。如果课堂上能根据教学内容，创设情景，让学生体会数学的巧妙所在，就能让学生在较短的时间内思维活跃起来，达到“形”之有效，如在“简单几何体的结构特征”的教学中，让学生提前收集生活中简单几何体的物体，如：杯子、方形的盒子等，也可以用几何模具（比如柱体锥体）等，让学生在课堂上观察，研究它们的几何特征，进而弄清概念的含义，再让他们举出生活中具有这样几何特征的几何体，这样既激发了学生的学习兴趣，同时也让学生知道数学在生活中到处都是，让学生体会数与形之间的关系。

三、 在解题过程中，渗透数形结合思想

比如这样一道例题：若直线y=x+k与曲线x= 1-y 2 恰有一个公共点，求k的取值范围。

解：思路1：由题有x 2+y 2=1（x≥0），把y=x+k代入x 2+y 2=1（x≥0），

可得：2x 2+2kx+k 2-1=0（x≥0），由题意可知方程仅有一个非负根。

①方程有等根时，即Δ=（2k） 2-8（k 2-1）=0，可得k=± 2 ，当k= 2 时，方程可化为2x 2+2 2 x+1=0，得x=-  2  2 （舍）;当k=- 2 时，方程为2x 2-2 2 +1=0得x=  2  2 ，故k=- 2 ;

②当方程的根为x=0时，得k 2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x 2-2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=1（舍）;当k=1时，方程为2x 2+2x=0，得方程兩个根为x1=0，x2=-1，可知k=1;

③当方程有2个互异根时，只需x1x2= k 2-1 2 <0，可得-1

综上所述：所求k的取值范围为k=- 2 或-1

思路2：由题知曲线x= 1-y 2 所表示的图形如图所示：

k是直线y=x+k在y轴上的截距。由上图知：当直线与曲线相切时，k=- 2 ，由图可得k=- 2 或-1

再比如2017年全国卷中的16题：设函数f（x）= x+1，x≤0，2 x，x>0， 则满足f（x）+f（x- 1 2 ）>1的x的取值范围是      。

解：思路1（数形结合）：不等式f（x）+f x- 1 2  >1，即f x- 1 2  >1-f（x）。

由图象变换可画出y=f x- 1 2  与y=1-f（x）的图象如下：

由图可知，满足f x- 1 2  >1-f x 的解为 - 1 4 ，+∞ 。

思路2（分类讨论）：根据{an}的取值范围，将不等式f（x）+f x- 1 2  >1转化为3个不等式组，即 - 1 4 ，+∞

x≤0（x+1）+ x+ 1 2  >1 或 0<x< 1 2

2 x+（x+ 1 2 ）>1 或 x≥ 1 2

2 x+2 x- 1 2 >1 ，得出x的取值范围为 - 1 4 ，+∞ 。

由上面的解题过程可以看出，两道例题都是用数形结合法解题相较而言要简单一些。

四、 解题过程中，引导学生理解应用数形结合思想

在高中数学教学中，数形结合，是一种学生必须掌握的解题方法。掌握了数形结合，学生不仅能更好地锻炼自身的思维能力，还能大大提高解题效率。

1. 数与形的相互转化方法有：①建立合适的坐标系，让代数关系坐标化。②通过数式与形的特点进行化归，比如代数问题几何化，向量问题坐标化。

2. 运用数形结合思想解题的类型有：①“由形化数”，就是观察所给的图形，列出反映几何图形特征的代数关系式。②“由数化形”，就是根据题设条件构造或者画出相应的几何图形③“数形结合”，同时从代数关系和图形入手，观察研究。

总之数学思想方法的渗透与学习是一个潜移默化的过程，需要多方领悟、反复应用，寻求更有利于问题解决的途径和方法。