几何双分式布朗运动下欧式期权的定价

徐峰

摘要：为了体现金融资产的长记忆性，采用几何双分式布朗运动刻画欧式期权标的资产价格变化的行为模式。建立了双分式布朗运动环境下的欧式期权价值所满足的偏微分方程，并通过边界条件和变量代换得到该偏微分方程的解，即欧式期权的定价公式。

Abstract： In order to reflect the long memory property of the financial assets， this paper uses the geometric bifractional Brownian motion to capture the underlying asset of European option. Moreover， a partial differential equation formulation for valuing European option is proposed. Using the boundary condition and the method of variable substitution， this paper obtains the solution for this partial differential equation-the pricing formula for European option.

關键词：双分式布朗运动；欧式期权；长记忆性；定价

Key words： bi-fractional Brownian motion； European option； long memory； pricing

中图分类号：F830.91 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）07-0197-03

0 引言

过去对期权定价的研究都是建立在标的资产服从几何布朗运动的基础上的，但是近年来，大量的实例都说明金融资产的价格存在多项分形特征，比如自相似性、长期记忆性等，市场并不能简单的用布朗运动驱动的定价模型体现出来。为弥补上述模型缺陷，分数布朗运动应运而生[1]。

然而，文[2]中指出分数布朗运动不是半鞅，关于分数布朗运动的离散逼近很多学者都有所研究，还提出了直接将分数布朗运动应用与金融环境将会产生套利机会[3，4]，导致了分数布朗运动表现出不适用于刻画金融资产价格变化的行为模式。基于此，部分学者开始研究修正的分数布朗运动，比如双分式布朗运动、混合分数布朗运动等[5，6]，双分式布朗运动在一定限制条件下是半鞅，并且具有自相似性和长记忆性的特征，因此，可被应用在期权定价领域。

本文假设标的资产服从几何双分式布朗运动，将欧式期权的定价问题转化为一个偏微分方程，最后通过偏微分方程的求解得到了双分式布朗运动驱动下的欧式期权的定价公式。

1 双分式布朗运动与模型假设

1.1 双分式布朗运动的定义与性质

1.2 模型假设

下面对金融市场做如下假设：

①无风险利率r为常数；

②没有对交易头寸方向的限制，允许买空卖空证券；

③市场无摩擦，即交易费用为零，无税收，不存在无风险套利机会；

④标的资产（如股票）的价格变化过程St服从几何双分式布朗运动

2 主要结果与证明

3 结论

本文在股票价格受双分式布朗运动驱动的假设下，利用偏微分方程的方法研究了欧式看涨看跌期权的定价问题。在定理3中，当K=1时，结果即为分数布朗运动下的欧式看涨期权的定价公式，当K=1，H=时，结果即为标准布朗运动下欧式看涨期权的定价公式。可见本文的结果推广了欧式期权的定价。另外，本文的结果还可以推广到混合双分式布朗运动环境下的欧式期权定价。

参考文献：

[1]Mandelbrot B， Van Ness J W. Fractional Brownian motion， fractional noises and application [J]. SIAM Review， 1968， 10.

[2]Lin S J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion [J]. Stochastics and Stochastics Reports， 1995，55.

[3]Bender C， Elliott R J. Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market [J]. Mathematics of Operations Research， 2004， 29.

[4]Bjǒrk T， Hult H. A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model [J]. Finance and Stochastics， 2005， 9.

[5]Lei P， Nualart D. A decomposition of the bi-fractional Brownian motion and some applications [J]. Statistics and Probability Letters， 2009， 79.

[6]Russo F， Tudor C. on the bifractional Brownian motion [J]. Stochastic Processes and their applications， 2006， 116.

[7]邵宇，刁羽.微观金融学及其数学基础[M].北京：清华大学出版社，2008：663-674.

[8]赵巍.分形市场视角下的期权定价模型及其套期保值策略研究[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2013，36.endprint