线角错综，厘清有招

毛巾钧

苏科版数学七年级上册第六章“平面图形的认识（一）”是大家系统地学习平面几何的第一章.同学们对于几何符号、几何语言、几何表述、几何概念等的学习都是第一次，因而在练习中容易产生一些错误.下面针对本章中的几个典型错误，进行具体分析点评，希望同学们吸取教训并引以为戒，真正理解掌握本章有关知识，为后续的几何学习夯实基础.

易错点一：对“有且只有”不理解

例1 下列叙述中不正确的是（ ）.

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.经过两点有且只有一条直线

D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【错解】C.

【正解】B.

【学生自述】对“有且只有”不太理解，照搬书上的原话做题.

【分析点评】“有且只有”有两层含义：（1）有，表示存在；（2）只有，表示唯一存在.本题选项A与选项C虽然表述有所不同，但是实质相同.本题四个选项中只有B符合题意，即选项B是不正确的：当这一点在已知直线上时，经过该点就不存在直线与已知直线平行了.

易错点二：对距离的概念不清晰

例2 在同一平面内，下列说法正确的是（ ）.

A.两点间的线段就是两点之间的距离

B.点到直线的垂线段就是点到直线的距离

C.两点之间，直线最短

D.点到直线的距离就是该点到这条直线的垂线段的长度

【错解】A或B或C.

【正解】D.

【學生自述】对“距离”没有理解到位，概念混淆.

【分析点评】几何概念“距离”的关键是长度，本章中出现两个“距离”：（1）点与点之间的距离；（2）点到直线的距离.前者指连接两点的线段的长度，后者指点到直线的垂线段的长度.如果真正理解距离的概念，那么所有有关的问题都会迎刃而解.

易错点三：几何原理

例3 如图1，把弯曲的河道改直，能够缩短航程.这样做的数学原理是（ ）.

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.两点确定一条线段

D.垂线段最短

【错解】B或D.

【正解】A.

【学生自述】实际问题与数学知识原理相结合，不知道如何对应.

【分析点评】本题主要考查学生对数学基本原理是否理解.实际问题中提及“缩短航程”，因而涉及长短问题.选项A和选项D都涉及“最短”，但选项D不合题意，而选项A“两点之间，线段最短”，体现的正是两点之间的所有连线中线段最短，符合实际问题.

易错点四：几何知识——互余、互补、对顶角

例4 如图2，AB、CD相交于点O，EO⊥AB，则∠1与∠2的关系是（ ）.

A.相等 B.互余 C.互补 D.对顶角

【错解】A或D.

【正解】B.

【学生自述】对顶角概念不清楚，不会进行几何推理分析，仅靠观察图形就“猜”结果.

【分析点评】互余、互补、对顶角是本章的几个基础知识点，对这三个概念要理解到位：两个角之和为90°，则两角互余；两个角之和为180°，则两角互补；对顶角必须在两条直线相交的条件下才会出现，需满足两个条件：（1）有公共顶点，（2）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.本题中，根据已知条件EO⊥AB，得出∠EOB=90°，根据CD为直线得出∠COD=180°，所以推出∠1+∠2=90°，根据定义，∠1与∠2的关系是互余.选择A的同学犯了几何解题仅看图不计算的错误，选择D的同学则是没有完全掌握对顶角的概念.

易错点五：几何两解问题

例5 已知线段AB=20cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则MN= cm.

【错解】13.

【正解】7或13.

【学生自述】难以考虑周全.

【分析点评】几何题有时会由于图形的不同导致有两解或者多解，对于不提供图形的几何题，自己作图思考分析问题时应特别注意，要考虑全面，不同的图形会导致不同的答案.对条件“直线AB上有一点C”，应考虑三种情形：点C在线段AB上、在线段AB的延长线上、在线段BA的延长线上，然后可画出符合题意的两张图形：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上.

易错点六：几何作图——网格作图平行、垂直

例6 在如图3所示的方格纸中，按下列要求画图：画以AB为一边的正方形.

【错解】不会网格画图.

【正解】如图4所示.

【学生自述】借助直尺和三角板画图，不过不准确.

【分析点评】网格作图的关键是寻找格点并用直尺连接.为表述方便，不妨设网格中的小正方形边长为1，则已知线段AB是长为4、宽为1的长方形的对角线，因而作平行线也只需寻找同样的长方形的对角线即可，而作垂线，则相当于把长为4、宽为1的长方形竖直放置，然后寻找相应的对角线即可.

本章是初中平面几何的首章，同学们首次接触几何语言、几何符号、几何定理等，希望能在学习过程中善于归纳整理错题，并从错题中汲取教训，融会贯通，以夯实几何基础，不断地取得新的进步.

（作者单位：江苏省无锡市东绛实验学校）