三大几何作图问题

蔡蓉

我们知道，使用刻度尺、量角器等工具可以画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角，画已知线段的中点，画已知角的平分线等等.那么，如果没有量角器，直尺又上没有刻度，该如何画图呢？

曲和直是几何图形的基本特征，人类最早会画的几何图形就是直线和圆.画直线时使用一个边缘平直的工具，画圆时使用一端固定而另一端能旋转的工具，这样就产生了直尺和圆规.在数学中，我们常限定使用没有刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.

比如，我们可以通过尺规作图作出已知角（∠AOB）的平分线，如图1，具体作法如下：

（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D.

（2）分别以点C、D为圆心，大于[12CD]长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P.

（3）作射线OP.

射线OP就是∠AOB的平分线.

再如，我们还可以通过尺规作图作已知线段（AB）的垂直平分线（垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线），如图2，具体作法如下：

（1）分别以点A、B为圆心，大于[12AB]的长为半径作弧，两弧相交于点C、D.

（2）过C、D两点作直线.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

等同学们到初二阶段学习了三角形全等的相关知识以后，就可以知道图1中射线OP为什么是∠AOB的平分线、图2中直线CD为什么是线段AB的垂直平分线了.

我们不禁要思考，是不是所有图形都可以用尺规作图作出来呢？漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便是一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来.到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题.

一、三等分角

关于三等分角问题，可能有人会认为，只是由二等分到三等分一个小小的变化，没有什么困难吧.古希腊每一位接触到这个问题的人都认为它简单，毫不犹豫地拿起了直尺和圆规，但时间一天天过去，磨秃了无数支笔，却始终没有画出符合题意的图形.这个看似平淡无奇的几何问题，吸引了许许多多的数学家，从古希腊最伟大的数学家阿基米德到笛卡尔、牛顿，都纷纷拿起了直尺和圆规来考验自己的智力，结果他们都失败了.两千多年过去了，一代又一代数学家和数学爱好者为这个问题绞尽脑汁，却始终没有人能冲出这个迷宫.

二、立方倍积

传说这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Delos），造成四分之一的人口死亡.岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意.神指示说：“要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍.”人们便把每边增长一倍，结果体积当然就變成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图.柏拉图经过长时间的思考也无法解决，他搪塞说：“由于第罗斯人不敬几何学，神灵非常不满，才降临了这场灾难.”

这个悲惨的故事是人们虚构的，但其中提到的数学问题就是著名的“立方倍积问题”，又叫“第罗斯问题”. 用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍.

三等分角、立方倍积这两个问题直到1837年才被法国的一名年轻数学家旺策尔（Wantzel，1814～1848）严格证明为不可能实现.

三、化圆为方

公元前5世纪古希腊数学家、哲学家安纳萨格拉斯在研究天体过程中发现，太阳是个大火球，而不是所谓的阿波罗神.由于这一发现有悖宗教教意，结果他因亵渎神灵获罪，被抓进了牢房.在监狱里，安纳萨格拉斯对自己的遭遇愤愤不平，夜不能眠.夜深了，月光透过正方形的铁窗牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会儿看见方窗比圆月大.最后他说：“算了，就算两个图形的面积一样好了.”于是他思考了这样一个问题：怎样作出一个正方形，使它的面积与一个圆的面积相等？当然，他失败了.两千多年来，无数数学家也都失败了.

该问题直到1882年才被德国数学家林得曼（Lindemann，1852～1939）证明为不可能实现.

在三大几何作图问题的探索过程中，有不计其数的数学家们前赴后继地为之努力，甚至为此耗费了一生的光阴.在其中，有的人坚信问题一定会有解决的方法，他们认为只是还没有找到这个方法而已.有的人则在解决问题的过程中灵活变通，巧妙地增加了一些条件，以此来帮助解答.例如，阿基米德在直尺上注明了两个点，解决了三等分角问题；柏拉图用了两块三角板解决了倍立方问题……还有的数学家在此基础上，探索出了一些新的数学问题与理论.例如，柏拉图的学生门奈赫莫斯为了解决立方倍积问题发现了圆锥曲线；在求解三等分任意角的过程中，希腊数学家相继发展了高等几何，其中有尼科梅德斯的蚌线、希皮亚斯的割圆曲线，还有阿基米德的螺线等等.

三大几何作图问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，简单的代数知识告诉我们，一个几何量是否能用尺规作出是看它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到.

我们不妨来分析一下“化圆为方”问题.设一个正方形的边长为a，一个圆的半径为r，要使其面积相等，即a2=πr2.首先要用尺规作出π.要作π，只要考虑π是否为有理数.π不是有理数，这是由数学家林得曼首先证明的，从而确认了化圆为方是不能用尺规作图解决的.

古希腊的三大几何作图难题，是数学史上璀璨的一笔.其魅力不仅仅体现在其问题本身，更多的是数学家们的不懈努力、希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、西方文艺复兴时期大师们的睿智以及19世纪最终的完美解答.正是有他们一代一代的持之以恒，正是有后浪推前浪的探索研究，才会有绚丽的数学史，才会有数学的蓬勃发展.

（作者单位：江南大学附属实验中学）