课堂演绎数对“三性”，管窥数学核心素养发展——以“确定位置”的教学为例

电子科技大学附属实验小学（610051）

“数学核心素养是数学学习者在学习数学或是数学的某一个领域所应达成的综合性能力。”马云鹏教授的这一论述启发我们：发展学生的数学核心素养，不仅是让学生在数学学习中掌握数学显性知识，更重要的是理解和把握数学隐性知识，即数学思想方法，从而使数学思维获得发展。因而，在教学中，教师要有意识、有目标、有依据、有计划地在课堂中渗透数学基本思想，让学生在学习过程中发展数学核心素养。下面以北师大版教材四年级上册“确定位置”的教学为例，进行相关阐释。

一、厘清数对确定位置的“三性”，为数学核心素养在课堂中“落地”做好准备

数学基本思想的渗透、数学核心素养的发展都是长期渐进的过程，要在每一课的教学中有意而为，落到实处，使发展学生核心素养成为每节课的目标。然而，目标达成的根基是教师教学前要认真分析教材文本，挖掘知识形成过程中隐含的数学思想，为发展学生核心素养的目标在课堂中“落地”做好准备。

“确定位置”的内容本质是用数对确定一个位置。在教学前，教师以教材文本为依据，厘清数对确定位置的“三性”，即必要性、唯一性和简明性。必要性是指为什么会产生数对，为什么用数对来确定位置。唯一性是指在二维空间，一个数对确定唯一的位置，一个位置用唯一的数对表示，数对与位置构成一一对应关系。简明性是指用数对表征位置，形式简洁，准确明了。然而，在“三性”之中，从教材可以直接看到数对表征的简明性，而必要性和唯一性是内隐的。而数对确定位置的必要性是“精神实体”，运用数对确定位置是“实体”，弗赖登塔尔认为前者比后者更重要。如果没有或不重视“精神实体”，概念形成过程蕴含的数学思想方法、学生对数学的思考就会轮空。“精神实体”和“实体”在课堂中的落实，要求教师在教学前解读教材时，厘清数对“三性”，为发展学生数学核心素养做好准备。

二、演绎数对的“三性”，让数学核心素养的发展浸润在课堂中

在课堂教学中，教师应立足“三性”，从必要性入手，让学生经历数对的产生及用数对确定位置的过程，在分析、归纳和概括中，发展学生的抽象与概括思想、对应思想、符号思想等，从而发展学生的数学核心素养。

1.在理解数对产生的必要性中，发展学生的抽象与概括思想

“为什么要用数对确定位置？”教师大多从理论的角度去理解，但这理论不适合在小学的课堂上直接传达，这就要求教师换个方式演绎，让学生易于理解。最好的方式就是创设情境，再现数对产生的原型，让学生身临其境，重温数学家的发现之旅。教师创设的情境要有带动性，能让学生跟着来；要有还原性，能让学生真切体会产生数对的需要；要有启发性，能让学生的思考有切入点；要有延续性，能让学生围绕主题进行思考和学习；要有挑战性，能引发学生强烈的认知冲突。教学时，学生在教师的指导下，经历从具体情境中建立表象、抽象出数学概念等过程，学会从事物的多种属性中抽象出本质属性。

基于以上思考，在教学开始时，笔者出示一张自己上学时的集体照，提问：“你们能找到我吗？”学生兴奋不已，恨不得冲到照片前面用手指出来。笔者又问：“谁来说一下我在哪里？”学生众说纷纭，有的只用一个方位词（如中间）来描述；有的用一个方位词加发型等形象描述，如中间和短发；有的用一个方位词加第几排等一维描述方式，如中间第二排；有的用二维描述方式，如第二排第五个……其中二维描述方式还有从不同方向数的情况。“如果要向不认识我的人介绍我在照片上的位置，你们刚才的描述能让他找到吗？为什么？”学生进行对比和反思，甚至争论、辩论，最终达成一致：有约定方向的两个数能确定平面上的位置，产生数对。在整个教学过程中，学生的思维处于愤悱状态，学生经历了解决问题的全过程，理解了数对确定位置的必要性，同时抽象出数对，其抽象与概括思想获得了发展。

2.在理解数对确定位置的唯一性中，发展学生的对应思想

为了准确描述平面上的位置，在数学上就必然产生数对；准确是指能让其描述与平面上的位置一一对应。一个方位词描述，如中间，范围太大，找不到具体目标是哪一个。一个方位词加形象描述，如中间和短发，范围虽然缩小，但不排除中间有几个短发的人，目标不确定，方法也不适合推广。一个方位词加第几排，如中间第二排，不明确是从哪个方向数的第二排。而二维描述，如第二排第五个，没有方向约定时最多有四个目标，一旦加上方向约定，就只有一个目标了。在学生的争论、辩论中，教师要多追问“你说的这种描述方法可能找到几个位置（人）？”“这个位置（人）符合你的描述吗？”让学生在理解数对产生必要性的同时，也初步理解二维描述能与平面上的位置之间建立一一对应关系。

当然，要进一步理解数对确定位置的唯一性，还需要在明确规则之后，加强数对确定位置在解决实际问题中的运用。让学生根据图中指定的位置找出对应的数对，根据给出的数对找出图中对应的位置。同一个位置给出不同的数对让学生判断并说明理由，数对中的两个数，其中一个确定、另一个不确定时找图中或教室里对应的位置，直观表示一对多的情况，呼应前面一个方位词加一维描述方式的一对多，同时也让学生体会到两个数都确定的数对对应平面中唯一的位置。数对中两个数相同时，不同的两个数在数对中的顺序交换后对平面中位置的影响等情况，都可以通过起立、图示等方法，让学生经历理解数对确定位置的规则和唯一性的同时，也发展对应思想。

3.在理解数对表征的简明性中，发展学生的符号思想

在理解数对产生的必要性时，虽然学生已经知道二维描述能唯一确定平面中的位置，但怎样记录描述也是不容忽视的问题。在出示教室里的座位图后提问：“请在纸上记录笑笑的位置，记录好的同学再想一想还有没有其他的记录方式？”巡视和展示作品时，学生收获丰富，讨论不断。逐字记录“第2排第5列”看起来清楚，是个不错的选择，但字多，笔画多，说起来也不够快。“2排5列”虽减少了描述中的文字，但仍然要写汉字，不够简洁；况且书写还不方便、不快速，也不便于书面交流。“2-5”“2、5”“2,5”在有约定规则的前提下没了汉字，简洁了，但是易于与减法、小数、列举数等的书写混淆；并且多个位置写在一起时，不好区分。最后，介绍数学家用“（2,5）”的形式表征数对，“（）”表示 2 和 5 为一组、一对；用“（）”而不用“［ ］”等其他连接符号，是为了与数学中其他意义的符号表征区分开。在展示各种记录方式的过程中注意追问“这种记录方式能表达清楚吗？”“这种记录方式更清楚明白、更简洁吗？”“还有没有更简洁明了的方法？”此过程中，学生用文字、数字、数学符号等进行了记录，并在思考、辨别、判断、优化、简化的过程中用数对表示，数学表征能力得到了培养，符号意识得到了发展。

总之，在教学“确定位置”时，以厘清“教什么”为前提，从数对产生的必要性切入，紧扣数对“三性”进行教学演绎。学生就能够经历数对产生和形成的全过程，在分析、比较、归纳和抽象的过程中，建构数对概念，发展数学核心素养。