一道抛物线创新题的解法与变式研究

■河南省温县第一高级中学 赵路英

例题：已知过抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点。连接A O,B O并延长,分别交准线于M,N两点。求证:

(1)N,M分别为A,B在准线上的投影;

(2)S△OMN=S△OAB。

可得y2-2p m y-p2=0。

所以y1+y2=2p m,y1y2=-p2。

变式1：已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于A (x1,y1),B(x2,y2)两点。连接A O,B O并延长,分别交直线x=-4于M,N两点。求△OMN与△O A B的面积比。

解法一：设直线l的方程为x=m y+2,则有:

可得y2-8m y-1 6=0。

所以y1+y2=8m,y1y2=-1 6。

又A,B在抛物线y2=8x上,故y21=8x1,y22=8x2。

解法二：过(-2,0)作直线x=-2,与直线A O,B O分别交于点M′,N′。

由例题可知S△OM′N′=S△OAB。

又S△OMN=4S△OM′N′,所以S△OMN∶S△OAB=4∶1。

变式2：已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点。M为线段A B的中点。连接O A,O B并延长,分别交直线x=4于C,D两点。求△O C D与△O AM的面积比。

解：过(-2,0)作直线x=-2,与直线O A,O B分别交于点C′,D′。

由例题可知S△OC′D′=S△OAB。

又S△OCD=4S△OC′D′,S△OAM=以S△OCD∶S△OAM=8∶1。

(责任编辑 赵 平)