一道解析几何面积定值问题的思考

■江西省丰城中学 吴爱龙 熊华芳

题目 已知椭圆x2+2y2=1。如图1,过原点的两条直线l1和l2,分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△A O C的面积为S,l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变。

1.原解呈现

设l1:y=k x,则l2:设A(x,y),11C(x2,y2)。

点评:本题考查了椭圆中的相关三角形面积问题。当过原点的两条直线绕原点任意转动时,若其斜率之积恰为-,则Δ A O C的面积必为定值;否则随着直线位置的改变,三角形的面积也会随之改变,这便属最值问题了。定值与最值是面积问题之中最为典型的两类题型,它们刻画了“动”与“静”的辩证关系,反映在数学中就是“特殊”与“一般”的关系问题。在求解过程中,我们用到了三角形的坐标形式的面积公式,该公式在江西、上海等试卷中多次考查,它是高等数学行列式内容中的三角形面积公式的特例,请同学们务必重视。

图1

2.题设变动

设l1和l2的斜率分别为k1和k2,则k1由题目结论知倘若将其改进为x1x2+2y1y2=0(这是一个惊人之举,从下文中可以看出),则得下面变式。

变式1 已知椭圆x2+2y2=1。过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D。设△A O C的面积为S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若x1x2+2y1y2=0,则无论l1

和l2如何变动,面积S恒为定值

证明：因为点A、C在椭圆上,所以x21+两式相乘并展开得

3.类比迁移

著名数学家、教育学家波利亚在《怎样解题》一书中指出:“好题目和某种蘑菇有点相似之处:它们都成串生长,找到一个以后,我们应该看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的。”因此当我们解完一道题以后,要不断领悟、反思,进行横向类比,从而达到触类旁通的效果。上述问题能类比到双曲线中去吗?回答是肯定的!

变式2 已知双曲线x2-2y2=1。过原点的两条直线l1和l2分别与双曲线交于A、B和C、D。设△A O C的面积为S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若x1x2-,则无论l1和l2如何变动,面积S恒为定值

点评:一般地,在椭圆中有的结论或性质,在双曲线中也常有。但上述题目却并不容易简单地进行类比。这里笔者之所以能将椭圆中的结论成功地推广到双曲线中,主要原因在于巧妙地将原题设条件“改进为“x1x2+2y1y2=0”,再进一步将后一等式右端中的数“0”放宽至一般数值,方可由其对偶性类比出“x1x2-2y1y2=2”,从而顺利地得出双曲线中的相应类题了。至于为什么将数值“0”与“2”对应,主要是为了凑出同一面积定值

4.横纵拓展

经笔者思考,从横、纵两个视角出发,进行深入探究,得到了其一般形式,我们有:

结论1 已知椭圆(圆)a x2+b y2=1(a＞0,b＞0)。过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆(圆)交于A、B和C、D。设△A O C的面积为S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若a x1x2+b y1y2=n(n为定值,且|n|＜1),则无论l1和l2如何变动,面积定值。

证明：因为A,C在椭圆(圆)上,所以:

在结论1中,取a=1,b=2,n=0,则

x1x2+2y1y2=0。若x1x2≠0,则即l1与l2的斜率之积积S为定值此即原题答案。

结论2 已知双曲线a x2-b y2=1(a＞0,b＞0)。过原点的两条直线l1和l2分别与双曲线交于A、B和C、D。设△A O C的面积为S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若a x1x2-b y1y2=n(n为定值,且|n|＞1),则无论l1和l2如何变动,面积定值。

证法与上类似,过程留给同学们自行完成。

在抛物线中虽然不能找到如此对称、优美的结论,但经探究,也可得到一个较为类似的结论。

结论3 已知抛物线y2=2p x(p＞0)。过原点的两条直线l1和l2分别与抛物线交于A、B。设△A O B面积为S,A(x1,y1),B(x2,y2)。若x1值,且n＞0),则无论l1和l2如何变动,面积

对一个椭圆问题可演变出一系列类似问题,正如波利亚所说在所采“蘑菇”旁边应努力去寻找别的蘑菇。这启示我们,在平时的解题或探究过程中,应自觉进行一题多解或一题多变探究,这样做既能深刻理解问题,又能避免题海战术,从而高效地学习。切记:解题后的反思与探究比解题过程更为重要哦!

(责任编辑 赵 平)