盘点圆锥曲线中的焦点三角形

■甘肃省秦安县第二中学 张锁定

由椭圆或者双曲线上的一点及其两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。以焦点三角形为背景的试题,是各类考试中一道靓丽的风景线,可以很好地考查同学们的逻辑推理能力和运算求解能力。

题型一 椭圆焦点三角形的面积问题

常用结论:已知F1、F2为椭圆1(a＞b＞0)上的两个焦点,M是椭圆上的动点,则△M F1F2的面积

x2

+y2

=

a2b2

又因为点P在椭圆上,所以|P F1|+①

由余弦定理可知,|P F1|2+|P F2|2-2|P F1||P F2|c o s6 0°=|F1F2|2=4。 ②

①式两边平方得|P F1|2+|P F2|2+2|P F1|·|P F2|=2 0。 ③

评注:解椭圆的焦点三角形的面积问题,通常要用到椭圆的定义,余弦定理。本题还可以直接利用公式S△F1PF2=b2t a n

解析：由椭圆方程x2

+y2

=1,知a=2,43 c=1。由椭圆定义,可得|P F1|+|P F2|=2a=4,且|F1F2|=2。在△P F1F2中,∠P F1F2=9 0°,所以|P F2|2=|P F1|2+|F1F2|2,从而(4-|P F1|)2=|P F1|2+4,则

(2)设F1、F2是椭圆焦点,P是椭圆上的点,且|P F1|∶|P F2|=5∶1,则△F1P F2的面积等于____。

解析：由椭圆方程得a=3,b=2,c=5,|F1F2|=2 5,所以|P F1|+|P F2|=2a=6。又|P F1|∶|P F2|=5∶1,所以|P F1|=5,|P F2|=1。

由余弦定理可得,c o s∠F1P F2=

所以s i n∠F1P F2=1-c o s2∠F1P F2

题型二 焦点三角形的周长问题

常用结论:1.已知F1、F2为椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点,P是椭圆上的动点,则△P F1F2的周长恒为定值2a+2c。

2.已知F1、F2为椭圆的两个焦点,直线l过焦点F1且与椭圆交于A、B两点,则△F2A B的周长恒为定值4a。

1A、B两点,且△A B F2的周长为1 6,那么椭圆C的方程为____。

因此,b2=a2-c2=4。

解析：因为a2=2 5,b2=1 6,所以c2=a2-b2=9,c=3。由椭圆的定义可知,|P F1|+|P F2|+2c=2a+2c=1 6。

所以△P F1F2的周长为1 6。

解析：由双曲线方程可知,a=4,b=3,c=5。故A(5,0)恰为双曲线的右焦点,线段P Q过双曲线的右焦点,则P、Q都在双曲线的右支上,由双曲线的定义知,|P F|-|P A|=2a,|Q F|-|Q A|=2a。

两式相加得,|P F|+|Q F|-(|P A|+|Q A|=4a。

则|P F|+|Q F|=4a+|P Q|=4×4+1 2=2 8。

对此，教师在平时的教学中可以让学生在阅读时养成积累写作素材的好习惯，调动学生写作的积极性，让学生能够在写作的过程中大胆进行创新，展示自我，另外，教师也要对学生的写作进行适当的鼓励，让学生逐渐喜欢上写作，培养其写作的积极性，增加写作和阅读的热情。

所以△P Q F的周长为|P F|+|Q F|+|P Q|=2 8+1 2=4 0。

题型三 焦点三角形中的几何性质问题

解析：在△P F1F2中,|F1F2|=2c,

由椭圆定义可得,|P F1|+|P F2|=2a。

评注:解答本题先利用直角三角形的知识,把|P F1|和|P F2|都用c表示,再利用椭圆的定义,最后得出椭圆的离心率。

变式3 (1)已知F1、F2分别为双曲线(a＞0,b＞0)的左、右焦点,P是双曲线C右支上的一点,P F1⊥P F2,∠P F2F1=6 0°,则双曲线C的离心率为____。

解析：在△P F1F2中,|P F1|=|F1F2|

由双曲线的定义可知,|P F1|-|P F2|

(2)已知F1、F2为椭圆下焦点,点M(3,2)在椭圆上,求∠F1MF2的角平分线l所在的直线方程。

解析：由题意知,F1(0,2),F2(0,-2),M(3,2),所以|MF1|=3,|MF2|=5。

设角平分线l与y轴的交点为A(0,y0),由角平分线性质可得

题型四 焦点三角形中的定值问题

A.定值

B.非定值,但存在最大值

C.非定值,但存在最小值

D.非定值,且不存在最值

图1

解析：设∠I F1F2=α,∠I F2F1=β。

则kIF1·kIF2=-t a nαt a nβ。延长F1P到点Q,且|P Q|=|P F2|,则∠F2P Q=2α+-(α+β)。

解析：由题意知a2=4,b2=1 2,所以c2=1 6,F1的坐标为(-4,0),F2的坐标为(4,0)。

设内切圆与△P F1F2的三条边P F1、P F2、F1F2分别相切于F、E、D三点,由已知条件及双曲线的定义可得:

2a=|P F1|-|P F2|=(|P F|+|F F1|)-(|P E|+|E F2|)=|F F1|-|E F2|=|F1D|-|F2D|=(xD+c)-(c-xD)=2xD,所以xD=a=2,xM=xI=xD=2。

设P点坐标为(x0,y0),由M为△P F1F2

把x0=6代入双曲线方程解得y0=4 6,所以P点坐标为(6,4 6)。

由两点间距离公式得|P F1|=1 4,|P F2|=1 0。

设△P F1F2的内切圆半径为r,则1 6r。

另一方面,S△PF1F2

图2

(责任编辑 徐利杰)