全国名校抛物线测试培优卷（B卷）

■河南省虞城县高级中学 何海涛 朱喜梅

一、选择题

2.若抛物线y2=2p x(p＞0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则该抛物线的标准方程为( )。

A.y2=4x B.y2=6x

C.y2=8x D.y2=1 0x

3.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有( )。

A.1条 B.2条 C.3条 D.0条

4.已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则点P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )。

5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△F PM为等边三角形时,其面积为( )。

A.2 3 B.4 C.6 D.4 3

6.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于C点,且|B F|=2,则△B C F与△A C F的面积之比为( )。

A.2∶3 B.3∶4 C.4∶5 D.5∶6

7.已知F是抛物线y2=1 6x的焦点,A、B是该抛物线上的两点,|A F|+|B F|=1 2,则线段A B的中点到y轴的距离为( )。

A.8 B.6 C.2 D.4

8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线C上且|A K|=2|A F|,则△A F K的面积为( )。

A.4 B.8 C.5 D.6

9.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )。

A.(0,2) B.[0,2]

C.(2,+∞) D.[2,+∞)

1 0.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A、B两点,交抛物线C的准线于D、E两点。已知|A B|=4,|D E|=2 5,则抛物线C的焦点到准线的距离为( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

1 1.设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,P A⊥l,垂足为A。如果△A P F为正三角形,那么|P F|等于( )。

A.4 3 B.6 3 C.6 D.1 2

1 2.已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A、B两点。O为坐标原点,且O A⊥O B,则b=( )。

A.2 B.-2 C.1 D.-1

1 3.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是( )。

A.(x-2)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=4

C.(x-2)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=2

1 4.已知点A(3,4),F是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点,当|MA|+|MF|取最小值时,M点的坐标是( )。

1 5.已知抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且|P1F|、|P2F|、|P3F|成等差数列,则有 ( )。

A.x1+x2=x3B.y1+y2=y3

C.x1+x3=2x2D.y1+y3=2y2

1 6.若点P为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|P F|的最小值为( )。

1 7.已知F是抛物线x2=8y的焦点,若抛物线上的点A到x轴的距离为5,则|A F|=( )。

A.4 B.5 C.6 D.7

1 8.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为3 0°的直线交C于A、B两点,O为坐标原点,则△O A B的面积为( )。

1 9.直线l与抛物线C:y2=2x交于A、B两点,O为坐标原点,若直线O A,O B的斜率k,k满足,则直线l一定过点( )。

A.(-3,0) B.(3,0)

C.(-1,3) D.(-2,0)

A.y2=2x B.y2=4x

C.y2=1 0x D.y2=2 0x

2 1.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,倾斜角为钝角的直线l过F,且与抛物线C交于A、B两点。则直线l的斜率为( )。

2 2.过抛物线y=4x焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|P Q|=( )。

A.9 B.8 C.5 D.6

2 3.已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,直线l:y=m(x-1)与抛物线交于A、B两点,点A在第一象限。若|F A|=3|F B|,则m的值为( )。

2 4.平面直角坐标系x O y中,双曲线C1:)的渐近线与抛物线2C2:x2=2p y(p＞0)交于O、A、B,若△O A B的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为( )。

2 5.已知抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点为F,△A B C的三个顶点都在抛物线上,且A(1,2),,则B C边 所 在 的 直线方程为( )。

A.2x-y-2=0 B.2x-y-1=0

C.2x+y-6=0 D.2x+y-3=0

2 6.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧(其中O为坐标原点),则△A B O与

△A F O面积之和的最小值是( )。

2 7.正三角形A B C的两个顶点A、B在抛物线x2=2p y(p＞0)上,另一个顶点C是此抛物线的焦点,则满足条件的△A B C的个数为( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

2 8.设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|P Q|的最小值为( )。2 9.设F是抛物线C1:y2=2p x(p＞0)的焦点,点A是抛物线与双曲线=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线的一个公共点,且A F⊥x轴,则双曲线的离心率为( )。

3 0.过抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点F作倾斜角为4 5°的直线交抛物线于A、B两点,若线段A B的长为8,则p的值( )。

A.3 B.2 C.5 D.6

二、填空题

3 3.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A,与抛物线C的一个交点为B。若,则p的值为____。

3 5.已知F是抛物线y2=4x的焦点,M是抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值为____。

3 6.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=的焦点,P为抛物线C上一点,若|P F|则△P O F的面积为____。

3 7.设抛物线x2=1 2y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点。又知点P恰为A B的中点,则|A F|+|B F|=____。

3 8.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|A B|=,则m的值为____。

3 9.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是____。

4 0.抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为7,则A、B到y轴的距离之和为____。

4 2.已知抛物线C1:y=a x2(a＞0)的焦点也是椭圆点,点分别为曲线C、C上的

12点,则|MP|+|MF|的最小值为____。

4 3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点,已知,则抛物线C的焦点到准线的距离为____。

4 4.设抛物线C:x2=2p y(p＞0)的焦点为F,准线为l,A为抛物线C上一点,已知以F为圆心,F A为半径的圆F交l于B、D两点。若∠B F D=9 0°,△A B D 的面积为则圆F的方程为____。

4 5.过抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点F作两条相互垂直的射线,分别与抛物线相交于点M、N,过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线P Q,垂足为Q,则的最大值为____。

4 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线P F与抛物线C的一个交点,若=____。

4 7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|A B|+|D E|的最小值为____。

4 8.设A、B是抛物线C:y2=4x上异于原点O的两个不同点,直线O A和O B的倾斜角分别为α和β,当t a nα·t a nβ=1时,则直线A B恒过一定点M,那么M坐标为____。

4 9.已知抛物线C:y2=4x,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,都有则m的取值范围为____。

5 0.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(A B不垂直于x轴),且|A F|+|B F|=8,线段A B的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),则此抛物线的方程为____。

三、解答题

5 1.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)过点P(1,-2)。

(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;

(2)过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A、B两点,求△O A B的面积。

5 2.在平面直角坐标系x O y中,抛物线C:x2=2p y(p＞0)的焦点为F,过F的直线l交C于A、B两点,交x轴于点D,B到x轴的距离比|B F|小1。

(1)求C的方程;

(2)若S△BOF=S△AOD,求l的方程。

5 3.已知E(2,2)是抛物线C:y2=2p x上一点,经过点D(2,0)的直线l与抛物线C交于A、B两点(不同于点E),直线E A,E B分别交直线x=-2于点M、N。

(1)求抛物线方程及其焦点坐标,准线方程;

(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值。

5 4.已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=9,M在抛物线C:x2=2p y(p＞0)上,圆M过原点且与C的准线相切。

(1)求C的方程。

(2)点Q(0,-t)(t＞0),点P(与Q不重合)在直线l:y=-t上运动,过点P作C的两条切线,切点分别为A、B。求证:∠A Q O=∠B Q O(其中O为坐标原点)。

5 5.已知抛物线C:y2=2p x(p＞0)的焦点是F,点D(1,y0)是抛物线上的点,且|D F|=2。

(1)求抛物线C的标准方程。

(2)过定点M(m,0)(m＞0)的直线与抛物线C交于A、B两点,与y轴交于点N,且满足

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)记P点的轨迹为E,过点S(2,0)斜率为k1的直线交E于A、B两点,Q(1,0),延长A Q,B Q与E交于C,D两点,设C D的斜率为k2,证明为定值。

5 7.已知平面内一动点M到点F(1,0)的距离比到直线x=-3的距离小2。设动点M的轨迹为C。

(1)求曲线C的方程。

(2)若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点,过点B作直线:x=-1的垂线,垂足为D,设A(x1,y1),B(x2,y2)。求证:①x1·x2=1,y1·y2=-4;②A、O、D三点共线(O为坐标原点)。

5 8.已知抛物线E:y2=2p x(p＞0)的焦点F,E上一点(3,m)到焦点的距离为4。

(1)求抛物线E的方程;

(2)过F作直线l,交抛物线E于A、B两点,若直线A B中点的纵坐标为-1,求直线l的方程。

5 9.已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等。

(1)求动点M的轨迹E的方程。

(2)已知不与l垂直的直线l′与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P,以A P为直径作圆C,判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论。

(责任编辑 徐利杰)