数学课堂教学中提高学生“提出问题”能力的探索

上海交通大学附属中学嘉定分校

徐 辉 (邮编：201801)

笔者曾执导过一节公开课，题目是《圆锥曲线定义的应用》.在这节课中采用了“给出问题-思考解决问题-提出相关问题并探究”的教学方式，以圆锥曲线的定义为载体，通过联想与类比的方法，培养学生主动提出问题并进行进一步探究的能力，取得了比较好的教学效果.如下是部分教学片段实录：

片段一从定义出发，引导学生从知识角度进行类比与拓展，提出相关新的问题.

图1

师：(提出问题1)如图1所示，F1、F2是以2a为实轴长的双曲线的两个焦点，过F1作长为m的弦AB交双曲线的左支于A、B两点，求A、B两点到另一个焦点F2的距离之和|AF2|+|BF2|.

生1：根据双曲线的定义可得：

|AF2|+|BF2|=(2a+|AF1|)+(2a+|BF1|)=4a+m.

师：生1回答的非常好.他根据双曲线的定义，利用双曲线上的点到两焦点的距离存在确定的关系这一性质，把双曲线上点A、B到焦点F2的距离转化为到另一个焦点F1的距离来处理，从而使问题获得解决.现在请大家思考，如果将这个问题中的双曲线换为其它的圆锥曲线，你能提出一个什么样的问题？

生2：我将双曲线换为椭圆，可以得到这样的问题：设F1、F2是以2a为长轴长的椭圆的两个焦点，过F1作长为m(m>0)的弦AB交椭圆于A、B两点，求A、B两点到另一个焦点F2的距离之和|AF2|+|BF2|.结果是|AF2|+|BF2|=(2a-|AF1|)+(2a-|BF1|)=4a-m.

师：非常好.有没有同学把这个问题的背景换为抛物线的？能得到一个什么样的问题？(沉思)

图2

生3：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作长为m的弦AB,求AB中点到准线的距离.

师：你是怎么考虑这个问题的？

生3：我是这样考虑的，由于抛物线只有一个焦点，所以无法提出一个与前面椭圆及双曲线类似的到另一个焦点的问题，但是抛物线还有一个重要的要素是准线，因此就想到了过A、B向准线作垂线AA1与BB1，如图2，作好以后，根据抛物线定义，我发现|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,而AB长为定值，故|AA1|与|BB1|的和为定值，从而梯形ABB1A1的中位线|MM1|为定值.

师：太漂亮了.虽然抛物线只有一个焦点，但是生3还是在刚才前两个问题的基础上，通过自己的努力，得到了一个与前面好象不同但又神似的新的问题.我觉得他的探索非常有意义，请大家看这样的问题：

图3

练习如图3，圆O半径为6，点P是圆上的一个动点，直线l是以点P为切点的圆的切线，两定点A(-5，0)、B(5，0).一动抛物线经过A、B两点且以直线l为准线，则抛物线的焦点F的轨迹是如下哪一种曲线的一部分( )

A．圆 B. 椭圆 C.双曲线 D.抛物线

生4：答案是B.反用刚才生3的结论即可得.

师：请你详细叙述一下.

生4：由题意，|OP|是定值6，从而A与B到直线l距离之和为定值12，由抛物线的定义可知，|AF|与|BF|的和为定值12，即|FA|+|FB|=12>|AB|.从而选B.

师：回答的非常完美.从以上几个问题，我们可以看出，在我们解题的过程，适当地对问题的背景作一点改变，可能就会得到一个新的问题，从提出新问题到对新问题的研究，也正是我们增长知识、掌握方法、提高能力的一个重要的过程.

图4

片段二从定义出发，引导学生从方法角度进行类比与拓展，提出相关新的问题

师：(提出问题2)如图4，在直线l:x-y+2=0上任意取一点M，经过M点且以点F1(-1，0)、F2(1,0)为焦点作椭圆，求所作的所有椭圆中长轴2a最短的椭圆的方程.

生5：我是这样考虑的，由题意，点M具有两重性，它既在直线l上又在椭圆上，故|MF1|+|MF2|=2a.要想求长轴2a最短的椭圆的方程,其实就是要求2a的最小值，于是此题就归结于如何在直线l上找一点M使得|MF1|+|MF2|最小.

图5

师：分析的非常精辟.你作出结果了吗？

师：刚才这位同学用点对称求直线上点到两定点距离之和最小的方法完美地解决了这个问题.现在我们重新再来审视这个问题，你能得到一个类似的新的问题吗？

生6：将问题的背景换为双曲线，可以得到这样的新问题：在直线l:x-y+2=0上任意取一点M，经过点M且以点F1(-1，0)、F2(1,0)为焦点作双曲线，求所作的所有双曲线中实轴长2a最短的双曲线的的方程.

师：这样的问题可以吗？

生7：不能这么问.

师：为什么？

生7：如果这么问，这样的双曲线不存在.如图6，在双曲线中2a=||MF1|-|MF2||，显然||MF1|-|MF2||有最小值0，此时点M在y轴上，满足条件的双曲线显然不存在.故这种问法要修正.

师：如何修正？

生7：修正为求最大值.

师：修正为求最大值真的可以了吗？

图6

生8：修改为求最大值也不可以.因为2a=||MF1|-|MF2||≤|F1F2|=2，当且仅当点M为直线l与x轴交点时成立，但此时点M在线段F1F2的外部，这怎么可能呢？

师：是啊，这怎么可能呢？那怎么办？

图7

生9：可以把F1、F2两点的坐标变一下，变为在直线l与x轴的交点之外，比如设焦点F1(-3，0)，F2(3，0).如图7.

师：好，那请大家继续研究.

图8

生10：由于2a=||MF1|-|MF2||，问题转化为在直线l上取一点M，使2a=||MF1|-|MF2||最大.如图8，作F2关于直线l的对称点Q，连QF1并延长交直线l于点M，此时，2a=‖MF1|-|MF2‖=‖MQ|-|MF1‖≤|QF1|，而|QF1|是可以求出来的，于是问题得到了解决.

师：那好，请大家完成这个问题的求解.

师：对于刚才这个问题的解决，同学们都非常机智.我再问个问题，这个题目只能修改点F1与F2吗？

生(笑)：不是的，还可以修改直线的位置，只要将直线与x轴的交点置于F1与F2之间即可.

师：刚才看到有同学对问题2有这样的两种解法，请大家一起欣赏下：

师：阅读完这两种解法，对于你的研究，你是否有所感想？

生：可以用这两种方法解决刚才关于双曲线的问题.

师：这个问题请同学们课后作为作业完成.

我们以为，每一节数学课堂教学，都应该围绕两条主线展开，一条是围绕如何发展学生的知识与方法技能等方面来展开，另一条是围绕如何发展学生的思维品质与情感体验等方面来展开.而这两个方面的开展都离不开学生主动思考、积极参与到课堂教学的整个过程中来，某种程度来说，学生的积极参与远比仅靠教师的精妙讲解效果要更好.

对于片段一，设计启发让学生提出的几个思考题，每一个都是在上一个的基础上进行进一步思考而得到，每一个新的知识点的生成都是前一个知识点的自然而然的延展.这不仅让学生从已知到未知循序渐进发现知识，同时也使学生通过猜想、探究等活动拓展了学生的思维，潜移默化地提高了他们思维的品质.随着问题的进一步深入又将学生对知识的探讨与思维的训练引上了更高的一个层次.好象所有知识的出现都是自然而然顺理成章的，实际上又是以学生思维的一步步深化作为主线的，这样就能很好地让学生享受探究的成功体会到探究的乐趣，不断刺激学生探究的欲望，同时也让学生下一步的探究有一个适当的基础，而且每一步探究都能体会到前面的探究是有价值的，是有作用的，从而更一步培养他们探究的欲望与能力.学生在对问题的探究中思维始终处于主动、积极、盎然的状态之中，这样的学习状态显然有助于学生学习效率与学习收获的提高，也有助于学生创新能力的培养.

对于片断二，是在学生研究完一个关于椭圆的最值问题的基础上，启发学生提出一个类似的双曲线的最值的问题，学生在提出这个问题的过程，经历过“出错-修正-再出错-再修正”这样反复探究的心理历程，在这个过程之中，学生始终处于一种积极参与主动探究的状态之中，从而能促使学生对知识有更深一步的理解并让他们享受到积极的情感体验，在“润物细无声”之中提高了他们思绪的品质与探索的精神，并且，这样的体验也会是他们喜爱数学喜爱探索的一种极为重要的促进因素.当然，在探究的过程中，始终坚持对学生进行引导，并提供必要的帮助，探究的主体一定是学生，这个探究的过程一定要放给学生，教师不能越俎代庖.

前面两个片段，均通过一个问题的解决，启发学生通过变换背景或是变换条件或是变换结论，用类比的方法主动提出一个问题，然后对自己所提出的问题进行探究，并在探究的过程中根据实际情况的变化不断调整自己所提出的问题，或者说是采用了“给出问题-思考解决问题-提出相关问题并探究”的教学方式.这样设计希望能达成两个目的：一是将几种圆锥曲线的不同定义在思维上将之整合为一个整体，提高学生对于定义的应用意识；二是通过联想与类比这一过程，发展学生主动提出问题并进行进一步探究的欲望与能力.这样的处理方法，最关键的地方在于如何让学生“有感而发”.就是如何让学生对已有的问题(或是问题解决的方法或是结论)能有所“感想”，并通过“感想”产生联想，通过联想引发探究，通过探究启迪思维.

在前面所提的“给出问题-思考解决问题-提出相关问题并探究”的教学方式中，核心的要素是让学生提出问题，提出问题的过程就是学生思考的过程，就是学生不断提高的过程.我在培养学生提出问题能力的探索中，有这样的几点体会：

(1)课堂教学中要让学生敢于提出问题.

这就要教师要与学生建立良好和谐的师生关系，营造一个民主的教学氛围.师生关系民主了，学生敢想、敢说、敢做了.自然有利于学生静下心来想办法、开动脑筋提问题.

(2)课堂教学中要让学生能提出问题.

这就要求要有培养学生发现和提出问题的意识，创设提出问题的情景，善于用引导、暗示、激发等方式有意鼓励学生发现与提出新的问题并加以研究解决.

(3)课堂教学中要给学生一个提出问题的期望.

就是要让学生感受到老师非常赞赏学生能提出新的问题.苏联教育家苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，因此，提出问题并加以探究是一个人与生俱来的心理追求，教师在教学过程中，要经常给学生一个提出新问题的期望，鼓励学生能主动地、积极地、有意识地去提出新的问题，这样时间长了，学生便能将教师的期望内化为自身的需要，从而形成他个人的提出问题并加以探索的优良思维习性.

爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要.”在数学课堂教学中如何高效地培养学生提出问题的能力，还需要我们不断的探索.

1 夏小刚,吕传汉.美国数学教育中的提出问题研究综述[J]. 比较教育研究,2006(2): 18-22

2 王发成,赵喜庆. 数学课堂应培养学生提出问题的能力[J].中学数学教学参考:上旬,2015(12):25

3 吴立建.数学课堂中应重视引导学生提出问题——《等腰三角形性质复习课》教学实践及反思[J].数学通报，2013(7):25-27