小波变换及其在水声信号处理中的应用

侯铁双

摘要

小波变换是近年来发展起来的重要的一个数学分支，并在非平稳信号的研究中得到了广泛应用。本文从小波变换的特点入手，结合水声信号的特征，对小波变换在水声信号处理中的应用进行简要总结分析。

【关键词】小波变换 水声信号处理 特征提取

对于非平稳信号的舰船辐射噪声来说，特征信息最丰富的频段集中在0～1000Hz，1000Hz以上的频段主要包含的是舰船螺旋桨空化产生的连续噪声谱。所以说，在分析舰船辐射噪声时，在低频部分应取高频率分辨率，而在高频部分可以取较低的频率分辨率。从时频分析的不确定原理角度来说，在分析此类非平稳性信号时，高频部分应有较高的时间分辨率，而低频部分可选择较低的时间分辨率。从信号分析方法的原理来说，小波变换正是满足这种分析要求的有力工具。

1 连续小波变换

定义设Ψ（t）∈L²（R）∩L¹（R），其Fourier变换为满足允许条件

则称Ψ（t）为一个基本小波。将Ψ（t）经伸缩和平移后，得

称为一个小波序列。式中s是尺度参数，u是平移参数，且满足u，s∈R，s≠0。

对于能量有限的非平稳信号f（t），尺度s>0的小波变换定义为以函数族为积分核的积分变换

式中s是尺度参数，u是平移参数，函数Ψ_u，s是小波函数，选择适当的尺度参数s和平移参数u可在时域和频域都有很好的局部性。

由公式（3）所定义的小波变换可解释为用具有中心频率为f的带通滤波器对信号f（t）进行滤波。从小波变换的定义来看，当把小波变换看成滤波器组时，其时间分辨率必须随分析带通滤波器的中心频率的提高而相应提高。因此频率分辨率Δf与中心频率f成正比，即

式中C为一常数。所以说，小波变换带通滤波器的带宽与中心频率f成正比。

2 离散小波变换

连续小波变换主要应用于理论分析。在实际运算中，尤其在计算机上实现信号的小波变换时，必须对尺度参数s和平移参数u进行离散化处理。一般来说，在对参数进行离散化时，选取s=s₀^m，m是整数，s₀是大于1的固定伸缩步长，u=nu₀s₀^m，u₀>0且与小波Ψ（t）的具体形式有关，n为整数。这种离散化的基本思想体现了小波变换作为“数学显微镜”的主要功能，选择适当的放大倍数s₀^-m，在一个特定的位置研究一个函数或信号过程，然后再平移到另一位置继续研究，通过选择合适的尺度参数和平移参数得到理想的分析结果。则离散小波函数可以定义为相应的小波变换

就是离散小波变换。

3 小波变换在水声信号处理中的应用

目前来说，基于小波变换自身的特点与水声信号处理的特点，小波变换在水声信号处理中的应用，绝大多数研究资料和文献侧重于噪声消除与特征量提取这两个方面，下面就从理论上对小波变换在水声信号处理中的应用作分析。

3.1 消除海洋环境噪声干扰

在应用小波变换进行消除海洋环境噪声干扰前，我们先分析一下高斯白噪声在小波变换下的一些特征。

假设n（t）是实值、均值为零、方差为σ²的宽平稳高斯白噪声，Wn（u，s）是n（t）的小波变换，并设小波函数φ（t）为实值函数，从而有

而

而

所以

又因

所以

式（11）表明Wn（u，s）的平均功率与分析尺度s成反比，因此白噪声几乎处处奇异，小波变换Wn（u，s）是t的随机过程。因此，若n（t）为高斯白噪声，则Wn（u，s）同样也是高斯白噪声。在任一尺度s上，小波变换模极大值的平均密度可表示为

式中Ψ^（1）、Ψ^（2）分别是小波基函数Ψ（x）的一阶、二阶微分。因此，模极大值的平均密度与分析尺度s成反比。即随着分析尺度的增加，白噪声的能量在小波变换下有越来越少的趋势。

從以上对白噪声的小波变换可见，对于一维离散信号，其高频段影响的是小波分解系数第一层的高频部分，低频段影响的是小波分解的最深层及其低频系数。如果对一个单纯由由白噪声构成的信号进行小波分析，高频部分的小波系数幅值随着分解层次的增加而急剧衰减，同时，高频系数的方差也急剧衰减。根据白噪声的性质以及小波变换的线性特征，可得出白噪声在小波变换下具有如下特征：

（1）如果分析的是平稳、零均值的白噪声信号，则分解得到的小波系数是不相关的;

（2）如果分析的是高斯噪声信号，分解得到的小波系数是独立的，并且服从高斯分布;

（3）如果分析的是有色、平稳、零均值的高斯噪声，分解得到的小波系数也是高斯序列。

美国斯坦福大学的Donoho和Johnstone教授根据高斯白噪声在小波变换下的以上性质，提出利用小波变换对信号进行去噪的算法，他们把这种算法称为“Wavelet Shrinkage”，这种算法的理论依据是：N个具有独立同分布的标准高斯变量中的最大值小于的概率随着N的增大趋于1。若被测信号含有独立同分布的噪声，经过小波变换后，其噪声部分的小波系数也是独立同分布的。因此，利用这个性质，在假定噪声具有独立同分布的情况下，可以通过设置一个简单的门限值来去除噪声。

通常来说，海洋环境噪声的幅度分布是高斯或近似高斯分布，Ross指出这种假设符合中心分布，但不能精确表示分布的尾部。事实上，在某些频段上海洋环境噪声更接近于Rayleigh分布，而零均值、窄带高斯分布的峰值分布也是Rayleigh分布。研究资料表明，在30～50OHz的频率范围内，海洋环境噪声的统计特征表明无论是远处航运还是风引起的海洋环境噪声的幅度分布都服从高斯分布。因此，在多数情况下可以认为海洋环境噪声的幅度服从高斯分布。但在近海面处，如水听器置于海面之下几英尺的地方，可以观测到环境噪声分布比高斯型尖，并有个别由破裂的浪花等近源产生的尖刺（破裂声）。在实际应用场合下，测量点一般位于水面下几十米到几百米处，因此，把环境噪声的幅度分布看作为高斯型分布是合理的。虽然在较长的时期内，由于噪声的变化性，它是非平稳的，但在每一个实际测量的短时间内，我们仍可以把它看作为是平稳高斯分布的噪声。因此，从统计特性来看，海洋环境噪声可看作为零均值高斯噪声过程。

相对于海洋环境噪声而言，舰船辐射噪声由于有很多线谱分量，使得它们具有很强的非高斯性。因此，在小波变换下，舰船辐射噪声与海洋环境噪声会表现出不同的特性，所以我们可以根据高斯白噪声在小波变换下的特性，在一定程度上可以消除舰船辐射噪声中的海洋环境噪声，从而使得对舰船辐射噪声的后续处理更容易。

3.2 基于小波变换的水声信号特征提取

利用小波变换提取目标信号的特征是其在应用中的一个重要研究方向。

水声信号处理中，由机械和螺旋桨噪声构成的舰艇辐射噪声是在多数情况下的主要辐射噪声，属于宽频带噪声，既有高频分量也有低频分量，也是线谱分量和连续谱分量的叠加，应用普通的检测方法直接从辐射噪声中提取目标的重要特征量比较困难。这是因为对于不同类型的目标来说，目标辐射噪声信号的产生机制是不一样的，导致它们的声信号结构就存在较大差异，各种声源产生的声信号在频域的分布是不一样的。但是对同一类型的目标来说，在相同情况下，由于产生声信号的源基本一致，所以它们的声信号在频域的分布规律基本一致。如果找到一种对目标辐射噪声能进行频域自然划分的处理方法，然后在划分的各个频段内进行分析并提取作为特征量，问题就相对容易解决。而小波变换就是这种方法之一。

由于不同类型的目标声信号包含的频率成分不一样，所以它们在经过小波变换后，频率成分的不一样就体现在各分解尺度上，然后就可以对各个尺度上的信号成分进行分析，进而提取出目标的特征量。最典型的应用基于小波（包）变换提取水声信号特征的方法是选择各尺度内的能量，具体工作过程如下。

第一步：选择合适的小波函数。一般选择正交小波函数，这是因为正交小波变换是信号的一个完备表示，能够表征信号在各子频带内的信号能量，从而可以完整体现信号的特征。

第二步：选择合适的小波（包）分解尺度。对目标辐射噪声信号进行小波（包）变换，这样就得到了相互独立的子频带。

第三步：能量归一化处理。计算上一步得到的各子频带的能量，由于目标辐射噪声的总能量是分布于整个宽频带，把所有子频带的能量相加就得到信号的总能量，然后用总能量去除各个子频带的能量，就得到各子频带的能量在整个辐射噪声能量中所占的比重。

第四步：将上一步得到的各子频带能量占比按照从低频到高频的顺序就行排列组成数据矩阵，就得到了目标的特征量，以供后续的目标识别使用。

3.3 基于小波变换的舰船辐射噪声包络检测

通常来说，求解信号包络最常用的方法是Hilbert变换。Hilbert变换的过程是将原始实信号转换成解析信号，再求其模即为原始实信号的包络。其本质是利用Hilbert滤波器滤掉原始实信号中所有负频率成分，并保留所有非负频率成分，且相位保持不变。由于Hilbert变换自身固有的特性，求解信号包络时，存在以下缺陷：

（1）求解得到的包络仍包含信号零频成分;

（2）求解的结果是全频带范围内信号的包络，高频噪声对包络的影响依然存在。

根据小波变换的定义可知，小波变换相当于利用一系列的带通滤波器对信号进行多通带滤波，得到信号在多通带内的信息。带通滤波器的中心频率和带宽与尺度成正比，且带宽随中心频率的变化而自动调节。中心频率越低其带宽越窄，中心频率越高其带宽越宽，体现了对信号的自适应分析能力。因此，可以采用小波变换来求解信号包络。

为了利用小波变换求解信号包络，我们采用复解析小波函数

其中虚部函数φ_uu，s（t）是实部函数φ_ru，s（t）的Hilbert变换。

利用复小波φ_u，s（t）对实信号f（t）进行小波变换，得

就得到信号f（t）经带通滤波后的解析信号Wf_e（u，s），其实部Wf_r（u，s）与虚部Wf_i（u，s）具有相同的频率成分，但Wf_i（u，s）比Wf_r（u，s）延迟900，二者具有正交关系。由

即为信号f（t）的包络。

由于小波函数具有衰减性、带通性，其可對信号的主要频段进行滤波，滤除信号分析频段以外的噪声，提高了信噪比。因此复解析小波变换除具有对信号实现正交变换，提取信号的包络外，还起到对信号实现带通滤波的作用。另外，选取合适的尺度s，改变小波滤波器的中心频率和带宽，可以使滤波器的频带覆盖信号频带，能达到较好的信号包络检测效果。

3.4 基于小波变换的宽带相关处理

现代宽带雷达与声纳设备通过求解接收信号与发射信号经延时变频后的系列信号之间的相关系数来估计时间延迟τ与时间变化因子s。对窄带信号来说，这种方法就是求接收信号与发射信号的时延和多普勒移频后信号的相关;而对宽带信号而言，相关系数的求解公式可以表示为收到信号相对发射信号的小波变换。

假设建立的宽带信号模型为，可以通过选取合适的发射信号，利用计算实际回波信号与理论回波信号之间的相关函数，估计信号的时延和多普勒频移，即目标的速度、位置等参数。对于宽带模型，可以根据相关算法

计算宽带接收器的相关输出WC_fg（1/s，τ），这相当于对信号g（t）做以f（t）为小波函数的连续小波变换，当选择f（t）作为发射信号时，信号的相关处理与小波变换相一致。因此小波变换的高精度分辨率、良好的局部化特证、快速算法都可以应用到信号相关处理中。

当尺度为s和时移为τ的小波作为发射信号，经过目标反射后的回波的形式就可以确定下来，但回波的尺度参数和时移参数是未知的，为了计算这两个参数，可借助于计算发射信号与接收信号的宽带相关函数。因为接收信号是发射信号经时延和尺度变化形成，所以两者形式相同，只需预先估计接收信号的尺度参数和时移参数的大致范围，再在这个范围内计算两者的相关函数，利用小波良好的局部特性及连续小波变换的冗余度，仅当估计值与实际值十分接近时，才会出现峰值，从而得到较理想的估计值。因为s反映了目标速度与发射波传播速度之间的关系，τ反应了目标反射波而造成的时延，所以完成了对s和τ的估计，便可实现对目标的定位和速度的检测。利用反射回波的结构特征，通过宽带相关处理可以计算出目标的时延和变频数，再结合主动声束的指向性，及声基阵的结构形式就可推算出目标舰船位置的相关参数，比如，仰角、距离、方位角、航速、航向等。如果在经验数据的帮助下，还可以对目标进行识别等工作。

4 结束语

本文通过介绍小波变换的特点以及舰船辐射噪声的特征，说明可以利用小波变换分析舰船辐射噪声，并对小波变换在水声信号处理中的应用方法进行了总结，对小波变换在水声信号处理中的应用提供了一种思路。

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