基于解析法判别一维光子晶体负折射特性

刘 莺 ，李 岩 （通讯作者）

（1西安石油大学 理学院 陕西 西安 710065）

（2西安石油大学 理学院 陕西 西安 710065）

1 引言

1968 年，前苏联科学家Veselago[1]首次提出了一种被称为左手材料[2]（left-handed materials，LHMs）的新型人工电磁介质材料，即当电磁波在这种介质中传输时，电磁波的电场矢量E、磁场矢量H和波矢量k之间服从左手螺旋定则。相反，当电磁波在传统材料中传输时，电磁波的电场矢量E、磁场矢量H和波矢量k之间服从右手螺旋定则。现在，通常称传统的电介质材料为右手材料[3]（right-handed materials，RHMs）。Veselago研究发现，新型的左手材料存在有一些非常引人注目的现象，例如反常多普勒频移、反常Cherenkov辐射等，特别是这种材料具有负折射率(Negative Refractive Index，NRI)特性，即当电磁波由真空入射到左手介质表面后，由于左手介质的介电常数和磁导率同时为负，导致其折射率为负值，从而使得折射波与入射波位于界面法线的同一侧，这种现象被称为负折射现象。Veselago指出，利用负折射现象可以制备超透镜、超棱镜等新型的光学器件。1996年制作出了这种具有负折射特性的左手材料，从而使得这种新型人工电磁介质的研究掀起了一场热潮。

随着LHMs介质的研究，具有负折射特性的光子晶体也引起了科研工作者的广泛关注。Dowling等人[4]用一维Kroning-Penney模型得到一维光子晶体的色散关系，预测一维光子晶体中也存在负折射效应。黄弼勒等人[5]利用数值法研究了一维光子晶体的负折射特性。陈园园等人[6]利用电磁场的折射从理论上定义了一维光子晶体的负折射特性，并指出该特性对光束位移的控制以及在波分复用系统中将有很直接的应用。在LHMs中，介电常数和磁导率同时为负，因而其有效折射率为负；而在光子晶体中，介电常数和磁导率同时为正（即为RHMs），也会出现负折射这一奇妙的现象。但S.Foteinopoulou等人[7]指出，光子晶体中负折射现象的出现并不能保证其具有负的折射率或者符合左手行为，即在光子晶体中，可能存在符合左手行为的负折射现象（即n＜0且s k＜0），也可能存在不符合左手行为的负折射现象（即n＞0且s k＞0）。因此，在研究光子晶体中的负折射现象时，如何判定这种材料的左、右手行为成为了研究其负折射现象的前提。

本文利用解析法研究了电磁波在一维光子晶体中的传播特性，分析电磁波在光子晶体中传输的群速度和能流密度与波矢量之间的关系，推导出一维光子晶体中符合各向同性的左、右手行为的判定标准，对其折射现象进行定量分析。

2 原理

2.1 一维光子晶体模型

如图1所示，一维光子晶体由A和B两种不同介电常数材料周期排列构成。d1和d2分别为A、B介质层的厚度，空间周期（即晶格常数）a=d1+d2，ε1，μ1和ε2，μ2分别为A、B两种材料的介电常数和磁导率。频率为ω的平面波从左往右以θ0角斜入射到光子晶体表面。

图1 一维光子晶体结构

2.2 群速度（vg），能流密度（S）与波矢量（k）之间的关系

式中，D为电位移矢量，B磁感应强度矢量，E电场强度矢量，H磁场强度矢量。

当平面波，即：

在上述对于线性、各向同性的介质中传输时，

式中，μ和ε分别为磁导率和介电常数。

则介质中电磁场所满足的Maxwell方程组在k空间的表示式为：

将（2-2-4）式代入能流S的定义式可得：

由上式可知，若介质的电磁性质满足ε＜0且μ＜0，则k与S是反向的，即有k•S＝－1，此时介质中的电磁场量E、H和k满足左手螺旋关系，因而，这是满足这种关系的材料被称为左手材料。反之，若介质中的电磁场量E、H和k满足左手螺旋关系，则会使得介质的电磁性质满足且 ，这必然导致k与S的反向，即有k•S＝－1。同样，若介质的电磁性质满足ε＞0且μ＞0，则k与S是同向的，即有k•S＝1，此时，介质中的电磁场量E、H和k满足右手螺旋关系，反之亦然

而由文献[8]可知，在各向同性的均匀介质中，窄频电磁波的群速度方向与能流的方向一致。因此，利用关系式即可以判断材料的左、右手性质。

2.3 一维光子晶体中色散关系和群速度的计算

根据薄膜光学理论，光在每层介质中的传播特性可

由一个2×2的特征矩阵完全表示[9]。对于TE波，单层介质的特征矩阵为：?

n0为真空折射率，θ0为光波的入射角，β和κ分别是波矢k的x分量和z分量，a是介质层厚度，c是光速。

对于由n1和n2两层介质组成的一个基本周期单元（如图1所示），其转移特征矩阵为式（2-3-2）

其中，A，B，C，D为M的矩阵元。光波在介质层A和介质层B中传播时，波矢k的z分量是折射角介质层的折射率是

由Bloch定理，在周期性界面处场矢量满足（k为Bloch波矢）：

由周期系统中的布洛赫定理，可得到一维光子晶体中的色散关系：

利用类似的步骤，可得TM波满足的转移特征矩阵：

并得到类似于式（2-3-6）的色散关系，其中

由此可知，利用（2-3-6）式，能够得到任意光束以θ0角度斜入射到光子晶体中的色散关系，即能带结构。

在不考虑损耗的情况下，可以定义波矢量只有x和z方向的分量，即K=βx+Kz，因此，一维光子晶体中的群速度可以表示为[10]：

将（2-3-9）式分别带入（2-3-9a）、（2-3-9b）中得（2-3-10a）、（2-3-10b）如下所示：

3 计算和讨论

假定各向同性介质的折射率是n，则波失k与角频率ω具有关系k2=n2ω2/c2。对于给定一个频率ω，在简约布里渊区，介质中传播的平面波的波失k的集合是一个在k空间中的圆。能流垂直于等频率面或等频率曲线，且指向频率增加的方向。因此，借助等频率线图，我们可以直接判断的符号，并与本文的理论计算值相互比较。

3.1 一维光子晶体中右手行为的判定

首先选取的一维光子晶体是由Al和B两种材料构成的。其中，Al和B的在软x射线波段的平均折射率分别为0.9814、0.9065，真空折射率为1.0，介质层厚度比a为晶格常数，归一化频率当光波正入射时的能带结构如图2所示。

图2 一维光子晶体能带图

由图2可以看出，该一维光子晶体在归一化频率为[0.518，0.542]的区间内存在一个很小的带隙。并利用解析法计算该一维光子晶体的等频率圆如图3所示。由图3可知，在归一化频率区间[0.05，0.3]内，该一维光子晶体TE模的二维等频率圆随频率的增加而扩张，且为圆形，说明在该频率范围内，介质表现出各向同性的右手材料的电磁性质。同时，图4为在不同频率下，单位群速度与单位波矢的点积与入射角的关系，图中的曲线为拟合曲线，图例给出了拟合曲线的无单位频率。由图4可知，在此频率范围内该一维光子晶体的单位群速度与单位波矢的点积计算结果在数值上严格等于1。由此可知，本文理论计算结果与一维光子晶体中各向同性的右手行为的判别标准非常吻合。

图3 TE模二维等频率圆

图4 单位群速度与单位波矢的点积（）

3.2 一维光子晶体中左手行为的判定

我们利用文献[11]的参数进行计算，并与文献[11]中的负折射结果进行了对比。取介质层A为氧化铝，介电常数为8.9，厚度为0.5cm；介质层B为真空，真空折射率为1.0，厚度为0.5cm，晶格常数1.0cm，频率单位采用GHz。光波正入射时的能带如图5所示，该计算结果与文献[11]的图2（b）完全相同。由图5可以看出，该一维光子晶体在[5.55GHz，8.9GHz]的频率区间内存在一个带隙。

图5 一维光子晶体能带图

并利用解析法计算该一维光子晶体的等频率圆如图6所示。由图6可知，该一维光子晶体在第二能带的边缘存在着一个TM 模的负折射区。且在频率区间[9.5GHz，12.0GHz]内，该一维光子晶体TM模的二维等频率圆随频率的增加而收缩，近似于一个椭圆，这与文献[11]的图2（c）结果完全一致，说明其在该频率范围内是近似于各向同性的左手负折射区。同时，图7为在不同频率下，单位群速度与单位波矢的点积与入射角的关系，图中的曲线为拟合曲线，图例给出了拟合曲线的频率（GHz）。由图7可知，在此频率范围内该一维光子晶体的单位群速度与单位波矢的点积计算结果在数值-1附近小幅波动，波动范围为（0.000～0.218）。

由此可知，本文的理论计算结果与一维光子晶体中各向同性的左手行为的判别标准基本吻合。

图6 TM模二维等频率圆

图7 单位群速度与单位波矢的点积（）

4 结语

利用理论解析法研究了一维光子晶体中群速度、能流密度与波矢量之间的关系，从而推导出了一维光子晶体中各向同性的右手行为和左手行为的判别标准。由此本文得出，在一维光子晶体中，当光波的单位群速度与单位波矢的点积为1时，表现为各向同性的右手行为；当光波的单位群速度与单位波矢的点积为-1时，表现为各向同性的左手行为。对于一维光子晶体负折射特性判别标准的研究，为其在透镜和棱镜制备等方面打下坚实的基础，也为其进一步的实际应用提供了良好的理论指导。

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