采用波动法研究有限板振动功率流

漆琼芳，张 苗，蒋士亮

（武汉第二船舶设计研究所，武汉 430064）

目前波动法广泛用于分析半无限尺寸结构的振动波传递特性，对有限尺寸结构，波动法研究对象一般为L型板等两板耦合结构，而对成任意角度连接的有限尺寸板以及十字型有限板的研究较为不足。船体结构的基座与船底板等连接结构含有十字型结构，研究振动波在耦合处的传递特性，可为船舶减振降噪声学设计提供指导。

Cuschieri J M等采用导纳功率流法研究厚、薄L型耦合有限板的功率流，弯曲波数与板厚的乘积小于0.1时，面内振动在低频时对振动能量贡献很小[1–2]。Kessissoglou等采用波动法研究有限尺寸L型板的面内波功率流和弯曲波功率流，结果表明，当板成不同角度连接时，会产生面内波与弯曲波的波型转化[3–4]。赵芝梅等建立L型板的波动法耦合运动模型，研究力和力矩的共同作用对弯曲波和面内波的影响，将划分的子结构进行模态展开，在连接线处，将点激励展开成正弦分布的线力[5–6]。薛开等对四边简支板矩形厚板进行功率流研究，根据功率流分布图研究振动能量传递特性[7]。刘敬喜等采用波动法研究圆柱壳的功率流，根据面内波功率流和弯曲波功率流所占比例，研究弯曲振动和面内振动[8]。刘春川等采用波动法研究L型板和箱型结构的振动功率流，根据主动功率流和被动功率流进行主动控制[9–12]。

本文将十字型板离散成子结构，离散每个子结构的弯曲波与面内波波幅系数，组装每个子结构的位移和力向量，采用波动法推导十字型耦合薄板的振动响应公式，得到连接处的平衡方程，并进行MATLAB编程计算十字型板的弯曲波功率流和面内波功率流。对比波动法与有限元法结果，验证波动MATLAB程序的收敛性与有效性。分析连接角、激励角等对弯曲波和面内功率流的影响。

1 波动法模型

如图1，建立波动法力学模型，在点力处与板连接处将十字型板离散成5个离散板，每个离散板ij建立一个坐标系xij、yij、zij，全局坐标系为XYZ，每个离散坐标系均包含力项和位移项。

图1 十字型板的波动法力学模型

对边简支矩形板，Poisson-Kirchhoff板的弯曲振动控制微分方程

面内振动

式中w是横向位移，u是轴向位移，v是y向位移，φx是绕y轴转角。E是弹性模量，h为板厚，μ是泊松比，F(x,y,t)是外部点力激励，D=Eh3/[12(1-μ2)]是弯曲刚度，分离薄板的面内振动和面外振动，方程左右两边省略eiωt。

离散板01的面内振动

离散板12面内振动

离散板01、12的弯曲运动解依次为

离散板23、34、35的力与位移表达式与离散板12类似，不再赘述。其中，n是模态数，ky=mπ/Ly是y方向波数。kL是纵向波数，kS是剪切波数，kp是弯曲波数，是行进波数。衰减波数。是平面波动解的特征值。Ai(i=1,2,3…4m)是弯曲波波幅系数，Bi(i=1,2,3…4m)是面内波波幅系数，m是离散板数。

力和力矩与位移表达式

其中Mxx是弯矩，Mxy是扭矩，Nxx面内纵向力，Nxy是剪切力，Vx法向纯剪力，耦合力和耦合力矩的方向见图1。

若板01左端固定

若板01右端有外界点激励作用

外界点力激励等效成线激励级数叠加

其中F0是激励力幅值，x0是激励点横向局部坐标，

若板01与板12线连续性

连接线2、3、4、5与连接线0的形式一致，不再赘述。与边界对于十字型板结构，组装每个离散板的平衡方程，统一写成

其中α是十字型板的整体平衡方程组成的矩阵，X是离散板的弯曲波和面内波的波幅系数矩阵的一般形式，F线连接处的外载荷矩阵。振动功率流表示单位时间流过垂直于波传播方向的单位面积的振动能量，波动法采用功率流来度量振动传递能量，波动法的弯曲波功率流和面内波功率流分别为

其中∗表示共轭复数，Pin是输入功率流，Pb是弯曲波功率流，Pm是面内波功率流。

2 有效性验证

2.1 波动法解析解的收敛性验证

根据波动法推导的十字型板耦合方程，采用MATLAB编程，计算模型响应，输入参数包括离散板长、板宽及材料属性等。本模型的泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7850kg/m3。弹性模量E=2.06×1011Pa ，复弹性模量Ep=E(1+jη)，损耗因子η=0.01。载荷F=F0eiωt，载荷幅值F0=1 N。对于十字型板结构，取5个离散板，板长均取0.4 m，板宽均为0.6 m，板厚h=12 mm ，连接线0、3、4、5自由，离散板边界y=0和y=Ly均简支，激励点和观测点在离散板2处的坐标均为（0，0.3）。

采用模态叠加原理，合理选择模态叠加数可以使结果收敛，其模态收敛性需验证。根据文献对于Poisson-Kirchhoff理论的频率适用范围的要求，为保证计算精度，计算频率上限要求，按照经验公式计算本算例的频率上限为30 kHz，算例的频率上限取2 500 Hz，小于经验公式计算值，满足薄板理论假设，因此本算例频率上限取值合理。按经验公式，不同频率上限，弯曲波模态叠加数Np、纵波模态叠加数NL、剪切波模态叠加数NS，应满足表1要求。

表1 不同频率下的模态数

当模态叠加数分别取 1、3、5、7时，给出 0～2 500 Hz计算频域内观测点处的剪力频响曲线。由图2可知，在500 Hz时，模态叠加数N=3时的频响曲线与N=5时趋近，与N=1时有差别，说明对于波动法，N=3时，频响曲线已收敛，小于经验公式计算的3.87。

在1 000 Hz时，模态叠加数N=5与N=7时的频响曲线吻合较好，N=3时，频响曲线已经收敛，小于经验公式计算的7.74。同理，为保证频响曲线收敛，在1 500 Hz和2 000 Hz时的模态叠加数均小于经验公式。说明经验公式给出的最小模态叠加数是偏于保守的，当波动法取经验公式计算的模态叠加数时，已经收敛。

2.2 波动法解析解的有效性验证

图2 不同模态叠加数时的频响曲线

将图1的十字型板划分为5个离散板，板长均为0.6m，板宽均为0.4m，板厚h=8 mm，其它参数与2.1节一致。假定板的x边均简支，y边界处均自由。观测点位于离散板12的（0，0.2）处，激励点位于离散板01的（0.6，0.2）处，基于波动法的十字型板耦合连接方程，MATLAB编程计算十字型板振动响应的半解析解。

采用Abaqus计算结构响应的有限元数值解，为保证结构动力响应的准确性要求，有限单元长度必须小于弯曲波长的1/6。对于本算例模型，根据文献经验公式求出的有限元网格尺寸必须小于0.03，因此模型的有限元网格尺寸为0.02 m×0.02 m可满足要求。当计算频率为1 000 Hz，文献公式要求的截止模态大于7.74，波动法MATLAB程序的模态叠加数目取20满足要求。波动法半解析法和有限元数值解法的计算频率上限均取1 600 Hz。如图3所示，给出观测点绕y轴转角的频响曲线，可知在0～600 Hz计算频率范围内，两种方法的频响曲线吻合较好，随着计算频率的增加，频响曲线的峰值和相位出现差别，该差异与有限元法的网格密度和波动法的模态叠加数的选择有关。在频响曲线低频范围内曲线吻合较好，说明耦合连接处的力和位移的平衡方程是准确的，验证了波动法MATLAB程序的有效性，说明十字型板耦合方程的波动解是有效的。

图3 十字型板的激励点处绕y轴转角

3 振动功率流研究

3.1 激励角振动功率流影响分析

如图1波动法模型，取3离散板，如L型板，认为离散板01、12为激励板，离散板23为接受板。板长L1=L2=0.4 m，L3=0.8 m，板宽Ly=0.6 m，板周界均简支，板材料属性等参数与2.1节一致。力激励在离散板01上，坐标为（0.2，0.3）。力激励与离散板01的局部坐标在x轴方向的夹角定义为激励角度α，分别取150/450/900，激励板的观测截面位于离散板12的x=0处，接受板的观测截面位于离散板23的x=0.4 m处，采用MATLAB编程计算观测截面弯曲波功率流和面内波功率流，模态叠加数取20，满足收敛性要求。

在0～800 Hz范围内，激励角变化时，计算激励板和接受板的弯曲波和面内波功率流。如图4(a)(b)，激励板的弯曲波功率流处于10-7数量级，面内波功率流处于10-12数量级，弯曲波功率流比面内波功率流大得多，可以忽略面内波功率流。图4(b)与图4(d)对比，除功率流峰值附近频率范围，激励板的面内波功率流均随激励角度的减小而增大，接收板的面内波功率流均随激励角度的减小而减小。

图4(a)与图4(c)对比，两板的弯曲波功率流均随激励角度的减小而减小。对比图4(c)与图4(d)，接受板的弯曲振动和面内振动均随激励角的减小而减小。

在8 kHz～9 kHz高频范围内，图5显示了波动法MATLAB程序计算的两板的弯曲波功率流和面内波功率流。对比图5(a)与图5(b)，弯曲波功率流在10-6数量级，面内波功率流在10-7数量级，面内振动相对于弯曲振动不可忽略。对比5(a)与图5(c)，激励板和接受板的弯曲波功率流均随激励角的增加而增大。对比图5(b)与图5(d)，两板的面内波功率流与激励角没有呈现明显规律。

对比可知，在低频范围内，激励板面内波功率流峰值随激励角度的减小而增大，接受板面内波功率流峰值随激励角度的减小而减小。在全频范围内，两板的弯曲振动均随激励角度的减小而减小。弯曲波与面内波在不同频率阶段呈现如下变化趋势：

（1）在频率较低阶段，弯曲波明显大于面内波，可以忽略面内振动；

（2）在频率较高阶段，弯曲波和面内波数量级相当，不可忽略面内振动；

（3）在低频和高频阶段，激励板的弯曲振动均随激励角的减小而减小。

该现象是激励板能量主要源于力激励的导致直接振动和L型板在连接线处的波形转化引起的。

（1）从激励方面分析：随激励角的减小，力在板内的分量增大，垂直于板的分量减小，激励板由力激励引起的弯曲振动增大而面内振动减少。

（2）从波形转换方面分析：随激励角的减小，激励板弯曲振动减小，弯曲波在L型接头处转化为面内波减弱，因此接受板的面内波随激励角度的减小而减小。

图4 不同激励角时的低频段功率流

（3）在频率较高阶段，弯曲波和面内波与激励角没有明显规律，是力激励和波形转换综合相反作用导致。

（4）在频率较低阶段，板纵向刚度远大于弯曲刚度，板的弯曲振动较大，随频率的增加，弯曲刚度和纵向刚度数量级接近，所以力激励水平分量直接引起的面内振动随频率的减小而减小。

3.2 不同板连接角时的波型转换关系

对于L型板，尺寸与3.1一致。在力激励作用下，在不同板连接角时，分别计算接受板的弯曲波功率流和面内波功率流。计算频率范围取0～500 Hz，如图6所示。

图6 低频时弯曲波和面内波功率流

当板12与23的连接角处于90°～180°，弯曲波功率流在10-2数量级，面内波功率流在10-4数量级，面内波功率流比弯曲波功率流少，面内波可以忽略。连接角在90°～170°之间时，面内波功率流随着连接角的增大而增大，而弯曲波功率流有缓慢减小的趋势；板连接角为180°时为平板结构，面内波功率流最小，弯曲波功率流最大，平板结构不存在激励板的弯曲波在L型接头处转为为接受板的面内波，因此接受板的面内振动很小，振动能量主要来自弯曲振动。总功率流是弯曲波功率流与面内波功率流之和，当面内波功率数量级远小于弯曲波时，总功率流的数量级与弯曲波一致。

当计算频率范围取7 500 Hz～8 000 Hz，如图7所示，板连接角在90°～120°范围内，接收板的面内波功率流和弯曲波功率流均随连接角的减小而缓慢增大，接受板的面内波功率流比弯曲功率流大，因连接角90°～120°时，激励板的弯曲振动转化成接受板的面内振动，在板连接处阻抗失配，振动能量损耗较大。板连接角为90°时，接收板的面内波功率流最大，处于10-3的数量级，此时接受板的面内振动主要来自激励板的弯曲振动的转化；板连接角在120°～170°范围内，弯曲波功率流逐渐增大，结构趋近于平板结构，振动能量主要是弯曲振动。

图6与图7对比可知，高频阶段的面内波功率流大于低频阶段。

图7 高频时弯曲波和面内波功率流

低频阶段，面内波功率流相对于弯曲波功率流可以忽略不计。板连接角90°时，接受板的面内波最大，振动能量主要来自于激励板的弯曲波在L型接头处的转化。板为180°时，面内振动最小，导致弯曲振动的能量直接来自于激励力。

4 结语

对于有限尺寸板，通过弯曲波和面内波波幅系数矩阵的组合与离散，可以得到有限板在连接处的耦合运动方程的一般形式，该一般形式为耦合方程的解耦和MATLAB编程提供便捷，将波动法的应用扩展到考虑边界条件的十字型等多板耦合结构，功率流分析表明：

（1）板受到多点力激励，将点力激励通过傅里叶级数展开转化为线性激励，将多个线激励进行线性叠加，将叠加后的结果作为结构的外界激励，MATLAB编程计算板受多点激励力时的结构响应，线性激励力叠加的有效性通过有限元数值解得到验证。说明经验公式给出得最小模态叠加数是偏于保守的，当波动法取经验值时，已经收敛。

（2）频率较低阶段，弯曲波功率流明显大于面内波功率流，面内波功率流可以忽略；在全频域范围内，激励板的弯曲振动功率流均随激励角度的增大而增大，而接受板面内波功率流是激励板波形转化和直接力激励综合作用的结果，随激励角无明显规律。

（3）频率较高时的面内波功率流大于频率较低阶段。在频率较低阶段，面内波功率流相对于弯曲波功率流可以忽略。板连接角90°时，接受板的面内波最大，面内振动能量主要来自激励板弯曲波在L型接头处的转化。板连接角180°时，面内振动最小，振动能量主要来自激励力。在结构声学设计时，板连接角尽量处于90°左右，此时接受板的振动功率流较小，弹性波在此结构型式下衰减较大。

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