拱桥吊杆等刚度设计及其动态响应分析

邵 元， 孙宗光， 陈一飞

(1.大连海事大学 道路与桥梁研究所，辽宁 大连 116026;2.贵阳学院 城乡规化与建筑工程学院，贵阳 550001)

拱型结构作为一种传统的桥型，由于其良好的桥梁跨径、较大的通航能力和简洁明快的曲线，一直得到广泛的应用。近年来随着对拱桥结构的研究和实际工程案例的分析，如宜宾南门大桥、新疆库尔勒孔雀河大桥、武夷山公馆大桥等，可以发现在中、下承式拱桥结构中普遍存在短吊杆薄弱较易疲劳断裂导致桥面系坍塌的情况。引起吊杆疲劳甚至失效破坏的原因是复杂的，吊杆普遍存在护套开裂、进水、锚固端腐蚀等问题[1]，车辆荷载通过桥梁时产生的汽车冲击荷载易导致吊杆护套断裂，加剧了吊杆的应力疲劳腐蚀程度。而短吊杆处较易疲劳破坏是因为与长吊杆相比，短吊杆处刚度较大、固有频率较高，其下锚固端处于反复弯剪状态，受到的汽车冲击荷载更大，更容易开裂破坏[2-3]。由于不同长度吊杆受到冲击作用的较大差异，造成了吊杆使用寿命的不同，而短吊杆作为其中的短板，直接决定了全桥的使用寿命[4-5]。为了提高桥梁使用年限，目前普遍采用的方法是定期更换吊杆[6]，而由于各个吊杆间的寿命差异，更换的频率也不一致，存在更换频繁、费用较大、封闭交通等不便。

本文以某三跨钢管混凝土拱桥为例，对主跨吊杆处进行等刚度设计，通过车桥耦合计算，分析等刚度设计前后模型中吊杆的应力响应情况。研究刚度差异对吊杆使用情况的影响，验证拱桥吊杆等刚度设计对短吊杆受力状况的改善，分析了等刚度设计的理论可行性，为实际工程应用提供依据。

1 拱圈各点竖向刚度计算

拱桥沿桥面各点竖向刚度值由拱圈抗弯刚度和吊杆的抗拉刚度共同组成。拱圈作为主要的承重构件，承受了由吊杆结构传递的各项荷载作用，拱圈各个位置的抗弯刚度也是不相同的，将拱圈结构简化为无铰拱来分析拱圈上各点的抗弯刚度[7]，如图1所示。

图1 无铰拱刚度计算图Fig.1 Calculating chart of stiffness for the hingeless arch

由力法典型方程：

(1)

解得：

(2)

式中：δ11、δ22、δ33为无铰拱的常变位；f为拱的计算矢高；L为拱的计算跨径；ys为拱的弹性中心至拱顶距离；Δh为相对水平位移；Δv为相对垂直位移。

由静力平衡条件计算拱圈刚度得：

(3)

考虑弹性压缩时，拱圈上某点处：

(4)

(5)

(6)

则该点抗弯刚度计算公式为：

(7)

当拱圈形式为等截面悬链线无铰拱时，μ值可由文献[8]表(Ⅲ)-11查得。计算可知越靠近两端支撑位置抗弯刚度越大。

吊杆抗拉刚度值按公式8计算，短吊杆的抗拉刚度最大。按公式9计算桥面各吊杆处组合刚度值，组合后短吊杆处竖向刚度明显大于其他吊杆处，竖向刚度值从短吊杆处向跨中吊杆处逐渐减小。

(8)

(9)

2 有限元模型建立及计算

为了研究刚度上的明显差异对各吊杆冲击效应的影响，以某拱桥模型为例，对主跨桥面各吊杆处进行等刚度设计，计算分析等刚度设计对拱桥吊杆动态响应的影响。

2.1 桥梁模型及等刚度设计

使用ANSYS有限元软件进行模拟计算，桥梁模型选用G203国道某钢管混凝土拱桥，按照施工图所给出参数建立三维有限元模型(图2)。桥梁全长230.2 m，为三跨中承式拱桥，跨径组成为70 m+90.2 m+70 m，桥面设置双向四车道。采用梁单元模拟拱肋及横梁；壳单元模拟桥面系；杆单元模拟拱桥吊杆。钢管与混凝土之间的协同作用采用换算截面法模拟，由于采用换算截面弹性模量来计算以及结构本身的复杂性和较大模糊性，建模之后根据实桥现场试验检测结果，分析了主要建模因素对结构静动态响应的敏感性，对有限元模型进行了校正和修改[9]，以保证模型精度。

图2 拱桥有限元模型图Fig.2 Finite element model of arch bridge

采用更改吊杆单元弹性模量的方法来对吊杆处进行等刚度设计，以跨中处吊杆单元正常设计的刚度为基准，调整其它各个吊杆弹性模量，调整情况见表1。可见，调整幅度从短吊杆向跨中逐渐减小，短吊杆处调整幅度最大，调整为原来的29.88%。提取调整前后吊杆处竖向刚度值进行比较，如图3所示，可见等刚度模型各吊杆处竖向刚度值较为接近。这种方法在有限元模拟时计算简便，易于实现。在实际工程中，可以采用吊杆端部加装柔性构件如弹簧或弹性垫圈的方法来平衡吊杆刚度。

表1 弹性模量调整情况表

图3 吊杆单元竖向刚度值Fig.3 The vertical stiffness of suspenders

2.2 车辆模型

为了综合考虑车型、车重、轴数对吊杆冲击作用的影响，由于我国尚无统一的车辆模型标准，本文选用了两种车辆模型来进行比较[10-11]，车辆模型几何示意图为图4，参数见表2。

图4 车辆模型Fig.4 Vehicle model

2.3 桥面不平度的选取

车桥耦合振动的主要激励源为路面的不平度情况，路面不平度的表示方法各个国家有不同的规范规定，我国GB7031-86《车辆振动输入路面平整度表示方法》[12]所给出的不平度位移功率谱密度函数为：

(10)

式中：n为空间频率，单位为m-1；n0为参考空间频率，为0.1 m-1；Gd(n0)为参考空间频率下的路面谱值，由规范给定；ω为频率指数，取值2。

表2 车辆模型参数表

通过对位移功率谱密度函数进行傅里叶逆变换即可得到路面不平度情况。图5所示为A～C级不平度的一个样本。

2.4 车桥耦合迭代计算方法

为了考虑车辆与桥梁间的相互作用，采用车桥耦合迭代的方法进行计算。将车辆和桥梁看成两个独立的子系统，分别建立模型及运动方程[13]。车辆子系统的运动方程为：

(11)

式中：Mv、Cv和Kv分别表示车辆的质量、阻尼和刚度矩阵；uv为车辆自由度向量；Pv表示振动过程中车辆上各自由度的荷载列向量。

图5 桥面不平度曲线Fig.5 The curve of bridge surface roughness

桥梁子系统的运动方程为：

(12)

式中：Mb、Cb和Kb分别表示桥梁的质量、阻尼和刚度矩阵；ub为桥梁自由度向量；Pb表示桥梁所受的整体外力向量。

图6 车桥耦合迭代计算流程图Fig.6 The iterative process of vehicle-bridge coupling dynamics

通过迭代计算来满足二者间的协调条件与平衡关系。首先，将桥面不平度值作为竖向位移激励源按照行驶速度确定的时间步长依次施加给车轮，计算得到车轮处受力大小，得到车辆轮压荷载值；再将车辆轮压荷载按对应时间步长依次加载到桥面行车道各个点上，并计算桥面中线处各点挠度；各接触点挠度值与该点不平度值累加作为下一次计算的竖向位移激励重复之前计算，当前后两次计算得到的桥面挠度值之差满足精度要求则停止迭代完成计算，图6给出了迭代计算的流程。

(13)

式中：Zi为第i次迭代计算时桥面挠度值；N为桥面上接触点数；ε为控制参数，取0.001 m。

3 响应分析及比较

3.1 静态响应比较

在车桥耦合计算之前，对初始模型和等刚度模型进行自重作用下的静力计算，得到各个吊杆空载时的应力值比较，如图7所示，可见短吊杆处应力值明显降低，由原来的应力最大处变为了应力最小处，其余各个吊杆的应力值变化不明显。说明在静力作用下，短吊杆的受力情况得到了显著的改善。

图7 空载时吊杆竖向应力值Fig.7 The vertical stiffness of suspenders without load

3.2 跨中挠度比较

分别计算桥梁模型在60种组合工况下的动力响应，具体工况情况见表3。

表3 计算工况

图8 跨中挠度响应曲线Fig.8 The response curse of mid-span deflection

图8为C级不平度等级下，两种车辆模型分别以20 km/h车速通过全桥时车辆荷载引起的桥面跨中挠度曲线。可见，调整前后由车辆荷载引起的跨中挠度值基本一致。车辆模型较重时，引起的跨中挠度值也相应增大。

3.3 吊杆竖向应力比较

分别提取车速为20 km/h，不平度等级为C级时初始模型和等刚度模型中吊杆竖向应力情况，如图9(#1～#3)所示。可见，车重较大时，竖向应力增量相应增大，而等刚度模型对吊杆竖向应力的改善情况也更明显。在两种车辆模型作用下，竖向应力的最大值分别从25.756 MPa、29.467 MPa降低到16.813 MPa、18.203 MPa。说明等刚度模型能够较好的适用在各种车辆荷载作用下，且对较大荷载车辆下的响应作用更加明显。短吊杆的竖向应力最大值一般在20 MPa以内，且其他吊杆受力情况均较接近，使不同位置吊杆的受力情况相似，有利于吊杆使用寿命的统一，较好的解决短吊杆处较为薄弱易于疲劳破坏的问题。

图9 吊杆单元竖向应力响应曲线Fig.9 The response curse of vertical stiffness of suspenders

3.4 冲击系数比较

动力冲击系数是桥梁动力分析中用以表征车辆动荷载的冲击效应系数[14]。吊杆的冲击系数指车辆荷载对吊杆应力的冲击作用，定义为：

(14)

式中：δd为车辆荷载引起的吊杆应力最大动响应；δs为车辆荷载引起的吊杆应力最大静响应。取用C级不平度等级情况，分别计算初始模型及等刚度模型主跨吊杆冲击系数，为降低车重、轴数、车速对冲击系数的影响，取2种车辆模型在5种车速情况下的平均值，见表4、表5。

对模型调整前后各个吊杆的平均冲击系数进行比较，如图10所示。可见调整后吊杆冲击系数明显减小，短吊杆处减小最为显著，说明车辆荷载对吊杆的冲击作用降低。短吊杆与跨中长吊杆间的冲击系数差异由0.13降低到0.065，下降幅度达到50%，吊杆间受冲击作用的差异减小，冲击系数接近，可以使不同位置吊杆具有较为相似的使用情况进而使各个吊杆的寿命趋于一致，达到避免短吊杆率先疲劳破坏的目的，也为更换吊杆提供了方便。

表4 初始模型吊杆冲击系数值

表5 等刚度模型吊杆冲击系数值

图10 吊杆冲击系数值Fig.10 The suspender impact coefficient

图11 吊杆冲击系数值Fig.11 The suspender impact coefficient

3.5 不平度的影响

分别计算不同不平度情况下，初始模型和等刚度模型中吊杆的应力响应。由图11可见，随着不平度等级的增大，吊杆冲击系数值增大。不平度情况对冲击系数的影响不因吊杆处刚度的改变而改变，整体的放大效果在等刚度设计前后保持一致。

4 结 论

通过对桥梁模型各个吊杆处的等刚度设计，计算刚度差异对吊杆响应的影响。经过计算比较可知：不同吊杆处刚度的巨大差异是吊杆使用寿命不同的主要原因，短吊杆处刚度最大，受到的冲击作用最大也最易疲劳破坏；等刚度设计能够明显改善短吊杆受力状况，有效降低短吊杆受到的冲击作用；等刚度设计模型中各吊杆间的竖向应力值较为接近，短吊杆与长吊杆的冲击系数差值降低，降幅达到50%；车重越大时，短吊杆与其它吊杆间受力差异越明显，等刚度设计模型对短吊杆受力的改善效果越明显；桥面不平度等级对等刚度模型响应的影响与初始模型一致，吊杆冲击系数均随不平度等级增长而增大。说明通过等刚度设计使各吊杆处刚度值统一，能够让各吊杆处于较为接近的受力状态，使用寿命也易趋于一致，从而在保证桥梁安全的前提下降低吊杆更换频率，达到更加方便、经济的目的。这种方法在理论上是可行的，也为实际工程应用提供依据。

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