集值向量优化问题的Henig有效解的最优条件

，

(1. 华东交通大学 理工学院， 江西 南昌 330100； 2. 南昌大学 数学系， 江西 南昌 330031)

集值优化理论在不动点、变分学、微分包含、最优控制、工程技术、交通平衡等领域具有广泛的应用，学者们从不同的角度进行深入研究，取得了一系列丰硕的成果。在最优性条件中，凸性具有十分重要的作用，凸性概念在不断被推广。Yang等[1-2]分别引进广义锥-次类凸和近似锥-次类凸集值映射，并研究其关系。Sach[3]引进一种新的凸性——内部锥-类凸性，并建立了新的择一性定理，得到有效解、弱有效解和Benson真有效解意义下的 Kuhn-Tucker型和Lagrange型最优性条件。在近似锥-次类凸假设下，文献[4-6]中给出了超有效解Lagrange型最优性条件及强有效解的Kuhn-Tucker型最优性条件。文献[7-9]中提出了严有效点的概念，它有非常好的性质，即每个严有效点都能用严格正泛函来标量化，同时保持了超有效点的主要特征，而且存在条件比超有效点弱得多。Cheng等[10]在局部凸拓扑线性空间中，引入强有效解的概念，推广了超有效性和严有效性，并且具有良好的性质，即强有效解能用基泛函来标量化。Zheng[11-12]将Henig有效点和全局有效点的概念由赋范空间推广到局部凸空间。超有效性、 严有效性和强有效解的存在条件是很强的， 在很多情况下很难实现。 Henig有效性保持了超有效性、 严有效性和强有效解的主要特征， 而存在条件弱很多， 仅要求序锥具有基底，目前研究较少， 因此， 对集值优化问题Henig有效性的研究具有重要的理论价值。 Jahn等[13]在拓扑向量空间中提出相依上图导数的概念， 研究了集值优化问题相依上图导数的性质。Qiu[14]在相依上图导数的基础上给出广义锥-凸集值映射，讨论了有效解的最优性条件。本文中借助相依上图导数和广义锥-凸集值映射的概念，在实拓扑向量空间中研究集值向量优化问题Henig有效解和向量变分不等式Henig有效解之间的关系。

1 预备知识

设D是Y的非空子集，D的闭包记为cl(D)，且D的锥包定义为

cone(D)={ty∶t≥0,y∈D}。

r=inf{f(b)∶b∈BY}>f(0Y)=0。

对每个零元凸邻域U⊂VBY，均有BY+U为凸集且0Y∉cl(BY+U)，因此，CU(BY)∶=cone(BY+U)为点凸锥，且CY{0Y}⊂intCU(BY)。记

∑={CU(BY)⊂Y∶CU(BY)为点凸锥且

CY{0Y}⊂intCU(BY)}。

定义1[15]设D⊂Y为非空子集，称点y0∈D为集合D的Henig有效点，如果存在点凸锥CU(BY)∈∑，使得

cone(D-y0)∩[-intCU(BY)]=/○。

注1 由文献[16]可知，设D⊂Y为非空子集，点y0∈D为集合D的Henig有效点当且仅当存在点凸锥CU(BY)∈∑，使得

(D-y0)∩[-intCU(BY)]=/○。

设A⊂X为非空子集，G∶X→2Y为给定集值映射，即对每个x∈X，有G(x)⊂Y。

集合graph(G)={(x,y)∈A×Y∶y∈G(x)}称为映射G的图。

集合epi(G)={(x,y)∈A×Y∶y∈G(x)+CY}称为映射G的上图。

设(x0,y0)∈graph(G)，由文献[17]可知，上图epi(G)在(x0,y0)处的相依锥记为T[epi(G),(x0,y0)]，包含了在该点的所有切线向量。

定义2[13]设(x0,y0)∈graph(G)给定，向量值映射DG(x0,y0)∶X→Y的上图等于集值映射G的上图在(x0,y0)处的切锥，即

epi[DG(x0,y0)]=T[epi(G),(x0,y0)]，

称DG(x0,y0)为G在(x0,y0)处的相依上图导数。

注2[13]设(x0,y0)∈graph(G)给定，且相依上图导数DG(x0,y0)存在，则DG(x0,y0)为正齐次的。

μG(x)+(1-μ)G(y)⊂G[x0+ψ(μ)ζ(x,y)]+CY。

现在考虑集值向量优化问题(SVOP)：

其中A⊂X为非空子集，G∶X→2Y为给定集值映射。

定义4 1)称(x0,y0)∈graph(G)为SVOP的Henig有效解，如果存在点凸锥CU(BY)∈∑，使得

[G(A)-y0]∩[-intCU(BY)]=/○。

2)称(x0,y0)∈graph(G)为SVOP的局部Henig有效解， 如果存在点x0的邻域V(x0)以及点凸锥CU(BY)∈∑， 使得

{G[A∩V(x0)]-y0}∩[-intCU(BY)]=/○。

下面给出一类向量变分不等式的Henig有效解的概念。

设x0∈A,y0∈G(x0),ζ(A,x0)={ζ(x,x0)∶x∈A}包含于相依上图导数DG(x0,y0)的定义域。

考虑向量变分不等式问题(VVIP)，即寻找x0∈A,y0∈G(x0)，使得

DG(x0,y0)[ζ(x,x0)]∉-intCU(BY),∀x∈A，

其中K∪{0Y}为Y中的点凸锥。

定义5 称(x0,y0)∈graph(G)为VVIP的Henig有效解，如果存在点凸锥CU(BY)∈∑，使得

DG(x0,y0)(ζ(x,x0))∉-intCU(BY),∀x∈A。

2 最优性条件

为了研究集值向量优化问题的Henig有效性，由文献[18]可知，相依上图导数具有如下性质。

引理1[18]设A⊂X关于ζ和ψ为广义凸子集，G∶A→2Y在A上关于ζ和ψ为广义CY-凸集值映射。 假定x0∈A,y0∈G(x0)， 且相依上图导数DG(x0,y0)存在，则

G(x)-{y0}⊂{λDG(x0,y0)[ζ(x,x0)]}+CY,∀x∈A，

设G为SVOP中的广义CY-凸集值映射，则SVOP的局部Henig有效解即为SVOP的Henig有效解。

引理2 设A⊂X关于ζ和ψ为广义凸子集，G∶A→2Y在上关于ζ和ψ为广义CY-凸集值映射。如果(x0,y0)∈graph(G)为SVOP的局部Henig有效解，则(x0,y0)∈graph(G)为SVOP的Henig有效解。

证明： 设(x0,y0)∈graph(G)为SVOP的局部Henig有效解，由定义4的2)可知，存在点x0的邻域V(x0)及点凸锥CU(BY)∈∑，使得

{G[A∩V(x0)]-y0}∩[-intCU(BY)]=/○。

(1)

反证法。假设(x0,y0)不是SVOP的Henig有效解，则存在x*∈A,y*∈G(x*)使得

y*-y0∈-intCU(BY)。

(2)

由A关于ζ和ψ为广义凸集，根据定义3可知，

x0+ψ(μ)ζ(x*,x0)∈A,∀μ∈(0,1)。

由此，存在μ0∈(0,1)，使得

x0+ψ(μ)ζ(x*,x0)∈V(x0),∀μ∈(0,μ0)，

于是

x0+ψ(μ)ζ(x*,x0)∈V(x0)∩A,∀μ∈(0,μ0)。

(3)

另一方面，由G在A上关于ζ和ψ为广义CY-凸集值映射，由定义3可知，对任何μ∈(0,μ0)，有

y0+μ(y*-y0)=μy*+(1-μ)y0∈

μG(x*)+(1-μ)G(x0)⊂

G(x0+ψ(μ)ζ(x*,x0))+CY。

结合式(2)可知，

μ(y*-y0)∈-intCU(BY)。

于是

-intCU(BY)-CY⊂-intCU(BY)。

这与式(1)矛盾。引理1得证。

借助集值映射的相依上图导数与广义凸集值映射的性质，分析SVOP的Henig有效解和VVIP的Henig有效解之间的紧密关系。

设x0∈A,y0∈G(x0)，相依上图导数DG(x0,y0)存在，且ζ(A,x0)={ζ(x,x0) ∶x∈A}包含于DG(x0,y0)的定义域。

定理1 设(x0,y0)为SVOP的Henig有效解，则(x0,y0)为VVIP的Henig有效解。

证明： 设(x0,y0)∈graph(G)为SVOP的Henig有效解， 则根据注1可知， 存在点凸锥CU(BY)∈∑，使得

[G(A)-{y0}]∩[-intCU(BY)]=/○。

(4)

反证法。假设存在x*∈A满足

y*=DG(x0,y0)[ζ(x*,x0)]∈-intCU(BY)。

(5)

由相依上图导数的定义可知，

(ζ(x*,x0),y*)∈epi[DG(x0,y0)]=T[epi(G),(x0,y0)]，

因此存在(xn,yn)∈epi(G)及正实数序列{μn}，满足

且

于是

(6)

由式(5)、(6)知，存在N0∈，有

μn(yn-y0)∈-intCU(BY),∀n≥N0。

从而

yn∈{y0}-intCU(BY),∀n≥N0。

(7)

{y0}-intCU(BY)-CU(BY)⊂

{y0}-intCU(BY),∀n≥N0。

这与式(4)矛盾。定理1得证。

定理2 设A⊂X关于ζ和ψ为广义凸子集，G∶A→2Y在A上关于ζ和ψ为广义CY-凸集值映射。设(x0,y0)为VVIP的Henig有效解，则(x0,y0)为SVOP的Henig有效解。

证明： 由假设知，存在点凸锥CU(BY)∈∑，使得

DG(x0,y0)[ζ(x,x0)]∉-intCU(BY),∀x∈A。

(8)

由CU(BY)为点凸锥且λ>0可知，

λDG(x0,y0)[ζ(x,x0]∉-intCU(BY),∀x∈A。

反证法。假设(x0,y0)不是SVOP的Henig有效解，则存在x*∈A,y*∈G(x*)，满足

y*-y0∈-intCU(BY)。

由引理1可知，存在c*∈CY，使得

y*-y0=λDG(x0,y0)[ζ(x*,x0)]+c*，

因此，

λDG(x0,y0)[ζ(x*,x0)]=

y*-y0-c*∈-intCU(BY)-CY⊂-intCU(BY)。

这与式(8)矛盾。定理2得证。

3 结论

1)在实拓扑向量空间中，引进一类SVOP和VVIP，给出SVOP的Henig有效解、局部Henig有效解与VVIP的Henig有效解的概念。

2)借助于相依上图导数的概念，在广义锥-凸集值映射下，得到SVOP的Henig有效解与VVIP的Henig有效解是一致的结论。

3)运用研究集值向量优化问题Henig有效性的基本思想，研究含参集值向量优化问题Henig有效性、全局有效性和超有效性是有意义的课题。

[1] YANG X M, YANG X Q, CHEN G Y. Theorems of the alternative and optimization with set-valued maps[J]. J Optim Theory Appl, 2000, 107(3): 627-640.

[2] YANG X M, LI D, WANG S Y. Nearly-subconvexlikeness in vector optimization with set-valued functions[J]. J Optim Theory Appl, 2001, 110(2): 413-427.

[3] SACH P H. New generalized convexity notion for set-valued maps and application to vector optimization[J]. J Optim Theory Appl, 2005, 125(1): 157-179.

[4] XU Y H, ZHU C X. On super efficiency in set-valued optimization in locally convex spaces[J]. Bull Austral Math Soc, 2005, 71(2): 183-192.

[5] XU Y H, LIU S Y. Super efficiency in the nearly cone-subconvexlike vector optimization with set-valued functions[J]. Acta Math Scientia, 2003, 25(1): 95-102.

[6] 徐义红. 集值优化问题强有效解的Kuhn Tucker最优性条件[J]. 数学研究与评论, 2006, 26(2): 354-360.

[7] 傅万涛. 赋范线性空间集合的严有效点[J]. 系统科学与数学, 1997, 17(4): 324-329.

[8] FU W, CHENG Y. On the strict efficiency in a locally convex space[J]. Sys Math Scis, 1999, 12(1): 40-44.

[9] 傅万涛, 陈晓清. 逼近锥族和严有效点[J]. 数学学报, 1997, 40(6): 933-938.

[10] CHENG Y H, FU W T. Strong efficiency in a locally convex space[J]. Mathematical Methods of Operations Research,1999, 50(3): 373-384.

[11] ZHENG X Y. Proper efficiency in locally convex topological vector spaces[J]. J Optim Theory Appl, 1997, 94(2): 469-486.

[12] ZHENG X Y. The domination property for efficiency in locally convex spaces[J]. J Math Anal Appl, 1997, 213(213): 455-467.

[13] JAHN J, RAUH R. Contingent epiderivatives and set-valued optimzation[J]. Mathematics Methods of Operation Research,1997,46(2): 193-211.

[14] QIU J H. Cone-directed contingent deriatives and generalized preinvex set-valued optimization[J]. Acta Mathematica Scientia, 2007, 27(1): 211-218.

[15] HENIG M I. Proper efficiency with respect to cones[J]. J of Optim Theory Appl, 1982, 36(3): 387-407.

[16] GONG X H. Optimality conditions for Henig and globally proper efficient solutions with ordering cone has empty interior[J]. J Math Anal Appl, 2005, 307(1): 12-31.

[17] JAHN J, RAUH R. The existence of contingent epiderivatives for set-valued maps[J]. Applied Mathematics Letters, 2003, 16(8): 1179-1185.

[18] YU G L. Henig globally efficiency for set-valued optimization and vector variational inequality[J]. J Syst Sci Complex, 2014, 27(2): 338-349.