神秘的非欧几何

“怎样测量角度更准确呢？”浩天思考了一下，“有了！我在纸上画一个三角形，把三个角剪下来拼在一起，看看是不是一个平角。”

“这不就是一个平角嘛！”浩天得意地将拼好的图给鹏飞。

鹏飞笑眯眯地看着浩天，没有正面回答，却拿出一张中国地图指着说：“如果我们要估算东南部那几个省的陆地面积，怎么做？”

“这简单，”浩天一边在地图东南区域画了个圆，一边讲，“据目测，这几个省的面积与此圆大致相等。因此我们只要测量一下它的半径r，再用地图上的比例k换算成真实的半径R真=kr，那么S真=πR真2=πk2r2。”

鹏飞提高嗓门说：“不要忘了，我们是生活在地球上！”

鹏飞点了点地图，说道：“如果把我们中国版图近似看作一个三角形，这三角形的内角和还是π吗？其面积又是多少呢？”

“球面上的‘直线，也就是两点之间的最短线，实际是球的大圆。”浩天也画了个示意图，“这个△ABC 的内角和α+β+γ>π。作为一个特例，这三角形也可能是由三个相互垂直的大圆围成，其内角和就是 π了。可面积怎么求啊？”

鹏飞画了一个球面讲解道：“我们看半径为R的球面上由两个大圆所夹的这部分‘西瓜皮（青灰色部分）。设两大圆夹角为θ，由于球面积S=4πR2，这块‘西瓜皮的面积与θ成正比，其面积为S'= S =2θR2 。

对于刚才你画的△ABC ，我们将半圆弧ABA'和半圆弧ACA'所围成的区域面积称作SA，则

SA=S△ABC+S△A'BC = 2αR2

同理也有

SB=S△ABC+S△AB'C = 2βR2

SC=S△ABC+S△ABC' = 2γR2

因为△ABC'和△A'B'C 关于球心对称，所以它们全等，面积当然相等：

S△ABC'=S△A'B'C

又由于上述三角形中的四个可以拼成半个球面：

S△ABC+S△A'BC+S△AB'C+S△A'B'C=2πR2

所以根据以上5个方程，可以解出：S△ABC = （α+β+γ-π）R2

这就是球面三角形面积公式。其中σ = α+β+γ-π 是内角和减去 π 的差，称作角余。可见在半径为R的球面上，球面三角形面积与 σ 成正比，面积越大的三角形内角和也越大，比例系数就是球面曲率半径 R 的平方。”

浩天长舒了一口气：“球面三角形内角和大于π，欧几里得的平面三角形内角和等于π，而之前我们证明了三角形内角和可以小于π，这内角和小于π的三角形去哪儿找啊？”

鹏飞：“一条抛物线沿另一条凹口反向的抛物线移动所扫过的曲面是个马鞍形的双曲抛物面，它上面的三角形内角和就小于π，其角余是个负值，也叫角亏，这个三角形的面积也是与角余成正比，即 S =σR2。”

浩天：“那这个三角形面积是负值啊？”

鹏飞：“曲面的曲率半径R是这样统一规定的——在曲面上某点相互垂直的方向上画这样两条测地线，其中一条线的曲率半径为最大，记作R1，另一条线为最小，记作R2，则R1R2=R2。

對于球面不难看出这定义的正确性，但对于双曲抛物面，R2与R1方向相反，一正一负，R1R2就是个负数，所以这个双曲抛物面的曲率半径R的平方为负值（R是个虚数），而角余 σ 也是负值，所以三角形的面积还是正的。”

“哈哈，欧几里得的平面三角形……”浩天突然笑了，“角余是0，那是不是所有平面三角形面积都是0啊？”

鹏飞：“平面的曲率半径是无穷大。任意一个数与无穷大之比是多少？”

“ =0啊！”

“那么0与无穷大相乘是多少？”

“可以等于任意的值。”浩天大悟，“我们在任意曲面上画一个足够小的三角形，它的 σ 也是够小，它可近似为欧几里得平面三角形，其内角和非常接近π，但大三角形就不好说了。”

那么，我们这个宇宙中的三角形内角和到底是哪一种呢？endprint