利用二次函数解决生活中的实际问题

胡至袆

【摘要】二次函数是解决实际问题的一种重要方法，可应用于日常生活中。本文结合经济、运动等生活中的多种实际情况进行设问，提出解决方案。熟练掌握二次函数的各类典型范式和基本的解题思路，既可帮助解二次函数数学应用题，又可应用于生活实际中。

【关键词】二次函数 应用 实际问题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）02-0117-02

1.最值问题

二次函数由于其本身的数学特性，最广泛地用于实际生活中的最值和极值问题。此类问题的分布面很广，比如在经济生活中的最大利润计算问题。因此就需要针对不同的方案选择能够使得利益达到最大化的经济策略，下面的这道例题就是这类典型问题。

一家服装店以每件60元的价格进购一批女装，以单价80元出售，每月可销售300件。但市场调查表明，当定价每件上涨1元时，该服装的月销售量就减少10件。问：

（1）该女装每月的销售利润与上涨单价之间的函数关系是怎样的？

（2）要取得每月最大利润，需要将每件女装的单价定为多少？月利润最大多少？

解题思路：这道题通过实际经济生活情景抽象出函数关系式，需要运用二次函数的顶点式，求出最值，解决最值问题。

解题关键：找等量关系，即利润=（定价-进价）×销售量。

列表分析：设女装的定价每件上涨（x）元，销售月利润（y）元。

根据分析列函数关系式：y=（20+x）（300-10x）

化简得：y=-10x2+100x+6000

转化为顶点式即可。

解：（1）设每月售出女装的利润为y（元），每月单价上涨x（元），建立函数关系，化简得到 y=（20+x）（300-10x），化简得：y= -10x2+100x+6000

（2）由上一问解，化为二次函数顶点式 y=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250

所以当x=5时，y取最大值6250，即当每件女装定价为85元时，每月的销售利润是最大的，为6250元。

说明：这一类求最值问题的解题思路都是类似的，关键要注意两点，一点是设函数时要明白哪些量设为自变量，哪些量设为因变量（函数）；其次就是在求解的时候用配方法或者最值公式等进行求解，而不是简单的“解方程”。

2.运动问题

运动问题是直接运用二次函数直观特性的一类问题，它的特点是能够将二次函数在生活中更好地呈现出来，这一类问题的常见考察形式有投篮、射门、铅球、跳水问题等等。以下面这道题为例：

一座拱桥的形状为抛物线形，拱桥高度为6米，跨度为20米，拱桥下的相邻两根支柱间的距离是5米。问（1）把该拱桥抛物线放在如下的直角坐标系中，求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的高度；（3）假设拱桥下是地面上的双向车道（中间有宽2米的綠化带），其中一条行车道能否允许3辆宽为2米，高为3米的汽车并排行驶（汽车的间距可忽略不计）？请说明理由。

解题思路：首先把题干中给出的文字信息放在坐标系中，把关键点的位置转化为坐标值，并根据已知的“抛物线形”设抛物线的解析式，把关键点的坐标代入，求出函数解析式。后两问都是根据解析式来代入求解。

解：（1）根据条件得出点A，B，C的坐标为A（-10， 0），B（10， 0），C（0， 6）。设抛物线解析式为y=ax2+c，代入B，C坐标，解得a=-3/50，c=6，代入解析式，整理得抛物线的表达式 y=-3/50x2+6

（2）设F（5，y），代入抛物线解析式得F点坐标为（5， 4.5），EF高度为10-4.5=5.5米。

（3）设隔离带宽为DN，则三辆汽车的宽度之和为NG，G点坐标为（7，0）。过G做GH垂直于AB交抛物线于H点，代入解析式，得出H点高度约为3.06米，大于3米。故可以允许三辆汽车并排通过。

说明：这类问题是关于二次函数应用较为简单的问题，主要需要注意的就是要先求解出正确的函数解析式，并且利用求得的解析式进行第二、三步的解答。难点通常集中于把题目中的实际现实情况转化为函数中的值，并且函数的表达形式也很关键。一般的二次函数有三种表达形式：一般式、顶点式和交点式，根据不同条件可以灵活选择函数形式。

3.总结

通过应用题的形式不仅能够提高对二次函数方面知识的掌握程度，还能够增强应用能力和实践能力。本文中举的几个例子仅仅是一个方面，二次函数的实际应用能够体现在生活的各个角落。关键在于熟练掌握二次函数的基本范式和此类问题的解决思路，题目总是万变不离其宗，掌握了方法，问题即可迎刃而解。

参考文献：

[1]李永生.利用二次函数解决实际问题[J].理科考试研究， 2014， 21（20）：6-6.