多模光力系统中的非传统声子阻塞∗

石海泉 谢智强 徐勋卫 刘念华

1)(南昌大学材料科学与工程学院,南昌 330031)

2)(华东交通大学应用物理系,南昌 330013)

3)(南昌大学高等研究院,南昌 330031)

1 引 言

1997年,Imamoğlu等[1]在研究含克尔非线性介质腔中光子的统计性质时提出了光子阻塞概念,用以描述光子通过含有强克尔非线性介质光腔时表现出强反聚束的行为.光子阻塞效应的一项重要应用是可以用于实现理想的单光子源.自从2005年Birnbaum等[2]首次在腔QED系统中观测到光子阻塞效应以来,人们已经在很多不同系统中观测到光子阻塞[3−7].近年来,光力系统研究作为量子光学发展的新方向之一,引起了人们的广泛关注[8−13].光力系统由光腔与机械振子通过光压力作用耦合组成,既可以用于改变光场的性质,也可以用于控制机械振子的行为.已有较多的研究发现,在强光力耦合条件下光力系统中也可以出现光子阻塞效应[14−21],这为实现单光子源提供了一条新的途径.

类比光子阻塞效应,声子阻塞效应[22]可以作为实现单声子源的机制之一.理论预言,当机械振子与二能级系统耦合时,在色散区[22−25]和共振区[26,27]都可以实现声子阻塞效应.然而除少数文献外[28−30],对于光力系统中声子统计性质的专门研究还比较少,如何在光力系统中实现声子阻塞还有待研究.多模光力系统作为光力系统的重要模型之一是目前研究的热点之一.研究发现,多模光力系统中可以出现很多独特的有趣现象,例如非线性作用增强[31,32]、高保真度量子态传输[33−35]、声子激光[29,36,37]、边带不可分辨条件下的基态冷却[38−41]、弱光力耦合条件下的光子阻塞[42]、超高分辨率质量传感[43]等.

本文研究多模光力系统中声子的统计性质,其中多模光力系统由一个机械模与两个光学模组成.本文主要关注弱光力耦合条件下的声子阻塞,类比非传统光子阻塞效应[42,44−54],它也被称为非传统声子阻塞[27].与传统声子阻塞源于强非线性作用的物理机制[22−26]不同,非传统声子阻塞的物理起源是因为干涉相消作用[45,46],导致双声子态的占居概率被抑制,从而使得在弱非线性条件下也能出现强反聚束现象.

2 多模光力系统理论模型

本文将要研究的多模光力系统由一个机械模和两个光学模组成[29,31,32,36,37],如图1所示,其哈密顿量可以表示为(ħ=1)

图1 多模光力系统示意图 机械模b同时与环形微腔中光学模aL和aR产生光力作用;光学模之间线性耦合,强度为J0;机械模和光学模都受到外加驱动场作用,强度为ε和Ωi(i=1,2),ϕ表示驱动场间的相位差Fig.1.Schematic diagram of a multimode optomechanical system:The mechanical mode b is optomechanical coupled to the optical modes aLand aRsimultaneously;the optical modes are linearly coupled together with strength J0;the mechanical and optical modes are driven by external fields with strengths ε and Ωi(i=1,2),and ϕ denotes the phase difference of the driving fields.

为了后续讨论方便,对系统哈密顿量(1)式进行简化.首先,将耦合光学模算符变换为对称和反对称模式,即做变换和可得

其中g≡(gL+gR)/2和g′≡(gR−gL)/2.接下来,对哈密顿量做变换,H′=UH0U†,其中

假设系统参数满足弱光力耦合和边带可分辨条件g＜γc≪ωm,以及共振条件和在旋转波标架下其中R(t)=忽略高频振荡项和高阶小量,系统的哈密顿量可以近似写为

其中失谐量Δ1=ωc−J0−ωa,1,Δ2=ωc+J0−ωa,2,Δm=ωm−ωb.假设驱动场强度满足不等式Ω1≫γc＞{g,ε,Ω2,γm},这时光学模a1中的平均光子数很大,〈a1〉≫1,光学模a2中的平均光子数很小,〈a2〉＜1,机械模中的平均声子数也较小,〈b〉＜1.为了讨论简单,光学模a1可以作为经典场近似处理,即a1→〈a1〉;另外假设失谐量由此系统的哈密顿量可以进一步简化为

其中等效非线性作用强度U≡−g2/ωm,等效线性耦合强度J=g′〈a1〉.〈a1〉的相位可以通过改变外加驱动场的相位调节,不失一般性,本文假设J,Ω2和ε都为实数,不同驱动场之间的相位差用ϕ表示.下面从哈密顿量(5)式出发,研究机械模中的声子阻塞效应.

在稳态下(t→+∞),系统中声子的统计性质可以由二阶相关度来表征.声子二阶相关度的定义为

其中nb≡b†(t)b(t)为平均声子数,平均声子数和二阶相关度都可以利用系统密度算符ρ计算得出.系统的密度算符ρ随时间的演化行为满足以下主方程[56]

其中nth为机械模中的平均热声子数.根据玻色-爱因斯坦统计可得nth=[exp(ħωm/kBT)−1]−1,其中kB为玻尔兹曼常数,T为机械振子所处环境的平衡温度.由于光学模本征频率较高,可以忽略环境中热光子的影响.

3 声子阻塞最优条件

本节讨论观测声子阻塞的最佳条件.虽然系统哈密顿量(7)式从数学上看与文献[50]中的类似,但是本文所选取的参数范围与文献[50]有所不同:光腔的衰减率远大于机械振子的衰减率,即γc≫γm.这一不同会导致声子阻塞出现的最优条件与文献[50]中给出的条件大不相同.所以有必要根据文献[45]中给出的方法,重新推导声子阻塞出现的最佳条件.

首先,假设系统状态可以用下列波函数来描述

其中|n,m〉代表系统处于n个光子m个声子的态,对应系数Cnm(n和m为非负整数)为其概率幅.由于驱动场强度Ω2和ε都较弱,平均光子数和声子数都较少,声子或者光子数越多的态出现的概率越小,可以近似认为:C00≫{C10,C01}≫{C20,C11,C02}≫···.将波函数(8)式和哈密顿量(5)式代入薛定谔方程,id|ψ〉/dt=H|ψ〉,可得波函数中的系数Cnm满足的动力学方程

在稳态下,取dCnm/dt=0,于是系数Cnm满足线性方程组

由(14)和(15)式解得

将其代入(16)—(18)式中,并利用声子阻塞出现的条件,即C02=0,可得系数C20,C11,C00满足线性方程组

其中

上述方程组(21)—(23)式有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零.

当光学模a2不受外加驱动场作用,即Ω2eiϕ=0时,由方程组(21)—(23)式系数矩阵行列式实部和虚部分别为零可得

由此推导出声子阻塞效应的最佳失谐量和光力耦合强度分别为

当等效线性耦合强度远大于光腔的衰减率,即J≫γc/2时,(29)和(30)式简化为

当光学模a2受到外加驱动场作用,即Ω2eiϕ/=0时,定义强度比值η=ε/Ω2.由方程组(21)—(23)式系数矩阵行列式为零可得

当ϕ=0时,上式中的实部和虚部分别为零可得

由此推导可得,观测声子阻塞效应的最佳失谐量满足以下方程

其中系数si(i=0,1,2,3,4)分别定义为

另外,观测声子阻塞效应的最佳非线性强度和最佳光力耦合强度由下式给出:

其中为了保证gopt为实数,Uopt的取值必须小于零.通过(36)—(42)式可以看出,观测声子阻塞效应的最佳失谐量和非线性强度都与驱动强度比值η有关.换言之，我们可以通过改变驱动强度比值η调节声子阻塞现象出现的条件,该性质可以用于实现可调单声子源.

4 数值结果与分析

本节数值求解主方程得到密度矩阵ρ,然后通过绘图研究声子二阶相干度随系统参数的变化趋势.

4.1 非传统声子阻塞

首先,讨论光学模a2不受外加驱动场作用,即Ω2eiϕ=0时,声子的统计性质.图2(a)中给出了声子二阶相干度log10[g(2)b(0)]随失谐量Δ/γc和光力耦合强度g/γc变化的等高线图,图2(b)和图2(c)中分别给出了log10[g(2)b(0)]随失谐量Δ/γc和光力耦合强度g/γc的变化曲线,可以看出声子阻塞出现的最佳失谐量为Δ≈−0.217γc,最佳光力耦合强度为g≈0.819γc,这与(29)—(32)式预言的最佳条件符合.图2(d)中给出了随时间延迟τ/(2π/J)变化曲线.随时间延迟τ出现振荡行为,振荡周期为2π/J.该振荡行为是由于粒子在光学模与机械模之间跃迁导致的.振荡幅度随着时间延迟τ/(2π/J)延长逐渐衰减,衰减速率与光学模的衰减率为同一量级.

图2 (a)声子二阶相干度随失谐量Δ/γc和光力耦合强度g/γc变化的等高线图;(b)log10[gb(2 )(0)]随失谐量Δ/γc的变化曲线,g=0.819γc[取值由(30)式计算得出];(c)log10[gb(2 )(0)]随光力耦合强度g/γc的变化曲线,Δ=−0.217γc[取值由(29)式计算得出];(d)gb(2 )(τ)随时间延迟τ/(2π/J)变化曲线,Δ = −0.217γc和g=0.819γc;其他参数为J=3γc,ωm=30γc,γm=0.01γc,ε=0.1γc,Ω2eiϕ =0,nth=0Fig.2.(a)Contour plot of the second-order correlation functions log10[gb(2)(0)]vs detuning Δ/γcand optomechanical coupling strength g/γc;(b)log10[gb(2)(0)]vs detuning Δ/γcwith g=0.819γcgiven by Eq.(30);(c)log10[gb(2 )(0)]vs optomechanical coupling strength g/γcwith Δ = −0.217γcgiven by Eq.(29);(d)gb(2 )(τ)vs time delay τ/(2π/J)with Δ = −0.217γcand g=0.819γc.The other parameters are J=3γc, ωm=30γc, γm=0.01γc, ε =0.1γc,Ω2eiϕ =0,nth=0.

图3 (a)随线性耦合强度J/γc和光力耦合强度g/γc变化的等高线图;(b)随光力耦合强度g/γc的变化曲线;其中其他参数与图2一致Fig.3.(a)Contour plot of>vs linear coupling strengthand optomechanical coupling strength g/γc;(b)vs optomechanical strength g/γc.Here=10J and the other parameters are the same as in Fig.2.

4.2 可调声子阻塞

本小节研究外加驱动场作用于光学模a2,即Ω2eiϕ/=0时,声子的统计性质随外加驱动场间强度的比值和相位差的变化行为.通过数值求解方程(36)—(42)式,图4(a)中给出了最佳光力耦合强度gopt/γc和最佳失谐量Δopt/γc随驱动场强度比值η的变化曲线.从图中可以看出,最佳光力耦合强度gopt/γc和最佳失谐量Δopt/γc随驱动场强度比值η变化而变化.另外,当η＞4.65时,gopt＜γc,这为在弱光力耦合条件下实现声子阻塞提供了有利条件.图4(b)中给出了随驱动场强度比值η和失谐量Δ/γc变化的等高线图,其中红色虚线由(36)式给出.由此可以看出,声子反聚束现象出现的条件(深蓝色区域)与(36)式给出的最佳失谐量(红色虚线)符合得很好.

图4 (a)gopt/γc[(42)式]与Δopt/γc[(36)式]随驱动场强度比值η的变化曲线;(b)log10[g(2)b (0)]随驱动场强度比值η和失谐量Δ/γc变化的等高线图;其他参数取值与图2一致Fig.4. (a) Δopt/γc[from Eq.(36)]and gopt/γc[from Eq.(42)]vs the strength ratio η;(b)contour plot of log10[g(2)b(0)]vs the strength ratio η and detuning Δ/γc.The other parameters are the same as in Fig.2.

图5 (a)和(b)随相位差ϕ/π和驱动场强度比值η变化等高线图;(c)log10[gb(2 )(0)]随驱动场强度比值η变化曲线,其中ϕ=0.634π;(d)log10[gb(2 )(0)]随相位差ϕ/π变化曲线,其中η=6;(a)和(c)中,Δ 和g的取值由(29)和(30)式计算得出;(b)和(d)中,Δ和g的取值由(36)—(42)式计算得出,其他参数取值与图2一致Fig.5.(a)and(b)Contour plot of vs the phase difference ϕ/π and strength ratio η;(c)log10[gb(2 )(0)]vs the strength ratio η with ϕ =0.634π;(d)log10[gb(2 )(0)]vs the phase difference ϕ/π with η =6.(a)and(c) Δ and g are given by Eqs.(29)and(30);(b)and(d) Δ and g are given by Eqs.(36)–(42).The other parameters are the same as in Fig.2.

将图5(a)和图5(c)中参数代入上式可得,η≈5.5和ϕ≈0.634π,这与图中聚束效应出现的条件一致.

4.3 环境中热声子的影响

与光子阻塞不同,由于声子的频率较低,声子阻塞和隧穿现象容易受到环境中热声子的影响.图6(a)和图6(b)中给出了随平均热声子数nth和机械驱动强度ε/γc变化等高线图;图6(c)和图6(d)中给出了不同热声子条件下随机械驱动强度ε/γc变化曲线.图6(a)和图6(c)中选取了图5(a)中声子阻塞出现的最优参数η ≈2.764和ϕ ≈0.634π;图6(b)和图6(d)中选取了图5(a)中声子隧穿出现的最优参数η≈5.5和ϕ≈0.634π.从图中可以看出,当考虑环境热声子影响时,适当提高驱动强度ε/γc利于观测声子阻塞效应;随着环境中热声子数的增加,观测声子阻塞和隧穿现象需要的机械驱动强度ε/γc逐渐增强.另外,随着环境中热声子数的增加,log10[g(2)b(0)]的最小值逐渐增大(或者最大值逐渐减小),即声子阻塞(隧穿)效应越来越弱.

5 结 论

本文研究了多模光力系统中的声子阻塞效应,给出了声子阻塞出现的最佳条件.研究发现,声子阻塞效应在弱光力耦合条件下也能出现,而且出现声子阻塞效应所需要的最佳光力耦合强度可以通过外加驱动场来调节.另外,我们还研究了多驱动条件下,驱动场间的强度比值和相位差对声子阻塞效应的影响.发现通过调节驱动场强度比值或者相位差,可以观测到机械模中的声子在反聚束和聚束之间转换.这为实现可调单声子源提供了一个备选方案.最后,讨论了环境中热声子对声子阻塞效应的影响,发现热声子对声子阻塞效应有破坏作用.为了观测声子阻塞效应,必须克服环境中热声子的影响,例如降低环境的温度,或者通过其他方法降低机械振子的有效温度,提高机械振子的共振频率.近年来,光力系统中已经制备出了吉赫兹量级的高频机械振子[57,58],这为实现声子阻塞效应提供了有利条件.

图6 (a)和(b)log10[g(2)b (0)]随平均热声子数nth和机械驱动强度ε/γc变化等高线图;(c)和(d)log10[g(2)b (0)]随机械驱动强度ε/γc变化曲线;(a)和(c)中选取η≈2.764;(b)和(d)中选取η≈5.5;其他参数与图5(c)一致Fig.6.(a)and(b)Contour plot of log10[g(2)b (0)]vs mean thermal phonon number nthand mechanical driving strength ε/γc;(c)and(d)log10[g(2)b(0)]vs mechanical driving strength ε/γc. η≈ 2.764 in(a)and(c);η≈ 5.5 in(b)and(d).The other parameters are the same as in Fig.5(c).

[1]Imamoğlu A,Schmidt H,Woods G,Deutsch M 1997Phys.Rev.Lett.79 1467

[2]Birnbaum K M,Boca A,Miller R,Boozer A D,Northup T E,Kimble H J 2005Nature436 87

[3]Dayan B,Parkins A S,Aoki T,Ostby E P,Vahala K J,Kimble H J 2008Science319 1062

[4]Dubin F,Russo C,Barros H G,Stute A,Becher C,Schmidt P O,Blatt R 2010Nature Phys.6 350

[5]Faraon A,Fushman I,Englund D,Stoltz N,PetroffP,Vučković J 2008Nature Phys.4 859

[6]Lang C,Bozyigit D,Eichler C,Steffen L,Fink J M,Abdumalikov Jr A A,Baur M,Filipp S,da Silva M P,Blais A,WallraffA 2011Phys.Rev.Lett.106 243601

[7]Hoffman A J,Srinivasan S J,Schmidt S,Spietz L,Aumentado J,Türeci H E,Houck A A 2011Phys.Rev.Lett.107 053602

[8]Aspelmeyer M,Kippenberg T J,Marquardt F 2014Rev.Mod.Phys.86 1391

[9]Liu Y C,Hu Y W,Wong C W,Xiao Y F 2013Chin.Phys.B22 114213

[10]Chen X,Liu X W,Zhang K Y,Yuan C H,Zhang W P 2015Acta Phys.Sin.64 164211(in Chinese)[陈雪, 刘晓威,张可烨,袁春华,张卫平2015物理学报64 164211]

[11]Chen H J,Mi X W 2011Acta Phys.Sin.60 124206(in Chinese)[陈华俊,米贤武 2011物理学报 60 124206]

[12]Zhang D,Zheng Q 2013Chin.Phys.Lett.30 024213

[13]Jiang C,Cui Y,Li X 2016Chin.Phys.B25 54204

[14]Rabl P 2011Phys.Rev.Lett.107 063601

[15]Qiu L,Gan L,Ding W,Li Z Y 2013J.Opt.Soc.Am.B30 1683

[16]Xu X W,Li Y J,Liu Y X 2013Phys.Rev.A87 025803[17]Liao J Q,Law C K 2013Phys.Rev.A87 043809

[18]Liao J Q,Nori F 2013Phys.Rev.A88 023853

[19]Hu D,Huang S Y,Liao J Q,Tian L,Goan H S 2015Phys.Rev.A91 013812

[20]Lü X Y,Wu Y,Johansson J R,Jing H,Zhang J,Nori F 2015Phys.Rev.Lett.114 093602

[21]Xie H,Lin G W,Chen X,Chen Z H,Lin X M 2016Phys.Rev.A93 063860

[22]Liu Y X,Miranowicz A,Gao Y B,Bajer J,Sun C P,Nori F 2010Phys.Rev.A82 032101

[23]Didier N,Pugnetti S,Blanter Y M,Fazio R 2011Phys.Rev.B84 054503

[24]Miranowicz A,Bajer J,Lambert N,Liu Y X,Nori F 2016Phys.Rev.A93 013808

[25]Wang X,Miranowicz A,Li H R,Nori F 2016Phys.Rev.A93 063861

[26]Ramos T,Sudhir V,Stannigel K,Zoller P,Kippenberg T J 2013Phys.Rev.Lett.110 193602

[27]Xu X W,Chen A X,Liu Y X 2016Phys.Rev.A94 063853

[28]Nunnenkamp A,Børkje K,Girvin S M 2011Phys.Rev.Lett.107 063602

[29]Lörch N,Hammerer K 2015Phys.Rev.A91 061803

[30]Seok H,Wright E M 2017Phys.Rev.A95 053844

[31]Ludwig M,Safavi-Naeini A H,Painter O,Marquardt F 2012Phys.Rev.Lett.109 063601

[32]Stannigel K,Komar P,Habraken S J M,Bennett S D,Lukin M D,Zoller P,Rabl P 2012Phys.Rev.Lett.109 013603

[33]Wang Y D,Clerk A A 2012Phys.Rev.Lett.108 153603

[34]Tian L 2012Phys.Rev.Lett.108 153604

[35]Li H K,Ren X X,Liu Y C,Xiao Y F 2013Phys.Rev.A88 053850

[36]Grudinin I S,Lee H,Painter O,Vahala K J 2010Phys.Rev.Lett.104 083901

[37]Wang H,Wang Z X,Zhang J,Özdemir S K,Yang L,Liu Y X 2014Phys.Rev.A90 053814

[38]Gu W J,Li G X 2013Phys.Rev.A87 025804

[39]Ojanen T,Børkje K 2014Phys.Rev.A90 013824

[40]Guo Y J,Li K,Nie W J,Li Y 2014Phys.Rev.A90 053841

[41]Liu Y C,Xiao Y F,Luan X S,Gong Q H,Wong C W 2015Phys.Rev.A91 033818

[42]Xu X W,Li Y J 2013J.Opt.B:At.Mol.Opt.Phys.46 035502

[43]Chen H J,Fang X W,Chen C Z,Li Y 2016Acta Phys.Sin.65 194205(in Chinese)[陈华俊,方贤文,陈昌兆,李洋2016物理学报65 194205]

[44]Liew T C H,Savona V 2010Phys.Rev.Lett.104 183601

[45]Bamba M,Imamoglu A,Carusotto I,Ciuti C 2011Phys.Rev.A83 021802

[46]Lemonde M A,Didier N,Clerk A A 2014Phys.Rev.A90 063824

[47]Gerace D,Savona V 2014Phys.Rev.A89 031803

[48]Kyriienko O,Shelykh I A,Liew T C H 2014Phys.Rev.A90 033807

[49]Xu X W,Li Y 2014Phys.Rev.A90 033809

[50]Xu X W,Li Y 2014Phys.Rev.A90 043822

[51]Kyriienko O,Liew T C H 2014Phys.Rev.A90 063805

[52]Shen H Z,Zhou Y H,Yi X X 2015Phys.Rev.A91 063808

[53]Zhou Y H,Shen H Z,Yi X X 2015Phys.Rev.A92 023838

[54]Tang J,Geng W,Xu X 2015Sci.Rep.5 9252

[55]Anetsberger G,Arcizet O,Unterreithmeier Q P,Riviere R,Schliesser A,Weig E M,Kotthaus J P,Kippenberg T J 2009Nature Phys.5 909

[56]Carmichael H J 1993An Open Systems Approach to Quantum Optics(Lecture Notes in Physics vol.18)(Berlin:Springer)pp9–13

[57]Fang K,Matheny M M,Luan X,Painter O 2016Nature Photon.10 489

[58]Han X,Zou C,Tang H 2016Phys.Rev.Lett.117 123603