优化组合相关函数方法的二进制偏移载波无模糊跟踪性能研究

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(湖北大学 计算机与信息工程学院，武汉 430062)

0 引言

近年来全球导航卫星系统(global navigation satellite system, GNSS )的应用正迅速发展。为了改善跟踪性能和抗多径性能，在新的GNSS接收机中使用具有显著优点的二进制偏移载波(binary-offset-carrier，BOC)调制[1]。BOC调制信号采用副载波调制，通过伪码码率n×1.023 Mchips/s的伪随机码(Pseudo Random Noise, PRN)乘以副载波频率m×1.023 MHz的二进制值方波副载波。方波副载波可以是正弦或余弦相位，分别称为sin-BOC(m，n)和cos-BOC(m, n)[2]。BOC信号在自相关函数(Autocorrelation Function, ACF)中具有分裂频谱和较窄的相关函数主峰，从而具有更高的码跟踪性能和更好的抗多径性能，因此现代化GPS新型信号和Galileo信号广泛地采用了BOC调制。同时BOC调制提出的新的挑战就是跟踪模糊问题，由于BOC信号的自相关函数中的多个副峰，若采用传统的跟踪方法，容易使得接收机在跟踪过程中误锁于副峰上，从而产生很大的跟踪误差。

针对该问题已经提出了很多种适用于BOC信号的接收技术。文献[3-4]中的BPSK-like技术将BOC信号频谱简化为类似于BPSK信号，该方法较为成熟，但它牺牲了BOC信号的高精度的优点。Fine在文献[5]中引入了一种称为峰跳法的跟踪架构，该方法在传统跟踪环路的基础上加入了一组远超前和远滞后相关器，与即时相关器的输出比较，用于判断码跟踪环路是否锁定在主峰。这种方法在低载波噪声比和高阶BOC条件下是相对不可靠的。文献[6]中提出了自相关函数侧峰消除技术，该方法通过两个相关函数的平方消除副峰，可以解决BOC信号的跟踪模糊问题，但是仅能消除BOC(n，n)信号的侧峰。文献[7]提出了针对BOC信号的优化组合相关函数法，为解决典型BOC信号的跟踪模糊问题提供了详细的理论方法。本文在其研究基础上进行扩展，详尽呈现优化组合相关函数法的原理，并改进了非相干鉴相器的设计以提高跟踪性能，着重分析了sin-BOC信号和cos-BOC信号的跟踪性能。

1 组合相关函数优化法原理

1.1 BOC调制信号模型

依据文献[2,7]中的定义，对于BOC(m,n)信号，定义M=2 m/n是BOC调制信号的调制指数。不考虑数据位，依据文献[7]中的定义，可得到BOC信号的基带信号：

(1)

其中:{cl}是伪随机噪声( Pseudorandom Noise，PRN)码序列；TC表示扩频符号周期；PBOC(t)表示BOC信号的扩频符号波形，只在[0,TC)区间内非零，其中PBOCs(t)和PBOCc(t)分别表示正弦相位和余弦相位的BOC扩频符号波形，其定义如下：

(2)

其中:fs是子载波频率，sign为符号函数。对于BOC信号，利用具有理想相关特性的PRN码序列，其自相关函数表述如下：

(3)

Sin-BOC (10,5)信号和cos-BOC (10,5)信号的自相关函数如图1和图2所示，可以看出，两者的自相关函数中除了一个主峰外有着多个副峰，因此，这些副峰会导致跟踪环路中产生误锁并造成很大的码跟踪偏差。并且cos-BOC信号的自相关函数折线更多，相对较复杂。

图1 sin-BOC(10,5)的自相关函数，目标函数，组合相关函数

图2 cos-BOC(10,5)的自相关函数，目标函数，组合相关函数

1.2 线性组合互相关函数结构

本文采用多个具有不同时延的相关器，将接收信号的不同时延信号进行线性组合，得到一个线性组合码：

(4)

式中，αj是线性加权系数，dj表示第J个相关器的延时，j=1,2,…,J。跟踪环路将接收到的原始信号与线性组合码进行互相关，可得无模糊的组合相关函数:

(5)

式中，R(τ)代表BOC调制信号的自相关函数，加权系数αj需要通过优化算法计算得出。

由公式(5)可看出，线性组合码与原始的接收信号之间的互相关等效于多个自相关函数的线性组合[8]。因此，本文提出的方法相当于构造一个特殊的本地参考波形代替多个不同时延的相关器输出。

1.3 目标函数曲线的设定

本文提出的优化组合相关函数方法的目的是通过计算加权系数αj和dj，j=1,2,…J，使合成后的相关函数曲线接近于设定的目标曲线，从而得到无模糊的信号波形。理想的目标函数曲线应满足：

1)目标函数是无模糊的，即只有一个主峰，无其他副峰；

2)目标函数的主峰与BOC信号的主峰一致。

因此，基于上述条件，设定的目标函数分别与sin-BOC和cos-BOC调制信号的自相关函数的主峰重合，并且除了主峰左右两边第一个过零点外的相关值均为0。通常，对应sin-BOC信号和cos-BOC信号的目标。

函数Rideal(τ)分别表示如下：

(6)

sin-BOC(10,5)和cos-BOC(10,5)的目标函数曲线分别如图1和图2所示。

一般先设计取样间隔dj，接下来的关键是获得优化组合函数的加权系数。式(7)表明了组合相关函数曲线无限接近设定的目标函数曲线的曲线拟合过程，其中线性加权系数αj可据此式计算得出：

(7)

(8)

针对式(8)的拟合过程，可通过傅里叶算法和传统的最优化算法求得。本文采用了多组不同延时的BOC信号自相关函数的信号瞬时值的线性组合矩阵Rcombine来构建线性方程，再通过最小二乘法求解该线性方程，定义如下：

Rcombineα=Rideal

(9)

(10)

式中，Rcombine作为相关函数的采样点矩阵，定义为式(10)。Rideal={[Rideal(i)]}I×1是目标函数曲线的采样点矩阵，并且α={[αj]}J×1是加权系数向量。因此，方程式(9)的最小二乘解为：

α=Rcombine+Rideal

(11)

式中，Rcombine+是矩阵Rcombine的Moore-Penrose广义逆矩阵。将求解得出的加权系数αj代入式(4)，即可得出本地参考波形。

对于sin-BOC (10,5)信号和cos-BOC (10,5)信号，本文设置延时控制点dj=，j=1,2,…,J，J=501；曲线采样点数I=1 000。计算后得出的加权系数αj分别如图3和图4所示。

图3 sin-BOC(10,5)的权重系数

图4 cos-BOC(10,5)的权重系数

虽然式(11)的求解过程是复杂的，但是对于BOC调制信号，权值是常数。因此，αj可以通过计算机计算后存储在接收机中。

2 跟踪性能分析

基于组合相关函数优化方法设计的跟踪环路如图5所示。相对于传统的延迟锁定环路，该跟踪环路增加了两处不同的部分。首先，接收机的超前(E)和滞后(L)支路不仅需要与本地接收信号进行相关运算，还需增加本地参考信号与超前和滞后支路进行相关运算的部分。考虑到同相和正交支路，需要增加4个相关器。其次，借助于本地参考信号，跟踪环路中需采用特殊设计的非相干鉴别器[9]。

如图5所示，接收信号与本地BOC信号的同相和正交支路的超前和滞后支路进行相关运算后得到4个分量，即分别为IEB,ILB,QEB,QLB。同时，接收信号与本地参考信号的同相和正交支路的超前和滞后支路进行相关运算后得到4个分量，分别表示为IEC,ILC,QEC,QLC。

图5 基于组合相关函数优化方法的码跟踪环路图

经过积分和清零后各支路输出如下：

(12)

在延时估计Δτ=0时，四条支路IEB,ILB,IEC,ILC的联合分布为：

(IEB,ILB,IEC,ILC)T～N(μ,σ)

(13)

跟踪环路中，Q支路的输出与I支路的输出是独立的，即QEB,QLB,QEC,QLC四条支路在Δτ=0时的联合分布为：

(QEB,QLB,QEC,QLC)T～N(0,σ)

(14)

则有：

RB(d/2),RC(-d/2),RC(d/2)]T

(15)

(16)

式中，RB是BOC调制信号的自相关函数，RC是无模糊的组合相关函数，RL是本地参考信号的自相关函数。相对于传统的非相干超前减滞后鉴相方法，为实现无模糊跟踪和较好地跟踪精度，本文采用了接收信号和经优化设计后的本地参考信号相关获得的无模糊相关函数与接收信号和本地原信号自相关函数相乘的新型非相干鉴别器设计。新型的非相干鉴相器函数设计如下：

D(τ)=(IEBIEC+QEBQEC)-(ILBILC+QLBQLC)=

(17)

式中，

Run=RB(ε)·RC(ε)

(18)

鉴别器采用该设计原因有两点：首先，从前文可以看出获得的无模糊相关函数增益相对较小，直接利用传统的非相干超前减滞后鉴相器对应的鉴相器增益更小；而组合相关函数与BOC信号自相关函数相乘后的非相干鉴相方法，可以在消除模糊的前提下获得较高的鉴相器增益。其次，区别于传统非相干超前减滞后鉴相器中的超前和滞后支路平方运算以消除残余载波相位的方法，本文采用的两个函数相乘方法也可以消除残余载波相位差。

从式(13)和式(14)中，可通过蒙特卡洛仿真分别得到I支路和Q支路的各四条支路的输出样本，根据样本可求得鉴别器输出的标准差σε。根据式(17)对鉴别曲线过零点附近求导，可求得鉴别器增益G。闭环码跟踪抖动的标准差στ[10]可以通过如下表达式得到：

(19)

式中，BL是单边带环路带宽，TP表示相干积分时间。当仿真参数设置为BL=1 Hz，TP=1 ms，无限带宽情况下的sin-BOC (10,5)信号和cos-BOC(10,5)信号的码跟踪抖动标准差曲线分别如图6和图7所示。

为了便于比较，图6和图7中显示了3种跟踪方法跟踪sin-BOC(10,5)和cos-BOC(10,5)的码跟踪抖动标准差曲线。从结果中可看出，对于sin-BOC (10,5)信号，组合相关函数优化方法的抗噪声性能明显优于BPSK-Like方法。尽管在存在噪声的情况下，本文所提出的方法比传统DLL法的跟踪精度差，但在实际情况下的传统的DLL法存在模糊问题，容易造成较大跟踪误差。图7是对cos-BOC(10,5)信号跟踪的结果，跟踪性能的优劣表现出与图6类似的趋势，然而优化组合相关函数方法跟踪cos-BOC的跟踪性能略优于跟踪sin-BOC时的跟踪性能。这是由于cos-BOC信号自相关函数的主峰较sin-BOC信号的主峰更加尖锐，即设定目标函数后得到的无模糊组合相关函数的增益相对较大，从而保持相对较高的跟踪精度。

图6 sin-BOC(10,5)的码跟踪抖动标准差随信噪比变化曲线(△=0.05 chips)

图7 cos-BOC(10,5)的码跟踪抖动标准差随信噪比变化曲线(△=0.05 chips)

3 结论

本文针对sin-BOC和cos-BOC信号的跟踪模糊问题，阐述了一种组合相关函数优化方法，该方法通过采用多个不同延时的相关函数线性加权组合，即等价于在接收端构造出一个特殊的本地参考波形。仿真结果表明该方法可以完全解决sin-BOC和cos-BOC信号跟踪过程中存在的模糊问题。同时，码跟踪环路中采用新型非相干鉴相器得到的码跟踪精度整体上优于BPSK-Like方法，具有良好的抗噪声性能。

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