求解非线性时间分数阶Klein-Gordon方程的谱配置方法

周 琴, 杨 银

(1. 湖南涉外经济学院 信息科学与工程学院, 长沙 410205; 2. 湘潭大学 数学与计算科学学院, 湖南 湘潭 411105)

1 引言与预备知识

分数阶积分微分方程在流体力学、 生物学、 等离子体物理学和金融学等领域应用广泛[1-2], 其中主要包括分数阶Klein-Gordon方程[3-4]等. 分数阶积分微分方程等非局部模型因为具有非局部算子, 使得该类方程的理论研究和数值求解非常困难, 因此求解高精度的数值解具有一定的理论意义和实用价值. 文献[5]给出了分数阶扩散方程在时间空间方向上的一阶差分形式, 并给出了稳定条件; 文献[6]利用时间-空间谱方法求解了时间分数阶扩散方程, 并利用先验误差估计推导了其方法的收敛性; 文献[7-8]用无网格方法求解了时间分数阶Sine-Gordon和Klein-Gordon方程; 文献[9]用区域分解法求解了时间分数阶Klein-Gordon方程. 谱方法是高精度的全局方法, 在保证相同精度的前提下, 谱方法比其他低阶方法所用的信息量更少, 因此高阶的谱方法更适合处理非局部方程. 文献[10-11]提出了一种新的Jacobi谱配置法来求解积分微分方程的数值解; 文献[12]利用Jacobi谱配置法求解了一类分数阶积分微分方程. 本文利用Jacobi谱配置方法数值求解如下非线性时间分数阶导数为Caputo导数的Klein-Gordon方程:

(1)

其初始条件为

u(x,0)=φ1(x),ut(x,0)=φ2(x),a

(2)

边界条件为

u(a,t)=ψ1(t),u(b,t)=ψ2(t), 0

(3)

(4)

这里Γ(·)是Gamma函数.

(5)

可得如下关系:

(6)

2 Jacobi谱配置法

ωα,β(x)=(1-x)α(1+x)β

(x)dx, ∀p(x)∈P2N+1,

即Jacobi-Gauss求积公式.

在方程(1)中用γ阶Riemann-Liouville分数阶积分, 并利用关系式(6), 可得如下带奇异核的积分形式方程:

其中:

为了应用正交多项式, 做如下变量变换, 使变量在标准区间[-1,1]上:

方程(7)可写为如下形式:

(8)

边值条件为

(9)

其中:

首先, 对于时间方向, 在区间[-1,1]上取Jacobi权函数

(10)

要得到问题(10)的高精度解, 最大困难在于计算积分项. 为了克服该问题, 本文利用变量替换

(11)

(12)

其中

下面利用Jacobi-Gauss求积公式, 求解方程(12)中的积分项近似如下:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

3 数值算例

例1考虑如下分数阶Klein-Gordon方程:

初始条件为

该问题只有当γ=2时, 才有精确解

为了验证本文方法的有效性, 首先固定空间配置点为N=24, 当γ=1.5,x=0.2时, 时间配置点分别取M=3,5,7,9, 求解其数值解如图1(A)所示. 由图1(A)可见, 当M=5,7,9时, 数值解基本重合, 因此在时间方向上, 谱配置方法是收敛的. 另一方面, 固定时间配置点为M=24, 当γ=1.2,t=0.3时, 空间配置点分别取N=2,4,6,8, 求解相应的数值解如图1(B)所示. 由图1(B)可见, 当N=4,6,8时, 数值解基本重合, 表明在空间上, 本文提出的谱配置方法也是收敛的.

图1 当γ=1.5时、 固定空间x=0.2, 在时间方向上取不同配置点的数值解比较(A), 以及当γ=1.2时、 固定时间t=0.3, 在空间方向上取不同配置点的数值解比较(B)Fig.1 Comparisons of numerical solutions for different M with γ=1.5 and x=0.2 (A),and comparisons of numerical solutions for different N with γ=1.2 and t=0.3 (B)

图2 当x=0.5取不同的γ时, 例1数值解和精确解的比较Fig.2 Comparisons between numerical solutions and exact solution of example 1 for different γ with x=0.5

为了进一步验证本文方法的可靠性, 当x=0.5, 时间配置点为M=24时, 计算γ=1.25,1.5,1.75,2.0的数值解以及γ=2.0的精确解, 结果如图2所示. 由图2可见, 当γ=2.0时, 数值解与精确解吻合较好, 表明γ=1.25,1.5,1.75时的数值解是可靠的.

例2考虑如下分数阶Klein-Gordon方程:

其中

初始条件为

u(x,0)=0,ut(x,0)=0.

该问题有精确解

u(x,t)=t2cos(πx).

图3 当γ=1.5、 固定时间t=0.8(A)及固定空间时, 例2数值解和精确解的比较Fig.3 Comparisons between numerical solution and exact solution of example 2 with γ=1.5, t=0.8 (A) and γ=1.5, =0.5 (B)

(N，M)γ=1．2L∞L2ωγ=1．8L∞L2ω(4，20)8．3623×10-32．9331×10-35．5843×10-41．4692×10-4(6，20)6．0822×10-42．1739×10-41．8221×10-54．7031×10-6(8，20)1．9164×10-57．3466×10-64．0249×10-78．9289×10-8(10，20)2．2837×10-61．4738×10-67．1986×10-83．1383×10-8(20，4)5．0665×10-21．6461×10-27．4814×10-43．4855×10-4(20，6)3．2606×10-31．2068×10-31．5992×10-56．6194×10-6(20，8)2．3968×10-40．7566×10-44．7053×10-72．7287×10-7(20，10)7．4660×10-52．7982×10-53．8017×10-71．5170×10-7

图4 随配置点增加的误差变化曲线Fig.4 Variation curves of error with increase of collection points

综上, 本文针对时间分数阶Klein-Gordon方程提出了一种时间-空间谱配置法, 使得方程对于时间和空间方向, 在Jacobi谱配置点成立, 从而得到其全离散形式, 并给出数值算例说明所求近似解很好地逼近了精确解. 该方法易于处理非线性的情形, 可以用较少的点得到较高精度的数值解, 节省存储空间且易推广到高维情形.

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[12] YANG Yin, CHEN Yanping, HUANG Yunqing. Convergence Analysis of the Jacobi Spectral-Collocation Method for Fractional Integro-Differential Equations [J]. Acta Mathematica Scientia, 2014, 34B(3): 673-690.