基于预期的报童问题研究

文 平，庞庆华

(1.常州工学院数理化工学院，江苏 常州 213022； 2.河海大学企业管理学院，江苏 常州 213022)

1 引言

一个标准的随机存货管理模型是单阶段报童问题。自从Arrow等[1]开始关注该问题之时，报童问题得到了来自各领域学者的广泛研究。与之同名的故事是这样讲的，早晨报童必须决定从报社订多少报纸。他所遇到的难题是他并不知道有多少顾客要买他的报纸，假如他订的报纸太多，他将有可能因为报纸卖不出去而遭受损失，假如他订的太少，也有可能失去获得额外利润的机会。这种经典的单阶段存贮问题被称为报童问题。报童问题在企业管理中经常会碰见，商业企业的订货量问题，生产企业的产出量问题都可归结为与报童问题，因此对报童问题的研究非常重要[2-3]。

经典的报童模型是建立在风险中性的假设基础之上的，认为报童会选择一个使期望利润达到最大的订货量。然而，实证表明实际订货量往往偏离经典报童模型的最优订货量，而且，大部分实证结果还表明报童倾向于订购比经典报童模型的最优订货量少的货物。为了解释这种现象，学者们从不同角度对报童问题进行了研究。Eeckhoudt和Gollier[4]在期望效用理论框架下讨论了风险厌恶的报童的订货量，并对影响订货量的各个因素进行了比较静态分析，Arikan和Fichtinger[5]也做了类似研究工作。文平[6]则在Kahneman与Tversky[7-9]提出的预期理论(Prospect Theory)框架下对报童问题进行了讨论，他的研究表明订货量不仅与价格等因素有关还与报童的损失厌恶程度有关，并且损失厌恶使得订货量比经典报童模型的订货量少。Gotoh和Takano[10]利用条件在值风险讨论了报童问题。Wang等[11-12]同样将损失厌恶运用于报童问题模型中，他发现假如短缺成本不被忽略，损失厌恶的报童的订货量要比经典的报童的订货量要多。类似的，曹兵兵等[13]针对温度敏感型的产品研究发现，考虑损失厌恶的报童的订货量往往高于经典报童中该产品的订购量。不过Wang和曹兵兵用的效用函数与文平所用的效用函数不同，自然所得研究结果也不相同。Fabian[14]假设报童是基于预期的损失厌恶的人，他认为报童的参照点是以往的利润数据，在这些假设下，他推出报童的订货量要比经典报童模型的订货量少。Xu Xinsheng等[15]研究发现在CVaR环境下，损失厌恶的报童的订货量可能高于也可能低于经典报童的订货量。Vipin和Amit[16]研究发现损失厌恶可以显著改善效用函数模型在预测合理行为方面的性能。此外，刘作义和查勇[17]，刘咏梅等[18]，张艳霞等[19]也在预期理论框架下对报童问题进行了较深入的讨论,周艳菊等[20]则用预期理论研究了两产品报童问题。

2006年，Koszegi与Rabin[21-22]提出了参照依赖偏好理论，这是对决策理论的进一步发展。从前的经济、管理模型绝大部分是在期望效用理论框架下构建的。自预期理论建立以来，部分经济、管理问题则转而用该理论进行讨论，报童问题也不例外。正如前文所述，报童问题的讨论也经过了上述过程。Koszegi与Rabin[21-22]的参照依赖偏好理论被提出后，已经开始被用于一些经济、管理问题的研究中，并且得到了一些比较好的结果。本文就准备改变了以往的研究模式转而用Koszegi与Rabin[21-22]的参照依赖偏好理论对报童问题进行研究。研究主要集中在下面几个方面，一是求得报童问题的最优订货量；二是讨论报童问题解的性质；三是对涉及报童订货量的诸要素的进行必要的比较静态分析。

2 参照依赖偏好理论

对于无风险收入x与参照点r，Koszegi与Rabin[21-22]给出的效用函数为：u(x)=m(x)+μ(m(x)-m(r))。他们称m(x)为内在的消费效用函数，称μ(m(x)-m(r))为参照依赖的获得-损失效用。显然，如果收入低于参照点，获得-损失效用为负效用，收入高于参照点的获得-损失效用才为正效用。Koszegi与Rabin[21-22]进一步将参照依赖的效用扩展至随机情形。

设X表示随机收益，其分布函数为F(x)，又设Y为随机参照点，其分布函数为G(y)，Koszegi与Rabin[21-22]给出的参照依赖的效用定义如下。

U(X|Y)=∬u(x|y)dG(y)dF(x)

(1)

这里，u(x|y)=m(x)+μ(m(x)-m(y))，其中，m(x)为连续可导且单调递增的消费效用函数，μ(x)为获得-损失效用函数。μ(x)满足下列特点。

A0.μ(x)为二阶可导的连续函数且μ(0)=0;

A1.μ(x)为严格单调递增的;

A2.若y>x>0，则μ(y)+μ(-y)<μ(x)+μ(-x);

A3.当x>0时，μ″(x)≤0；当x<0时，μ″(x)≥0;

根据Koszegi和Rabin[21-22]有关论述，为讨论问题方便起见，可以做几个假设。首先，m(x)可以被看作是线性的，即m(x)=x；第二，可以用一个分段线性函数来描述获得-损失效用函数，即:

(2)

这里，λ与η为非负常数。参数λ表示损失厌恶程度，它控制着决策者关于损失和获得的态度。如果λ等于1，决策者是损失中性的；如果λ大于1，决策者是损失厌恶的；如果λ小于1，决策者是损失偏好的。η表示获得-损失效用在决策中的重要性，它越大获得-损失效用在决策中起的作用越大，反之，消费效用在决策中起的作用越大。

3 报童模型

3.1 经典报童问题的最优解

在报童问题中，报童必须在面对随机需求的前提下选择一个订货量q。设X为某一阶段的随机需求，其分布函数为F(x)，其概率密度函数为f(x)。随机需求X为一非负的随机变量，它定义在区间I=[a,b]上，这里0≤ac>s。如果用g表示利润，则:

g(q,X)=(p-s)min(q,X)-(c-s)q

(3)

分析该问题的传统方法假设报童是风险中性以及损失中性的决策者，报童以最大化预期利润为目标，报童的期望利润为:

(4)

预期利润对q求导并让该导数等于零，从而有：

(p-s)F(q)=p-c

(5)

故最优订货量q*为：

(6)

这就是经典报童问题的最优解。

3.2 基于预期的报童模型

根据Koszegi与Rabin[21-22]的参照依赖偏好理论，报童总的效用由两部分组成：内在的消费效用和获得-损失效用。内在的消费效用等于报童的期望利润，获得-损失效用通过利润与参照点的比较得到。Koszegi与Rabin[21-22]认为报童的参照点由报童关于利润的理性预期决定，也就是说可以选取报童的利润本身作为报童的参照点，Abeler[24]与Ericson和Fuster[25]支持了理性预期作为参照点的观点。这时，报童的效用用Koszegi与Rabin[21-22]的表示方法可以表示为U(g|g)。为讨论参照依赖的效用为U(g|g)的具体形式，先介绍一个定义和一个引理，该引理及其证明详见Koszegi与Rabin[21]。

定义1 设X的分布函数为F(x)，X到自身的距离S(X)为：

S(X)=∬|x-y|dF(x)dF(y)

引理1 假设消费效用函数m(x)为线性函数，获得-损失效用函数μ(x)为分段线性函数，其函数形式如(2)式所示。则对于任意收益X，它的参照依赖的效用为：

(7)

在消费效用函数为线性函数以及获得-损失效用函数为分段线性函数假设下，根据引理1，报童关于利润的参照依赖的效用为：

(8)

其中，利润g的形式如(3)式所示。这时，

为求得参照依赖的效用最大值，U(g|g)对q求一阶导数得到：

U′(g|g)=(p-c)-(p-s)F(q)-η(λ-1)(p-s)F(q)(1-F(q))

(9)

令一阶导数为零得到：

(p-c)-(p-s)F(q)-η(λ-1)(p-s)F(q)(1-F(q))=0

(10)

这就是基于预期的报童的订货量所满足的条件，特别如果损失厌恶系数λ=1，报童的订货量q为：

(11)

此时，基于预期的报童的最优订货量即为经典报童问题的最优订货量。下面讨论基于预期的报童的订货量所具有的性质。

证明：方程(10)可以视为关于F(q)的一元二次方程，该方程经过整理变形得到：

(12)

其求根判别式为：

所以，方程(12)总存在实数解，即基于预期的报童的最优订货量存在。

由性质1可以看出，以预期利润为参照点的报童问题仍然存在唯一的最优订货量。这就意味着以预期利润为参照点的报童问题不但符合决策者的实际决策情况，而且总能找到一个使报童总效用最大化的最有订货量。性质1同时也表明在实际工作中，如果零售商(报童)具有损失厌恶，其订购决策是以预期利润为参照点，那么其最优的订货量可以根据F(q)的表达式进行确定。另外从性质1的证明过程可以得到一个副产品，不妨用引理2加以表述。

引理2.无论正数λ,η取何值，基于预期的报童的最优订货量满足1+η(λ-1)-2η(λ-1)F(q)>0。

性质2. 若λ>1，基于预期的报童订货量严格小于利润最大化的报童的订货量，即q

由引理2知道1+η(λ-1)-2η(λ-1)F(q)>0，故∂q/∂λ<0。

性质2说明当报童是损失厌恶的决策者时，基于预期的报童的订货量小于经典报童问题的订货量，而且随着损失厌恶系数λ的增加而减少。损失厌恶系数λ越大，报童的订货量就越小；损失厌恶系数λ越小，报童的订货量就越大。当λ趋近于正无穷时，报童的订货量趋于货物销售量的下限a；当λ趋近于1时，报童的订货量则趋近经典报童问题的订货量q*。所以，当损失厌恶系数λ在区间(1,+∞)内变化时，基于预期的报童的订货量则从经典报童问题的订货量q*逐步减少到货物销售量的下限a。这意味随着报童对损失厌恶程度的提升，如果以预期利润为其决策参照点，则损失对其带来的负效用影响越来越大。在负效用影响下，零售商(报童)为了取得缩小实际利润与预期利润之间的差距，其将逐渐降低自己的订货量。

性质3.若λ<1，基于预期的报童订货量严格大于利润最大化的报童的订货量，即q>q*。而且∂q/∂λ<0。

性质3说明当报童是损失偏好的决策者时，基于预期的报童的订货量大于经典报童问题的订货量，而且基于预期的报童的订货量随着损失厌恶系数λ的增加而减少。性质3意味着当报童具有损失偏好时，如果以预期利润为其决策参照点，此时报童的获得-损失效用为正效用，其订货量越多，带给自身的正效用越大。在此情形下，基于预期的报童订货量将会大于利润最大化的报童的订货量。从实际问题来看，这说明在零售商(报童)具有损失偏好时，相对于自己的所失，其往往更注重自己的所得，因此其往往会加大订货量，这与现实情形是一致的。

性质4.基于预期的报童订货量具有下列特点。

(2)当γ→+∞时，F(q)→0；

(3)当γ→-∞时，F(q)→1。

可以利用性质1直接得到性质2的结论，这里免证。γ趋近于0，则λ趋近于1或者η趋近于0，说明如果报童是损失中性的或者报童只考虑消费效用，报童的订货量趋近于经典报童问题的订货量。该性质的第二条说明极端的损失厌恶的报童或者只考虑获得-损失效用的报童的订货量趋近于货物销售量的下限；与之相反，极端的损失喜好的报童的订货量趋近于货物销售量的上限。

性质5. 若λ>1，基于预期的报童订货量严格小于利润最大化的报童的订货量，而且∂q/∂η<0；若λ<1，基于预期的报童订货量严格大于利润最大化的报童的订货量，而且∂q/∂η>0。

该性质说明如果报童是损失厌恶的，随着获得-损失效用在决策中的作用的增加，报童的订货量将逐渐减少。反之，如果报童是损失喜好的，随着获得-损失效用在决策中的作用的增加，报童的订货量将逐渐增加。

性质6.设q为基于预期的报童在面对随机需求X的订货量，Y=cX+d，Q为基于预期的报童在面对随机需求Y的订货量。在其他参数不变的条件下，Q=cq+d。

该性质说明如果随机需求呈线性变化时，基于预期的报童的订货量也呈现相应的线性变化。

性质7.基于预期的报童的订货量随价格p的增加而增加，即∂q/∂p>0。

证明：(12)式两边同对p求偏导数得到：

解之得到：

由引理2知道1+η(λ-1)-2η(λ-1)F(q)>0，所以∂q/∂p>0。

性质7说明货物的销售价格越高，报童的订货量越大。单位价格p越大，报童的订货量越接近于货物销售量上限b，这一点从(10)式也可以看出；反之，p越小，报童的订货量越小；特别取p=c，根据(10)式可知F(q)=0,报童的订货量等于货物销售量的下限a。从性质7也可以看出，在报童以预期利润为其决策参照点时，随着销售价格的增高，订货量的增加将进一步提高其获得-损失的正效用，对于具有损失厌恶的报童来说扩大订货量是其最优选择。因此在实际工作中，为了使得具有损失厌恶的报童能够扩大订购量，在市场销售价格难以改变情况下，可以通过降低批发价格来提高报童的获得-损失正效用，这也是企业在生产经营中常常用到的策略。

性质8.基于预期的报童的订货量随s的增加而增加，即∂q/∂s>0。

证明：(12)式两边同对s求偏导数得到：

性质8说明报童订货量随s单调递增。s越大报童因卖不出去遭受的损失越小，报童的订货量自然越大，特别当s=c时，显然方程(12)的解为F(q)=1，即q=b，也就是报童的订货量达到货物销售量的上限b。性质8说明了从产品的残值与报童订货量之间的关系，因此从另一方面来说，为了使得具有损失厌恶的报童能够扩大订购量，在市场销售价格和批发价格难以改变情况下，可以通过对报童销售期末的剩余产品给予一定的补贴，这意味提高了剩余产品的残值，从而提高报童的获得-损失正效用，这也是在现实生活中我们常常可以看到生产企业会对其销售商给予相应补贴，提高销售商加大订购量的积极性。

性质9.基于预期的损失厌恶的报童的订货量随c的增加而减少，即∂q/∂c<0。

证明：(12)式两边同对c求偏导数得到：

这个结论是显然的。成本c在s到p之间变化，前面讨论过当c=s时，报童的订货量为货物的销售上限b；当c=p时，由(12)式可知：F(q)=0，即q=a。所以，当成本c从s变到p时，报童订货量从b变到a。在报童具有损失厌恶时，成本的增加意味着在同等情形下其利润将变低，报童以期望利润为决策参照点时，其获得-损失效用将变小，故其订货量将降低。性质9说明，在企业生产经营中，应该整合有关业务流程，优化资源配置，减少一切不必要的支持，有效降低成本，进而能够扩大自身利润。

从上述得到的结论可以看出，在报童具有损失厌恶时，以其预期利润为决策参照点，能够有效预测和解释报童订购决策行为，从而为企业的运营管理提供决策支持和理论指导。与文平[6]不同的是，本文是在假定需求为连续随机变量情况下进行研究的；Wang等[11-12]和曹兵兵等[13]尽管考虑了报童的损失厌恶，但在设置报童决策参照点时大都选择了一个固定数值，不像本文选择报童预期利润这样的一个随机变量，因此这些文献得到了与本文不同的研究结论，究其原因是由于效用函数的不同；在Xu Xinsheng等[15]中，由于对报童损失厌恶的定义不同，且是在CVaR下研究损失厌恶对报童订货量的影响，因而得到的结论与本文存在差异。因此，对照已有研究成果来看，本文的研究参照了依赖偏好理论，特别是选取了报童的预期利润作为其决策参照点，在此情形下研究了报童的损失厌恶对其订货量的影响，使得对报童问题的研究更加符合现实情况，得到的研究结论能够解释理论研究与现实情况之间出现的偏差，从而利用研究得到的结论更为有效地指导现实工作。

4 算例分析

假设产品的随机需求服从均值为600标准差为200的正态分布，即X～N(600,2002)。假如货物的单位购入成本为3元，货物的单位售价为8元，货物的单位残值为1元，即p=8,c=3,s=1。由性质1可知，基于预期的报童的最优订货量除了受单位购入成本、货物的单位售价、货物的单位残值等客观因素决定外还受损失厌恶程度、获得-损失效用在决策中的重要性等主观因素的影响。下面分别讨论损失厌恶程度、获得-损失效用在决策中的重要性这两个因素对报童的最优订货量的影响。

为讨论损失厌恶程度对报童的最优订货量的影响，先固定获得-损失效用在决策中的重要性。通常情况下，人们在决策时既要考虑消费效用函数又要考虑获得-损失效用，不妨设这两者具有相同的重要性，即η=1，损失厌恶程度依次取1、2、3、5、10、20、50、500时基于预期的报童的最优订货量如表1所示。

表1 不同损失厌恶程度下报童的订货量

由表1可以看到，随着损失厌恶程度的提高报童的最优订货量随之下降，这与性质2的结论是一致的。

当讨论获得-损失效用在决策中的重要性对报童的最优订货量的影响时，则与前者相反，需要固定损失厌恶程度。不妨假设损失厌恶程度为2，即λ=2，获得-损失效用在决策中的重要性依次取0、1、2、3、5、10、20、300时基于预期的报童的最优订货量如表2所示。由表2可以看到，随着获得-损失效用在决策中的重要性的提高，如果报童是损失厌恶的，报童的最优订货量也会下降，这与性质5的结论是一致的。但是如果报童是损失喜好的，随着获得-损失效用在决策中的重要性的提高，报童的最优订货量反而会提高。

表2 不同决策权重下报童的订货量

5 结语

报童问题是现实生活中常见的决策问题，对它的研究讨论有助于管理者做出科学的、有效的决策。本文利用Koszegi与Rabin的参照依赖偏好理论对报童问题进行了研究，不仅求得基于预期的最优订货量而且讨论了最优解的性质。研究发现，基于预期的报童的最优订货量不仅与货物销售的概率分布、价格等因素有关还与报童的损失厌恶程度有关。如果报童是损失厌恶的，报童的订货量要小于经典报童问题的订货量，而且其订货量随着损失厌恶系数λ的增加而减少。如果报童是损失偏好的，报童的订货量则大于经典报童问题的订货量，而当报童是损失中性时，报童的最优订货量即为经典报童问题的最优订货量。这些与先前研究的大部分实证结果是一致的。需要说明的是，损失厌恶在以前也被用于报童问题的研究中，但报童利润参照点的选取大都为零利润或者某一个固定的数值。本文根据Koszegi与Rabin的思想，选取报童的预期作为报童利润的参照点，将报童利润的参照点从常数变为一个随机变量，这些都为报童问题的研究提供了新的视野。

对报童问题的研究还可以在以下几个方面进行一些有意义的探索。一是在报童参照点的选取上，本文是将报童的预期作为报童利润的参照点，能否选择别的参照点以及如何在这些参照点下讨论报童问题将是值得去做的工作。二是报童问题显然与决策理论息息相关，近几十年来，新的决策理论特别是新的风险决策理论不断出现，在新的决策理论下讨论报童问题也将是一个有意义的工作。

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