新型长方体形囊式空气弹簧垂向动态特性研究

徐国敏， 周 炜， 何 琳， 帅长庚

(1.海军工程大学 振动与噪声研究所，武汉 430033； 2.船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033)

空气弹簧作为一类非线性隔振器，承载能力大，固有频率低，并且其固有频率在载荷变化时几乎保持不变，与橡胶隔振器相比性能优势明显。空气弹簧刚度不仅与内部气压有关，还与体积、有效面积等密切相关，因此刚度的研究一直是空气弹簧研究领域的重要问题。

近年来，国内外研究者在空气弹簧研究领域做了大量工作。Ryaboy[1]研究了回转体空气弹簧的动态特性与稳定性。而Quaglia等[2]从理论上推导了囊式回转体空气弹簧刚度的表达式。Heertjes等[3]提出了一种空气弹簧非线性模型。张利国等[4]总结了目前空气弹簧的研究现状，并讨论了空气弹簧的刚度特性、频率特性和阻尼特性。陈燎等[5]利用多项式拟合空气弹簧动态特性，并建立了悬架模型变刚度仿真方法。王家胜[6]建立了带附加气室空气弹簧系统的非线性动力学理论模型，并系统研究了带附加气室空气弹簧系统的动刚度问题。成小霞等[7]研究了囊式空气弹簧载荷模型。叶珍霞等[8]利用Marc有限元软件中的Rebar单元建立空气弹簧胶囊模型，并分析了空气弹簧刚度的垂向和横向特性。相比常规回转体空气弹簧，对长方体形空气弹簧的系统研究相对少见。楼京俊等[9-10]等研究了某型长方体形空气弹簧的刚度特性。

本文推广了传统的空气弹簧刚度计算公式，可用于计算不同振动频率下的垂向刚度值，并可精确描述空气弹簧垂向静刚度向动刚度的转变过程。在理论推导中，本文首次提出了绝热频率阈值的概念。该物理量只与空气弹簧本身性质有关，与外界振动频率无关。绝热频率阈值变化后，空气弹簧的刚度随之变化，而载荷基本保持不变。此性质可用于空气弹簧固有频率的调控，从而在低频范围内获得更理想的隔振性能。

本文提出了一种新型长方体形囊式空气弹簧的设计方案，其理想的长宽比与大承载能力，特别适用于狭长空间内的整体浮筏隔振装置。同时，进行了该型空气弹簧的垂向动态特性试验。试验结果表明，本文提出的刚度计算理论比较准确。通过本文研究，可以加深对非回转体空气弹簧动态特性的理解，指导后续优化改进工作。

1 模型描述

本文建立的单曲囊式空气弹簧模型，如图1所示。图1(a)为囊体的三维示意图(不含上下盖板)，AB为囊体的直边，CB为囊体的圆弧边，B为直边与圆弧相切点。图1(b)为垂向截面示意图。该模型主要基于以下假设：

(1) 囊体材料是柔性材料，只提供切向拉伸力。

(2) 空气弹簧垂向形变过程中，θ角发生变化，而径向囊体长度保持不变。

(3) 额定工况下，空气弹簧的径向囊体始终保持圆弧形状。

(4) 空气弹簧内的空气腔封闭，与外界环境不存在气体交换过程。

(a)囊体三维示意图(b)垂向截面示意图

图1 长方体形单曲囊式空气弹簧示意图

Fig.1 Model of rectangular air springs

一般认为，空气弹簧刚度如式所示

(1)

式中：n为多变指数；A为有效面积。从式(1)可知，空气弹簧的刚度随载荷的变化而变化，而系统固有频率基本保持不变，这也是空气弹簧最大的优点。接下来，本文将从囊体与盖板的受力分析入手，详细讨论影响空气弹簧刚度的因素。

本文理论推导中用到的符号说明，如表1所示。

取径向囊体为分析对象，囊体受力分析示意图见图2。建立囊体所受气压压力和上下盖板拉力F1的受力平衡方程

θ

(2)

取上盖板为分析对象，上盖板受力分析示意图见图3。建立受力平衡方程

pA=F+F1sin θ (3)

图2 囊体受力分析示意图

图3 上盖板受力分析示意图

联立式(2)与式(3)，整理得到

(4)

定义有效面积为

θ

(5)

该有效面积的含义为，空气弹簧的承载力等于囊体内空气施加于有效面积上的压力，即

F=p·Aeff

(6)

2 垂向刚度分析

2.1 绝热频率阈值

空气弹簧的垂向刚度，主要由囊体内空气腔提供。根据刚度定义，易得空气弹簧垂向刚度的计算公式为

(7)

式(7)的第一项描述了空气弹簧内部气压随压缩量的变化情况，第二项描述了有效面积随压缩量的变化情况，通常涉及空气弹簧几何形状的改变。对于本文研究的空气弹簧，有效面积的改变意味着高度h和夹角θ发生了改变。

在空气弹簧的振动过程中，通常认为内部气体气压变化遵循多变过程的规律，即

(p0+p)Vn=常数

(8)

式中：p0为大气压；p为空气弹簧内部的气体表压；V为空气腔体积；n为多变指数。假设空气弹簧作单频简谐振动，则多变指数的取值随振动频率的变化而变化。当振动频率很低时，空气腔的压强变化近似服从等温过程，此时n≈1；当振动频率很高时，压强变化近似服从绝热过程，此时n≈κ。在常温低压下，空气的绝热指数κ=1.4。一般情况下，n=1.3～1.38。

实际上，分析动刚度时，应将多变指数视作空气弹簧振动频率的函数。接下来本文通过分析多变指数与振动频率的关系，研究空气弹簧动刚度随振动频率的变化关系。

考虑空气弹簧上盖板的压缩过程。设空气腔内气体压缩前为状态1，热力学参数为(p1,V1,T1)；压缩后为状态2，热力学参数为(p2,V2,T2)。压缩过程中外界对系统单位质量做功值为(详细推导见参考文献[11])

(9)

式中：cV为气体定体热容。压缩过程中系统单位质量内能变化值为

dU=cV(T2-T1)

(10)

由热力学第一定律，得到压缩过程中系统单位质量与环境热交换量为

(11)

另一方面，从材料的导热系数出发，并对温度变化取线形近似，得到一个压缩过程中的热交换量为

(12)

式中：Ts为空气弹簧作单频简谐振动的周期。联立式(11)与式(12)，整理得到多变指数与振动频率的关系为

(13)

式中；λ为材料导热系数；Ac为空气腔与囊体盖板的接触面积；Dc为接触材料的厚度。常温下，空气的定体热容与绝热指数分别为cV=0.718 kJ·kg-1·K-1，κ=1.4。多变指数n与振动频率f的关系如图4所示。本文将η命名为绝热频率阈值，当f=η时，多变指数恰好等于1.2。此时，若提高振动频率，则多变指数迅速趋近于绝热指数1.4；若减小振动频率，则多变指数迅速≈1.0。

在多变过程中，任意体积对应的气压为

(14)

图4 多变指数n与振动频率f的关系

当空气弹簧垂向形变量x较小时，体积变化可近似认为随形变量线形变化，即V=V1-Ax。在式(14)中，等式两边对位移求导，得到

(15)

将式(15)代入刚度计算式(7)，得到空气弹簧动刚度的计算公式

(16)

式(16)描述了空气弹簧内容积变化对刚度特性的影响，接下来讨论有效承载面积的变化对空气弹簧刚度特性的影响。

2.2 有效承载面积

在刚度计算式(7)中，第二项描述了有效承载面积随空气弹簧形变而变化的情况。有效面积的计算公式为

θ

(17)

在式(17)中，等式两边对位移求导，得到

(18)

(19)

将式(19)化简，得到夹角θ随空气弹簧额定工作高度和形变量变化的关系

(20)

式(20)为超越方程，难以求得严格解析解。当空气弹簧处于额定工作高度时(x=0)，利用牛顿法可求得夹角与空气弹簧额定高度的关系，如图5所示。在囊壁径向长度L不变的情况下，夹角随额定高度增大而增大，当h=L时，夹角达到最大值90°。

图5 夹角θ与空气弹簧额定高度的变化关系

(21)

图6 额定高度下导数dθ/dx与夹角θ的变化关系

图7 空气腔与盖板接触面积变化的示意图

设平衡位置处，囊体与盖板接触长度CD=l，压缩后接触长度C′D′=y(见图8)。存在几何关系

(22)

整理式(22)得到接触长度随压缩量的变化关系

(23)

图8 空气腔与盖板接触面积变大的示意图(俯视)

此时，盖板与囊体接触面积为

(24)

在式(24)中，等式两边对位移求导，得到描述接触面积变化速率的公式

(25)

2.3 动态刚度

综合前文计算，当夹角θ>0°时，空气弹簧刚度表达式为

(26)

当夹角θ=0°时，空气弹簧刚度表达式为

(27)

当空气弹簧处于额定工作高度，计算垂向静刚度时，式(27)可化简为

(28)

由上述描述空气弹簧刚度的公式可以看出，盖板与囊体接触部分的周长S和夹角θ，也是影响刚度的重要因素。周长越大，或者夹角越大，均使有效面积变小，从而使刚度变小。

在实际应用中，为了简化计算，可先行计算空气弹簧的绝热频率阈值η。若关心的振动频率f<η，则将该频率下的刚度近似为静刚度，令n=1代入公式计算；若f>η，则将该频率下的刚度近似为动刚度，令n=κ代入公式计算。

3 算例研究

本文设计了某型长方体形囊式空气弹簧，额定工况下主要参数如表2。根据前文理论，计算了该空气弹簧的动态刚度特性。

3.1 垂向静刚度计算

本算例考察了两种载荷下(6 t和7 t)，空气弹簧在平衡位置附近的垂向静刚度。计算静刚度时，空气弹簧内部气体经历的是等温过程，因此取多变指数n=1。由于盖板与囊体夹角θ=0°，选用式(27)来计算垂向静刚度。将表2中相关参数代入式(27)，计算结果，如图9所示。图9中，实线表示外加6 t载荷时静刚度在平衡位置附近的变化情况，虚线表示外加7 t载荷时静刚度的变化情况。计算结果表明该空气弹簧具有非线性硬特性，随着压缩量增大，垂向静刚度随之增大。

表2 空气弹簧额定工作状态参数

图9 垂向静刚度理论计算结果

3.2 垂向动刚度计算

理论计算中，首先利用式(13)计算多变指数与频率的关系。由于空气弹簧金属盖板的导热系数远大于橡胶囊体，因此理论上只考虑了空气弹簧内部空气通过上下盖板与外界的热交换量。将表2中相关参数代入式(13)，计算得到绝热频率阈值η=1.079 Hz。

算例中空气弹簧多变指数与频率的关系，如图10所示。计算结果显示，当振动频率等于绝热频率阈值时，多变指数恰好等于1.2，此时空气弹簧内部气体的压缩膨胀介于等温过程与绝热过程之间，正是一个典型的多变过程。当振动频率从1.079 Hz减小时，多变指数迅速趋近于1；当振动频率从1.079 Hz增大时，多变指数迅速趋近于1.4。在工程实践中，可利用绝热频率阈值来解决振动处于某一频率下，多变指数的取值问题。例如振动频率为10 Hz时，多变指数为1.36，实际计算中即可取n=1.4，近似用绝热过程描述气体行为。

计算垂向动刚度时，由于整个振动过程盖板与囊体夹角θ=0°，依然选用式(27)计算结果，如图11所示。图11中，虚线表示6 t载荷下空气弹簧垂向刚度随振动频率的变化关系，实线表示7 t载荷下的变化关系。计算结果显示，随着振动频率不断增大，空气弹簧刚度由静刚度向动刚度过渡。在振动频率处于0.1～10 Hz时，不能简单将空气弹簧刚度视为静刚度或者动刚度，否则会引入较大误差。

图11 空气弹簧刚度随振动频率的变化关系

4 试验研究

本文制造了一个参数与算例相同的长方体形囊式空气弹簧。利用美国MTS公司通用液压动态试验系统进行试验，试验装置如图12。该型空气弹簧在额定高度下，夹角θ=0°，并且囊体与盖板的接触长度为8 mm。

图12 试验照片

4.1 气压-载荷性能试验

试验前将空气弹簧以额定高度(180 mm)固定在试验机上，缓慢充气至气压预设值，待压力和载荷稳定后记录相应的压力和载荷值。每个试验产品进行两组测试。

利用式(24)计算，得到额定工作高度下空气弹簧的有效面积为0.086 7 m2。利用有效面积，可计算得到载荷随气压变化的线性关系，如图13中实线所示。试验数据点基本落于直线附近，与理论预测值符合良好，这说明本文对有效面积的分析计算比较准确。

图13 载荷随气压的变化关系

4.2 垂向静刚度试验

试验前将空气弹簧以额定高度(180 mm)固定在试验机上，缓慢充气，直到垂向载荷达到预设值时停止充气，记录载荷预设值对应的气压作为气压预设值，然后进行垂向静刚度试验。根据力-位移数据拟合出力-位移曲线。将力-位移试验数据对位移求导，得到了静刚度数据，如图14所示。

图14中，虚线表示两种载荷下垂向静刚度的理论预测值，实线表示试验测量值。由于空气弹簧自身的非线性硬特性，随着压缩量增大，空气弹簧刚度逐渐变大。在试验范围内(空气弹簧形变范围-4～+4 mm)，试验数据与理论计算吻合良好，相对误差<5%。这充分验证了刚度计算式(27)的准确性。

图14 静刚度的计算结果与试验数据

4.3 垂向动刚度试验

动刚度试验前的准备工作与静刚度试验相同。加载不同频率的位移激励后，测量得到周期运动下力与位移的峰峰值数据。计算力与位移之比即可得到特定载荷下，不同频率时的动刚度数据，如图15所示。

在算例研究中，已计算得到了垂向动刚度的理论计算值。图15中，虚线表示两种载荷下垂向动刚度的理论预测值，三角形数据点表示试验测量值，详细数值见表 3和表 4。理论计算与试验数据均表明，随着振动频率提高，空气弹簧多变指数逐渐变大，动刚度也随之逐渐增大。比较试验数据与理论预测值，可知在试验范围内两者相对误差<5%，充分表明本文关于多变指数与振动频率关系的分析比较准确。

表3 载荷6 t下动刚度理论计算与试验数据

表4 载荷7 t下动刚度理论计算与试验数据

图15 动刚度的计算结果与试验数据

4.4 动态特性对比

本文试制样机的关键结构参数如表5所示。

表5 长方体形囊式空气弹簧关键结构参数

将本文空气弹簧的试验数据与商用圆形囊式空气弹簧的动态特性对比，结果如表6所示(数据来源：ContiTech官网[13-14]，Firestone官网[15])。通过对比可知，在狭长空间内，现有商用空气弹簧无法兼顾空间适用性与大承载能力两方面需求，而本设计可以同时满足上述两项需求，同时未损失过多低频隔振性能，在高铁、船舶等行业具有广阔的应用前景。

表6 本设计与商用空气弹簧动态特性对比

5 结 论

本文在理论上推广了垂向刚度计算公式，通过刚度计算公式可以看出，刚度会随着内部气压的增大而增大。在气压一定时，不同的几何参数也会显著影响其刚度的大小。同时，详细讨论了多变指数和垂向动态特性同系统振动频率的关系，并提出了概念绝热频率阈值。通过对空气弹簧的几何设计和材料选用，可以得到理想的绝热频率阈值，在低频振动范围可获得更低的固有频率，从而改善空气弹簧的隔振性能。

同时，本文设计了一种新型长方体形囊式空气弹簧并进行了试验研究，验证了上述理论的准确性。与常见的商用空气弹簧相比，长方体形空气弹簧更加适用于狭长空间内的浮筏隔振装置，在高铁、船舶等行业具有广阔的应用前景。

[1] RYABOY V M. Static and dynamic stability of pneumatic vibration isolators and systems of isolators[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(1):31-51.

[2] QUAGLIA G, GUALA A. Evaluation and validation of an air spring analytical model[J]. International Journal of Fluid Power, 2003, 4(2):43-54.

[3] HEERTJES M, VAN DE WOUW N. Nonlinear dynamics and control of a pneumatic vibration isolator[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2006, 128(4):439-448.

[4] 张利国，张嘉钟，贾力萍，等．空气弹簧的现状及其发展[J]．振动与冲击，2007，26(2)：146-151．

ZHANG Liguo, ZHANG Jiazhong, JIA Liping, et al. Future and development of air springs[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(2):146-151.

[5] 陈燎，周孔亢，李仲兴．空气弹簧动态特性拟合及空气悬架变刚度计算分析[J]．机械工程学报，2010，46(4)：93-98．

CHEN Liao, ZHOU Kongkang, LI Zhongxing. Dynamic characteristics fitting of air springs and numerical analysis of air suspensions with variant stiffness[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(4):93-98.

[6] 王家胜．带附加气室空气弹簧动力学特性研究[D]．南京：南京农业大学，2009．

[7] 成小霞，李宝仁，杨钢，等．囊式空气弹簧载荷建模与实验研究[J]．振动与冲击，2014，33(17)：80-84．

CHENG Xiaoxia, LI Baoren, YANG Gang, et al. Modeling and tests for load of a cystiform air spring[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(17):80-84.

[8] 叶珍霞，朱海潮，鲁克明，等．囊式空气弹簧刚度特性的非线性有限元法研究[J]．振动与冲击，2006，25(4)：94-97．

YE Zhenxia, ZHU Haichao, LU Keming, et al. Study on stiffness characteristics of air spring with nonlinear finite element method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2006, 25(4):94-97.

[9] 楼京俊，朱石坚．长方体形空气弹簧刚度计算[J]．噪声与振动控制，2001，21(4)：22-26．

LOU Jingjun, ZHU Shijian. Stiffness calculation of rectangular air spring[J]. Noise and Vibration Control, 2001, 21(4):22-26.

[10] 朱石坚，黄映云，何琳．长方体形囊式空气弹簧刚度特性[J]．中国造船，2002，43(2)：39-46．

ZHU Shijian, HUANG Yingyun, HE Lin. Study on stiffness characteristics for rectangular air springs[J]. Shipbuilding of China, 2002, 43(2):39-46.

[11] 沈维道，蒋智敏，童钧耕．工程热力学[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[12] SEARS F W, ZEMANSKY M W, YOUNG H D. University physics[M]. Boston: Addison-Wesley, 1987.

[13] ContiTech. FS 960-12 RS data sheet. https://www.contitech.de/catalogs/iap/documents/datasheets/FS_960-12_RS_GB.pdf[EB/OL]. 2016.

[14] ContiTech. FS 330-11 Cl data sheet. https://www.contitech.de/catalogs/iap/documents/datasheets/FS_330-11_Cl_GB.pdf[EB/OL]. 2016.

[15] Firestone. Airide springs selection guide. http://firestoneip.com/-/media/www/fsip/files/CommTruckTrailer/OEM/Selection%20Guides/1975SelectionGuideEN.pdf[EB/OL]. 2016.