透视中考试题中“点的坐标”

曹玲玲

“点的坐标”内容虽然不多，但涉及的问题却不少，它是函数和几何图形类问题研究的基础，也是整个“数学大厦”的基石，所以我们在学习这部分内容时，只有准确把握四个象限内和坐标轴上点的坐标特征，领会图形变换与坐标的关系，理解坐标的意义，才能做到有的放矢，从容应对.下面仅以2017年中考试题为例予以分析，希望对大家的学习有所帮助.

考点1 探寻点的特征

例1 （2017·贵港）在平面直角坐标系中，点P（m-3，4-2m）不可能在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】本题没有正面考查点在第几象限，而是反过来问不可能在第几象限，命题者有意考查同学们逆向思维的能力和分类讨论的意识，在解题思路上我们可以考虑先确定点P的横坐标的符号，再分析点P的纵坐标的符号，从而确定该点所在的象限.

【解答】①当m-3＞0，即m＞3时，4-2m＜-2，所以点P（m-3，4-2m）在第四象限；②当m-3＜0，即m＜3时，4-2m＞-2，所以点P（m-3，4-2m）可以在第二或第三象限.综上所述，点P不可能在第一象限，故选A.

【点评】本题重点渗透了分类讨论的思想，在处理该问题时我们应思考，m-3和4-2m能同时为正吗？可能同时为负或一正一负吗？具体可分类列出下面四个不等式组：

然后我们观察哪组不等式组无解即可.另外，作为选择题还可以用特殊值法，分别取一些m的值代入进行验证.

考点2 确定点的坐标

例2 （2017·常州）如图1，已知矩形ABCD的顶点A、D分别坐落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD∶AB=3∶1，则点C的坐标是（ ）.

图1

A.（2，7）B.（3，7）C.（3，8）D.（4，8）

【分析】本题以矩形为载体，考查矩形性质的运用，解题的关键是将AD∶AB转化为AD∶DC，再运用相似将其转化为△OAD与△FDC的相似比（如图1），进而通过比求出CF和DF的长，最终得到点C的坐标.

【解答】过点C分别作CE⊥x轴、CF⊥y轴，垂足分别为E、F，由题意可得：

△CFD∽△DOA，

∵OD=2OA=6，∴CF=2，DF=1，

∴CE=OF=OD+DF=7，

故点C的坐标为（2，7）.

【点评】同学们在解决此类问题时先要结合条件搞清楚图形的特征，抓住基本模型——“一线三等角”（∠DOA=∠ADC=∠CFD=90°），找出相似三角形，运用相似比解决问题.

考点3 变换点的位置

例3 （2017·无锡）操作：“如图2，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换，则点P（a，b）经过T变换后得到点Q的坐标为______，点M经过T变换后得到点N（6，-3），则点M的坐标为____.

图2

【分析】本题实质上是通过旋转变换考查等边三角形的性质，形成变换前的点与变换后的点之间的对应关系，在找到这个对应关系的基础上运用方程解决问题.

【解答】如图2，连接CQ，过点Q作QD⊥PC于点D，由旋转可知△PCQ为等边三角形.

∵P（a，b），∴OC=a，PC=b，

事实上，不论P（a，b）在第几象限，变换后的点Q的坐标始终为Q（）［注：可分P在x轴上方、P在x轴下方两种情况讨论］，故设M（x，y），则N（

【点评】解决旋转变换类问题的关键是抓住旋转的角度和旋转前后的不变性，结合图形的特征解决问题.

由于“点的坐标”这部分知识容易与其他知识相融合，近几年来，中考试题对其考查的力度不断加大，尤其是结合平面几何的相关知识，希望大家在思想上能给予足够的重视.

考点4 探索点的规律

例4 （2017·黔东南）把多块大小不同的30°直角三角板按如图3所示摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；……按此规律继续下去，则点B2017的坐标为______.

图3

【分析】观察图形，寻找图形的变化规律，在依次求出点B，B1，B2，B3坐标的基础上，结合B到B4，依次由x轴负半轴、y轴负半轴、x轴正半轴、y轴正半轴，再回到x轴负半轴，经过排队观察总结出其变化的规律后，根据规律去猜想点B2017的坐标.

∴OB2017=（2018=31009，

又∵2017÷4=504……1，

∴点B2017在y轴负半轴上，

∴点B2017的坐标为（0，-31009）.

【点评】解决此类问题的关键在于学会观察图形变化的规律，这里有两个变化的规律，一是OBn的长度随着n的变化而变化，二是点Bn的位置在旋转中发生变化，结合这两个变化的规律，先表示出线段OB2017的长，再确定点B2017的位置，从而解决相关问题.