从“引而不发”到“水到渠成”———两次执教《最小公倍数》的感悟和反思

倪斌强

【教学内容】

人教版五年级下册第68、69页。

【教学过程】

教学片断一

第一次执教

出示：有一种墙砖长3分米、宽2分米，如果用这种墙砖铺图形（用的墙砖都是整块），能铺成正方形吗？如果能，正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？

师：拿出墙砖模型自己摆一摆、想一想。

（每位学生准备若干块长3厘米、宽2厘米的长方形硬纸板）

（学生独自拼摆，教师巡视发现以下两个问题）

问题一：学生盲目地拼摆，很长时间拼不出。

问题二：很多学生在拼的过程中不停地摆弄长方形模型，把各个长方形的边紧紧贴在一起，唯恐长方形的边之间有缝隙。

第二次执教

师：今天我们一起来解决铺墙砖的问题，大家看课件：这里有一种长3分米、宽2分米的墙砖，如果我往墙上拼上一块，拼成一个怎样的长方形？再拼一块呢？……

（课件演示拼的方法）

师：刚才我们都铺了一些长方形，那么有没有可能铺成正方形呢？

［出示：用长3分米、宽2分米的墙砖铺正方形（用的墙砖都是整块）］

想象：如果能拼成正方形，它的边长可能是几？

操作：用长方形模型动手摆一摆、画一画。（把能画出来的正方形都在作业纸上画出来）

思考：铺成的正方形的边长与长方形墙砖的长和宽有什么关系？

（每位学生一块长3厘米、宽2厘米的长方形硬纸板，独自摆画）

【反思：第一次执教虽放得很开，但是由于用长方形铺成正方形容易受到面积的干扰，学生的思维很难聚焦到边上，因此难度很大，所以会导致大多数学生盲目地摆和拼，甚至很长时间也没有拼出正方形，影响了上课的效率。另外提供给学生操作的学具过多（每位学生若干个），学生会不停地拼摆长方形模型的边与边，使边与边能紧密相连，唯恐它们分开，因此学生的思维会流离于主题之外。第二次执教通过细致铺垫，一方面让学生知道该怎样整齐有序地铺，避免由于学生把墙砖放得方向不同（横竖乱摆），干扰对概念的理解；另一方面使学生理解拼成图形的边与原长方形的长、宽之间的关系，为后面理解正方形的边长与长方形的长和宽之间的关系做好铺垫。让学生在坐标图上摆一摆、画一画更利于学生发现正方形边长与长方形长和宽之间的关系，给学生的操作也降低了难度。只提供给学生1个长方形模型，而没有提供充足的块数，充分考虑到了小学生拼图形的特点，排除了干扰的因素，使得学生的思维会更聚焦于主题中，同时，用一块拼画更能促进学生的思考。】

教学片断二

第一次执教

师：能否拼成正方形？

生：能。

教师请拼成的学生上台展示拼成的正方形。（学生小心翼翼地拿上来，并不停地摆弄各长方形的边，使之靠紧）

师：说说你是怎么拼的？

生：我横的摆3块，竖的摆2排，刚好能拼成边长是6厘米的正方形。

师：很好，还可以拼成边长不一样的正方形吗？

生：这个我没想好。

师：其他同学还有不同的正方形吗？

（学生默不作声）

师：大家看，拼成正方形的边长与小长方形的长和宽有什么关系？

生：边长是长的倍数，也是宽的倍数。

师：对了，那既是2的倍数也是3的倍数的数还有没有呢？

生：还有 12、24……

师：对了，像 6、12、18、24……这样，既是 2 的倍数又是3的倍数的数，也就是2和3公有的倍数，我们就叫这个数是2和3的公倍数。

第二次执教

师：能否拼成正方形？

生：能。

师：（请画出3个正方形的同学展示自己的作业纸）你是怎么思考的？

生：横的摆过去，边的长度分别是2、4、6、8、10、12、14、16、18 厘米。

师：这些数有什么共同点？（板书：2的倍数）

生：竖的摆上去，边的长分别是 3、6、9、12、15、18厘米。

师：这些数有什么共同点？（板书：3的倍数）

师：拼成的边长可以是哪些数？（教师圈一圈）

师：要怎样的数才可以？

生：既是2的倍数，又是3的倍数。（板书）

师：边长可以是哪些数？

生：24、30……

师：为什么？

生：因为这些数既是2的倍数，又是3的倍数。

师：你是怎么这么快找到这些数的？

生：它们是6个、6个增加的。

师：你真善于发现，确实是这样的。像6、12、18、24……这样，既是2的倍数又是3的倍数的数，也就是2和3公有的倍数，我们就叫这个数是2和3的公倍数，2和3的公倍数有哪些？

生：6、12、18、24……

【反思：第一次执教时学生由于受到学具的影响最多拼成了一个正方形，只拼成一个正方形而要发现拼成的正方形的边长和小长方形的长和宽之间的关系很难，所以会出现冷场的一幕，只能由教师直接引导和告知，这样的学习是低效的。第二次执教时由于课始恰到好处的铺垫，并精心设计了在坐标图上用一个长方形来画，动手之前先让学生思考如果能铺成正方形，它的边长可能是几？再动手摆一摆，画一画。然后思考：铺成的正方形边长与长方形墙砖的长和宽有什么关系？（这里采用先想后拼摆验证的方式，一方面对于学优生来说可以培养他们的想象力，另一方面对于学习较为困难的学生一开始虽然想不出，但在拼摆过程中还是可以找到最小的正方形的）；学生经过独自思考、动手操作后，集体交流时教师在关键点恰到好处的提问：你是怎么思考的？边长可以是哪些数？这些数有什么共同点？使学生的思维从开始的面，到后来的边，再到后面的点（数），逐步抽象，思维逐步走向清晰，学生发现光是3的倍数是不行的，同样光是2的倍数也不行，要拼成正方形，它的边长要既是3的倍数，又是2的倍数，这是理解公倍数这个概念的关键。】

教学片断三

第一次执教

师：刚才我们通过铺地砖，知道了公倍数，谁来说说什么是公倍数？

师：像6、12、18……是3和2公有倍数的数，叫做这两个数的公倍数。

师：观察一下，这些公倍数有最大的吗？

生：没有。

师：那有最小的吗？

生：有。

师：最小的那个公倍数，我们叫做这两个数的最小公倍数。

第二次执教

师：小松鼠一次能跳4格，小猴一次能跳6格，它们从同一起点往前跳，跳到同一点会是哪几格？

师：先想一想，会是哪几格？再画一画，验证一下你的想法。

（学生独自完成后集体交流）

师：我们一起看一看跳格子和前面的铺地砖有什么共同点？

生：找的都是两个数的公倍数。

师：什么是两个数的公倍数？

生：两个数公有的倍数。

生：都没有最大的公倍数，都只有最小公倍数。

师：什么是最小公倍数？

生：所有公倍数中最小的一个公倍数。

师：从两个数有公倍数可以联想到什么？

生：三个数之间是否也有公倍数？四个数呢？五个数呢？

（学生举例验证）

师：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。

【反思：概念的形成是从一定的具体例子出发，以直接经验为基础，通过对材料观察、比较所得到的感性认识，以学生的感性经验为基础，形成表象，进而以归纳方式抽象出事物的本质属性，获得数学概念的过程。

第一次执教通过一个例题直接引出公倍数和最小公倍数过于匆忙，学生在没有找到事物的共性前是不可能很好地理解公倍数和最小公倍数这两个概念的。通过一个例子就得出公倍数概念是草率的。在概念数学化的过程中最为核心的思维活动是概括。但在此次教学中，这个应当充分展开的思维过程，被压缩为掌握概念的结果，甚至以记住概念、说出它的定义来取代对概念本质属性的认识过程，这是轻过程、重结果的现象。

第二次执教先让学生解决铺地砖的问题，再让学生解决跳格子问题。通过两个具体的例子让学生比较这两题的共同点（都是求两个数的公用倍数），学生很自然地概括出公倍数、最小公倍数等数学概念。这个教学过程使学生从生活进到数学，通过对实际问题的反思抽象，获得对公倍数、最小公倍数概念内部结构特征的直接体验，学生不仅能清楚地体会到数学的内部联系（倍数和公倍数），而且能真切地体会到数学与外部生活世界的联系（公倍数与铺墙砖、跳格子），体会到数学的特点和价值。体会到“数学化”的真正含义，从而帮助他们获得对数学的正确认识。】

【课后反思】

1.精选素材，学习从无味变得有味。

斟酌再三，还是选用课本上的素材——铺地砖问题，是因为数学来源于生活，从学生的现实生活中寻找一些能够“自动地”反映公倍数、最小公倍数内部结构特征的实际问题，让学生通过解决这些生动具体的实际问题，获得对公倍数、最小公倍数概念内部结构特征的直接体验，积累数学活动的经验；在此基础上，再引导学生从生活进到数学，通过对实际问题的反思抽象，引出公倍数、最小公倍数等数学概念，并通过对解决问题过程的进一步提炼，总结出求最小公倍数的方法。这样，学生获取知识的过程被“拉长”了，花的时间可能也要稍多一些，但是比在“纯数学”的范畴内经历概念的形成过程更有挑战性，更能激发学生学习的内驱力。在这一过程中，学生学习的积极性和主动性被充分地调动起来，当他们面对那些生动有趣的实际问题时，会自觉地调动起已有的生活经验和那些“自己的”思维方式参与解决问题的过程，主动地借助各种外部的物质材料来展示自己内部的思维过程；通过经历这一过程，学生能获得对数学知识更深刻的理解。

2.活用教材，体验从单薄变得厚实。

教材出示用长方形的墙砖铺正方形的情境后让学生直接动手操作，用长方形模型的硬纸板拼摆正方形，这时多数学生是盲目地拼，很多学生由于没有教师的引导，横摆竖摆的都有，很难拼成正方形，或者就是拼成正方形也只有单一的一个，不能很好地激发学生思考，这样的体验是单薄的、浅层的。而我在实际的教学中让学生在坐标图上摆一摆、画一画，用坐标图更利于学生发现正方形边长与长方形长宽之间的关系，给学生的操作降低了难度。还有通过课始细致地铺垫，学生知道该怎样整齐有序地铺，避免由于学生把墙砖放得方向不同，干扰对概念的理解。也使学生初步感知拼成图形的边与原长方形的长、宽之间的关系，为后面理解正方形的边长与长方形的长和宽之间的关系做好铺垫。这样既尊重了教材，又用活了教材，使学生的操作体验变得更加具体、有效和厚实。

3.有效引导，交流由浮浅走向深入。

《数学课程标准》指出“学生是数学学习的主人，教师是学生学习的引导者。”引导需要含而不露、指而不明、开而不达、引而不发。只有这样，才能让学生更理性地进行数学思考，学生之间、师生之间的交流也才能由浮浅走向深入。学生在拼摆过程中一直在思考：铺成的正方形边长与长方形墙砖的长和宽有什么关系？学生经过独自思考、动手操作后，集体交流时教师提问：是怎么思考的？边长可以是哪些数？这些数有什么共同点？教师进行这样有效地引导，使学生的思维从开始的面，到后来的边，再到后面的点（数），逐步抽象，思维逐步走向清晰，学生发现只有3的倍数是不行的，同样只有2的倍数也不行，要拼成正方形，它的边长要既是3的倍数又是2的倍数，这是理解公倍数这个概念的关键。解决公倍数概念后，再让学生比较“铺地砖”与“跳格子”这两题有什么共同点，学生很自然地想到都是求两个数的公有倍数，水到渠成地概括出公倍数、最小公倍数等数学概念。