深覆盖层动态模型中阻尼及边界条件的研究

张民心，孙万泉

(华北电力大学，北京 102200)

我国西部水电资源丰富，地震频繁，地质条件多为深厚覆盖层基础，在这种基础条件上修建水电站厂房，其基础的振动问题尤为重要。因此，建立合理的深覆盖层动态模型对水电站厂房动力分析有着重要的意义。目前主要的深覆盖层振动响应分析方法为Idriss和Seed提出的频域等效线性法[1]，该方法把深覆盖层近似地看做水平分层的土层，用一维波动方程来描述，但其计算过程会受到时域频域转化时带来的影响而产生不合理结果[2]。

由于深覆盖层地质材料的非线性[3- 4]，且有限元模型需要建立人工边界来反映外部土体对模型的影响，所以阻尼系数计算方法的选取，不仅直接影响着土体单元的计算精度，也影响人工边界设置的合理性。本文采用不同的边界条件及阻尼参数取值方法分别建立动态模型，通过分析对比，研究建立更为合理的深覆盖层动态模型。

1 深覆盖层阻尼系数的计算方法

深覆盖层模型中土体阻尼系数的选择十分重要，本文运用下述3种工程中常用的阻尼系数计算方法构建动态模型，同时对比在不同的边界条件下，何种阻尼系数计算方法更为合理。

(1)第一种方法[5]，瑞利阻尼系数计算式为：

(1)

在选定土体单元敏感频率fa和fb的条件下(一般为0.5～5Hz)，假设敏感频率边界处h1=h2，土体阻尼比表达式为：

(2)

(3)

如图1所示，计算得到的土体阻尼比与实际阻尼比在敏感频率之间偏小，在敏感频率范围之外偏大。但这种方法使用简便，可以通过阻尼比直接计算出土体单元阻尼系数的大小，简化了深覆盖层动态模型的计算过程，为较为传统的计算方法。

图1 计算得到的阻尼比与频率关系曲线

(2)第二种方法[6]，Hudson等人提出的阻尼计算方法考虑了振源的特点，把输入振源的主频率参与到运算中。在深覆盖层动态模型计算中，阻尼系数的表达式为：

(4)

(5)

式中，wa—深覆盖层土体的主频，wb=nwa；n—大于we/wa的奇数；we—输入振源的主频率。

(3)第三种方法[7]，邹德高教授提出的阻尼系数计算方法，其主要过程如下：

根据以上方法可知土体边界频率处的阻尼比为：

(6)

(7)

求解阻尼比系数可得：

(8)

(9)

将求得的两个阻尼系数带入最小阻尼比中得到

(10)

定义阻尼平均值h0:

h0=(hmax+hmin)/2

(11)

把(10)代入(11)得到阻尼系数为

(12)

(13)

此方法计算的土体阻尼比与频率的关系如图2所示，依旧与实际阻尼有一定偏差，但在数值模拟分析中可以把h0近似看做所有土体单元阻尼比的平均值，既能够简化模型计算过程，又一定程度上加大了深覆盖层土体特性对阻尼的影响。

图2 计算得到的阻尼比与频率关系曲线

2 深覆盖层基础的边界条件

深覆盖层动力分析涉及半无限域土体的模拟问题，因此合理的人工边界是解决问题的关键。目前较为常用的边界条件为在土体侧立面施加竖向约束，但该边界条件忽略了外部土体对动态模型的影响，也无法体现深覆盖层土体边界的非线性特性，为提高计算精度，可在侧面边界节点上施加粘弹性边界条件[8]，该方法在边界节点上设置并联的阻尼及弹簧元件，改进了动态模型中的刚度及阻尼矩阵，实现了考虑深覆盖层辐射阻尼及非线性特性的振动分析方法。

其中模型边界法向物理元件的参数为

(14)

Cn=ρcp∑Ai

(15)

模型内切向边界物理元件参数为

(16)

Ct=ρcs∑Ai

(17)

式中，G—边界处土体的剪切模量;ρ—土体的密度;cp、cs—土体的膨胀波、剪切波波速;r—散射源至边界上节点的距离；∑Ai—边界上节点所代表的面积。

3 深覆盖层动态模型的振动分析

为了对比不同阻尼计算方法及边界条件对振动反应的影响，对某高地深覆盖层进行动力反应分析，同时与传统的频域等效线性法计算结果进行对比验证。

3.1 深厚覆盖层计算模型

参考葛伟[9]建立三维土柱模型如图3所示，土柱由30个实体单元组成，计算采用两种边界条件对比，第一种采用较为常用的底部固定约束四周竖向约束的边界条件；第二种为四周及底部施加弹簧阻尼元件的人工粘弹性边界。

图3 三维有限元土柱模型

研究表明[10]，土体的剪切模量比、阻尼比是关于剪切应变的函数。有限元深厚覆盖层动态模型通过该函数进行迭代运算来实现土层阻尼的非线性特性，且其计算过程如图4所示，一般在3～7个迭代步内可实现收敛。

图4 深覆盖层动态模型的计算方法

3.2 深覆盖层土体参数

选取某高地42m深度土层地质数据，该深覆盖层由砂土及黏土构成，分为15层，覆盖层各层土体参数见表1，黏土的动剪模量与阻尼比特性如图5所示，砂土的动剪模量与阻尼比特性如图6所示，振源时程数据采用如图7所示的6级烈度地震时程加速度数据。

表1 土层的分层参数

图5 黏土剪切模量与阻尼比随剪切变量关系

图6 砂土剪切模量与阻尼比随剪切变量关系

图7 地震动时程数据

4 计算结果分析

加速度峰值延深度分布对比如图8所示。

图8 加速度峰值延深度分布对比图

由图8可知，虽然采用的阻尼系数选取方法及边界条件不同，但计算结果的趋势均与频域等效线性法一致，曲线相关系数均在0.8以上，验证了本文建立的深覆盖层动态模型的有效性。其中第一种阻尼计算方法低估了0.5～50Hz频率范围内的阻尼，所以该阻尼计算方法得出的结果均大于其他方法。Hudson的阻尼计算方法考虑了振源的影响，补偿了部分在敏感频率区间被低估的阻尼，所以得出的响应加速度峰值较小，更加接近于频域等效线性法计算结果。同样，邹德高的阻尼计算法还一定程度上考虑了土体的频谱特性，使结果较其他两种方法更小，更加合理。

图9 自由地表处绝对加速度反应谱对比图

相较于传统的刚性边界条件，粘弹性边界条件下的计算结果均较为合理，更加贴近频域法结果曲线。刚性边界条件下的计算结果均较大，当采用邹德高阻尼计算法时，求得的自由地表加速度峰值为0.2m/s2，为粘弹性边界条件下该算法结果的1.3倍，如图9所示。以此证明了传统刚性边界条件的缺陷，忽略了模型边界及外部土体对结构的约束作用，导致模型加速度响应结果偏大，影响了计算精度。同时，边界条件的改变不仅影响着土体加速度峰值的大小，也导致了加速度反应谱曲线趋势的改变，说明边界条件与阻尼系数计算方法存在一定的耦合关系。

5 结论

有限元深厚覆盖层动力分析中，阻尼系数和边界条件的选择直接影响着模型计算结果，且具有一定耦合关系。通过上述计算结果的对比得出，通过在四周及底部施加粘弹性边界，同时运用邹德高阻尼计算方法的耦合方法，能够较好的反应深覆盖层动态模型的振动特性。但由于该阻尼系数计算方法仍可能低估敏感频率范围内阻尼，以及有限元法与频域方法的计算差异，使其加速度响应峰值略大于频域法计算结果，所以还需要开展更加深入的研究。

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