基于课程标准的平方差公式教学思考

□刘海涛

（上海市华东师大一附中实验中学，上海 200086）

伴随经济全球化、信息网络化、科技现代化、人工智能化的不断深入，知识经济时代的来临，世界人才竞争异常激烈，人才竞争的本质是教育的竞争，谁赢得教育，就意味着赢得世界的未来.为此世界各国都在创新发展本国的教育，以顺应知识爆炸时代社会发展与个人发展的需要.我国的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.”[1]5平方差公式是特殊多项式相乘的重要规律，是后续学习的公式法因式分解的基础，也是进一步学习数学的重要基础，在代数式的恒等变形中有广泛的应用.平方差公式形成教学中，如何设计，才能实现提高学生的数学素养？本文就此结合平方差公式教学，谈谈笔者的思考.

一、教学设计

【A设计】

首先，创设情境，给出符合运用平方差公式计算的两个多项式相乘问题.（1）(a+4)(a-4)、（2）(2-a)(2+a)、（3）(x+5y)(x-5y)、（4）(2x+y)(2x-y)四个问题让学生随意指定一题，教师立即报出答案，激发学生的求知欲.并且指出，老师有什么法宝吗？学完本节课，每个同学都能达到这个水平.其次，学生运用多项式与多项式相乘的法则，验证教师的答案.再次，探究为什么教师能直接说出结果，学生交流探究，发现规律.最后，学生总结探究结果，得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，并同时用自然语言与符号语言两种方式表述平方差公式，并运用多项式与多项式相乘法则证明公式，运用如下图形面积问题验证公式.

如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2.你能用这两个图来说明平方差公式吗？

【B设计】

图1

图2

首先，要求学生做一个小小设计师，探究设计如下：如图1，有一块边长为a的正方形草坪，一角损坏，边长为b的正方形损坏，无法使用，请你设计一下，剪拼成一个长方形，并把面积表示出来.其次，学生运用准备好的正方形纸片，分组操作，并请同学展示操作结果.（如图2）通过计算得出图2面积为(a+b)(a-b)，图1面积为a2-b2，因为图1与图2的面积相等，所以(a+b)(a-b)=a2-b2.最后，运用多项式与多项式相乘推理得到平方差公式.

【C设计】

【D设计】

首先，教师给出两道题目，79×81、103×97，让学生抢答.要求学生不能用笔算.学生如果能够快速答出，教师询问其方法，如果学生不能答出，教师脱口说出“同学们，你知道是如何计算的吗？”引入新课.其次，给出如下问题串，学生解答.一是现有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数.二是请把这两个数的和与差分别表示出来.三是将所得的和与差相乘并化简.四是两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么?（让学生用自己的语言描述出来）再次，把学生的答案进行归纳总结，抽象归纳出一般情况，获得平方差公式，如：或或者等虽然形式不同，但本质是一样的，是两个特殊多项式相乘，得出平方差公式.最后，运用几何图形图1与图2加以验证说明.

二、教学思考

（一）创新意识

首先，《国家创新驱动发展战略纲要》明确我国创新型国家建设分三步走.第一步，到2020年进入创新型国家行列.第二步，到2030年跻身创新型国家前列.第三步，到2050年建成世界科技创新强国.为实现这个宏伟的目标，教育要为现代社会的发展培养创新型人才，而创新人才的培养要从娃娃抓起.数学教学在培养学生创新意识方面具有不可替代的作用，《标准》指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.”[1]5其次，以上四种教学设计，分别运用了不同的方法培养学生的创新意识.

A设计是让学生在总结归纳中发现平方差公式，学生通过总结发现规律.这个过程，学生要经过分析、比较、抽象概括等思维活动，把一些特殊问题一般化，总结出两个特殊多项式(a+b)(a-b)=a2-b2的一般规律.这个过程，具有一定的创新成分，既能培养学生的抽象概括能力，又能够使学生在独立思考中发现问题、提出问题、总结规律.

B设计中，让学生在设计中发现平方差公式.通过设计，学生很自然地发现(a+b)(a-b)=a2-b2.问题的探究过程，是学生对问题充分思考的过程.在此过程中，学生独立思考问题，发现问题，并提出问题，充分发挥学生的创新意识.此外，数学发展的历史也充分说明，在问题的探究过程中，是发现问题并提出问题创新思维的过程.历史上费马大定理的证明过程，也充分说明了在问题的探究过程中，能够发现问题这一点.希尔伯特说：费马大定理是“一只会下蛋的鸡”.数学家在研究费马大定理的过程中，发现很多新的数学规律.可见在探究过程中，发现问题是科学向前发展的重要途径之一.

C设计中，让学生运用已学过的知识，推理获得平方差公式.推理论证是科学向前发展的非常重要的方法之一，平面几何的发展历程充分说明这一点.学生在推理的过程中，独立思考的能力会得到充分的发展，对培养学生的思维能力、创新意识具有不可替代的作用.学生在学习平方差公式前，掌握了多项式与多项式相乘的法则，因此具备了运用推理获得平方差公式的基础，充分发挥个体的认知能力，通过推理获得创新.

D设计中，运用问题串，让学生通过问题的不断深化，递进式地获得平方差公式.在此过程中，首先要求学生运用字母代替数，充分体现代数的思想.其次学生通过推理获得表现形式不同的平方差公式，最后通过把不同的表现形式一般化，发现问题的本质，总结出公式.学生的思维活动一步一步深入，最后通过归纳总结获得创新的体验.

总之，创设的情境要有利于激活学生创新积极性.数学家的创新是在原生态的创新环境下进行的，学生的创新与数学家的创新有本质的区别，学生是在教师创设的情境下进行，因此情境的创设要有利于学生发现平方差公式.四种设计中，分别运用了归纳创新、推理创新、实验操作创新情境，从教学效果上可以看出，分别达到目的.最后，对学生创新意识的培养，要充分考虑学生的年龄特点，要求不宜过高.我国教育家刘佛年教授指出：“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就称得上创造.我们要把创造的范围看得广一点，不要把它看得太神秘，非要有新的科学理论（不可）才叫创造，那就高不可攀了.”[2]因此，教学中要结合学生的特点，选择恰当的方式方法，培养学生的创新意识.

（二）几何直观

《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”[1]7《标准》对几何直观的内涵进行了描述性说明，运用几何直观可以使学生充分地理解数学.弗莱登塔尔认为：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”[3]数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中谈到：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果，这就是几何直观带给我们的好处.”[4]首都师范大学刘晓玫教授认为：“几何直观就是一种运用图形认识事物的能力.”[5]东北师范大学孔凡哲教授认为：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力[6].从以上的描述性定义不难发现，几何直观的本质是问题与几何图形之间建立联系，并运用图形发现问题、分析问题、解决问题从而使抽象问题直观化，复杂问题简单化，有利于问题解决.毕达哥拉斯发现勾股定理的过程充分说明这一点.因而运用几何直观包含三个要素：问题、图形、联系.如果没有问题与图形之间的联系，就不可能运用图形描述问题与分析问题.图形为观察到的图形、表象表征的图形、想象的图形.教学中要提高学生运用几何直观解决问题的能力.

第一，培养学生问题图形转化的意识.一是要学生有这方面的经历，如在列方程解应用题中，可运用线段图描述问题，从而使抽象问题直观形象化，帮助学生分析问题解决问题.二是几何问题解决过程中，引导学生把已知条件图形化，引导学生运用几何直观中的直观解决问题，久而久之，学生自然会形成一种意识，运用几何图形可帮助理解数学问题.例如：如图3，已知点B，E，C三点在一条直线上，AB=DC，点E是线段BC的中点，AE=DE，求证：AD∥BC.如图3、4所示，把已知条件图形化，运用几何直观分析问题解决问题.三是几何命题证明过程中，要学生学会依据自然语言，正确画出几何图形，进而培养画图意识.

第二，培养学生理解问题的能力.显然学生要理解数学问题，这样才能够把抽象的数学问题转化为直观问题，否则也就无从谈几何直观了.

第三，培养学生的画图能力.对学生的画图能力（包括画函数图象能力）的培养要高度重视，从而提高学生运用几何直观解决数学问题的能力.

第四，要为学生运用几何图形理解数学问题搭建必要的平台.众所周之，学生要积累用几何图形理解非直观数学问题的经验.经验经过内化也是学生认知结构的一部分，可以成为同化新知识的固着点，这样才能提高学生的问题图形转化能力.

图3

图4

第五，培养学生运用函数图象解决问题的能力.函数是数形结合的典范，一是要学生深刻理解平面直角坐标系.平面直角坐标系是数形结合的桥梁，只有理解，才能在数与形之间建构起自然的联系.二是要学生理解函数图象.初中生理解图象的能力不强，很多同学观察图象时，观察不出函数性质，要靠教师归纳的形象语言来死记，不能通过观察理解图象得到函数性质.当进行数形结合时，不理解几何直观与代数问题的对应关系，进而不会运用几何与代数的联系解决问题.因此学生观察理解图象能力要加以培养.把平方差公式与几何图形的面积联系起来，运用几何图形的面积问题说明平方差公式，本节课设计A、B、C、D分别运用几何直观，说明或推导平方差公式，充分培养学生的几何直观意识与能力.

（三）符号意识

《标准》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.”[1]5数学是抽象的科学，由具体实物抽象出数，是数学的第一次抽象.用字母表示数是数学的第二次抽象，学生要经历由字母表示数，再到用字母表示代数式的过程，对初中生来说，要经历这一过程，才能体会代数的基本思想.本节平方差公式具有一般性的规律，是运用数学语言与符号语言来表达的，在公式的获得过程中，要充分培养学生的符号意识.设计A由学生通过四个具体的例子，分析、比较、抽象、归纳、概括得到平方差公式，而这个公式如何表达，可以运用自然语言表达，可以运用字母表达，这个过程就是培养学生符号意识的过程.D设计，首先提出问题，须用字母表示数，然后不同的学生运用的字母可能是不同的，因此得到的式子表面上是有区别的，如：，最后进行归纳总结，得出平方差公式.这个过程，要求学生对代数的思想有深刻理解，才能形成统一的符号化表示.总之，要求学生通过归纳概括抽象出公式的一般形式，这个过程就是一个符号化的过程，有利于培养学生的符号意识以及提高学生的抽象能力.

综上，一是四种教学设计各具特色，虽然获得平方差公式的过程略有不同，但都能从提高学生的创新意识、几何直观、符号意识视角进行设计.二是四种设计都从学生现有的数学认知结构出发，创设认知情境，让学生同化新知识.三是学生创新意识、几何直观、符号意识的培养是一个系统工程，不是一朝一夕就可以完成的，需要长期运用各种方法、多角度对学生进行培养，这样学生的数学素养才能得到提高 .

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］刘海涛.当前初中数学概念形成教学须关注的两大问题［J］.中小学教材教学，2016（2）：61-65.

［3］刘海涛.基于数学认识结构的相似三角形教学思考［J］.教学月刊·中学版（教学参考），2017（7/8）：32-35.

［4］刘海涛.初中数学综合题的教学难点分析及对策［J］.中学数学（初中版），2015（9）：81.

［5］刘晓玫.对“几何直观”及其培养的认识与分析［J］.中国数学教育（初中版），2012（1/2）：23-25.

［6］孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012（7）：92-97.