Mathematica软件在数学分析课程改革中的应用

王春勇

[摘           要]  在数学分析课程改革中融入Mathematica软件辅助计算，可以加深学生对数学思想与概念的理解，提高动手实践能力和解决现实问题的能力。

[关    键   词]  数学分析;Mathematica软件;无穷小;导数;积分

[中图分类号]  G642               [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603（2018）25-0188-01

数学分析是数学系各专业的一门重要基础课，它对后续课程的学习甚至科研工作基本功的训练都起到非凡的作用，关系到整个数学系教学的成败[1]。在课程改革中，借助Mathematica软件的强大计算能力和作图能力，有助于凸显抽象概念的直观意义，了解数学知识产生的背景，提高學生的动手能力。

一、动手做数学，逐步提炼出抽象的概念

整个数学分析都建立在极限的概念之上，而数列极限的“ε-N”定义[2]是学生遇到的一个“拦路虎”。为了扫清障碍，可以设计如下数学实验：

（1）输入数列an=■，作出数列在数轴上对应的一系列点;

（2）输入衡量标准ε=■，计算满足|an-0|<ε的临界值N（ε）;

（3）变动ε，依次求出相应的临界值N（ε）;

（4）动态显示ε-N的依赖关系，体会“任给一个正数ε，总存在相应的正数N（ε），自N（ε）以后，各项都与极限值接近”，进而提炼出一般性的概念。

类似地，对重要极限■1+■n=e，也可以作出散点图，直观体验极限过程[3]。

二、揭示数学对象内部的矛盾，深化对数学思想方法的认识

级数■un蕴含着两个方面的矛盾，一方面项数无穷多，即n→∞，另一方面加项un→0。为了让学生体验无穷小与无穷大的对抗过程，可以设计如下数学实验：

（1）输入级数通项un=■，p=2利用Mathematica的列表功能产生足够多的项;

（2）输入n=10000，计算Sn=■uk，n=1，2…，10000;

（3）作出{Sn}的散点图，观察趋势;

（4）变动n，体会n→∞对和式的影响;

（5）变动p，体会un→0对和式的影响;

（6）直观感知级数收敛的条件是un=O（■）。

三、借助几何直观，直指数学方法的本质

泰勒展开式采用最简单的多项式逼近复杂的函数，应用很广，但学生对冗长的公式望而生畏。为揭示泰勒公式的本质，可设计如下数学实验：

（1）输入超越函数f（x）=sinx，利用Mathematica作出简图[4，5];

（2）输入一次函数f1（x）=x，作出简图并与f（x）=sinx相比较，体会两者在原点切线相同而在其他区间颇有差异;

（3）添加高次修正项f3（x）=-■x3，作出简图并与f（x）=sinx相比较，体会两者在原点处的一阶导数、二阶导数、三阶导数均相等，从而两曲线在较大范围内吻合;

（4）继续输入更高阶的修正项fn（x）=■xn，体会修正项的效果，直观地感受泰勒公式的本质。

四、数学与计算机比翼齐飞，大大增强学生应用数学的能力

硬算固然是数学的基本功，繁杂的计算可以提升学生的思维品质，但较大的计算量往往也是制约学生应用数学知识解决实际问题的瓶颈。而科学计算器Mathematica大大提高了学生的计算能力，内置的函数库、专业的软件包使得学生可以轻松地调用命令计算复杂的积分、超长的表达式、难解的方程组。这将学生从繁杂的计算中解脱出来，学生只需要关注实际问题本身，引进合适的数学工具刻画对象及各种约束条件，然后把计算和作图交给Mathematica去完成。这对于思路灵活的大学生，无疑是一种巨大的鼓舞，他们更乐于把热情和精力集中在新鲜有趣的现实对象上。

比如，关于流量的计算即第二型曲面积分一直是难点，为培养学生兴趣、鼓舞信心，可以设计如下实验：

（1）把液体的流速沿坐标轴分解，得■=（x，y，z）=（P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z））;

（2）输入曲面的方程S：z=z（x，y）;

（3）编写Ma thematica代码[4，5]，计算法向量、投影曲面等;

（4）让Mathematica计算第二型曲面积分。

改变流速和曲面，计算相应的曲面积分。通过软件辅助计算，激起学生学数学、用数学的兴趣;鼓舞学生信心，掌握核心数学思想、列出表达式，则软件辅助计算可轻松解决复杂的数学问题！

五、结语

引入Mathematica辅助数学分析课程的教学，大大提高了计算能力与作图水平，丰富了教学手段，弥补了传统教学的许多不足，有助于揭示数学思想方法的本质，还原数学思维的直观面貌，鼓舞学生不畏艰难、迎难而上的研究热情，让更多的学生学到更实用的数学以解决他们各自面对的现实问题。

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1993.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.高等教育出版社，2010.

[3]王小华.基于Mathematica的高等数学教学实践[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2010，12（4）：195-198.

[4]王福贵，王晓玲.Mathematica及其数学应用[M].中国农业出版社，2013.

[5]杨珏.Mathematica应用指南[M].人民邮电出版社，2000.