创设情境例题培养数学能力

方开娟

[摘 要] 中职数学以能力结构为导向，强调内容的基础性、应用性与发展性，重视学生学习的过程体验。以空间几何体这一章节为例，创设情境例题，旨在研究如何培养中职学生数学建模、解模、释模的能力，提升学生用数学的思维解决实际问题的应用意识。

[关 键 词] 情境实例；建模、解模、释模能力；数学应用

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）29-0155-03

根据最新的《上海市中等职业学校数学课程标准》，当前中职数学课程的任务是让学生通过学习获得新的数学知识与方法，形成在未来生产生活中所必备的自觉发现数学信息、运用数学知识和数学方法解决问题的意识和能力。因此，在中职数学教学中，开展建模、解模、释模的教学活动显得尤为重要，它是数学知识与数学应用的桥梁，帮助学生探索数学的应用价值，产生对数学的学习兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。

所谓数学建模、解模、释模的能力，就是把数学和现实生活联系起来，促进数学概念和方法的理解，让学生学会分析各种数据，选择和应用适当的数学方法和工具解决现实问题，形成理性思维。建模能力，即从具体情境中筛选出与数学相关的有效信息，抽象概括成数学问题，建立相应的数学模型；解模能力，即选择解题策略，分析相关信息进行提炼、加工，找出它们的数量关系，做出解题计划，明确解题步骤，获得数学问题的正确结果，从而解决实际问题；释模能力，即能在原情境中解释解模结果的含义，对是否符合实际情境做出适用性判断，在现实情境下对结果进行阐释以及拓展性探索。因此，数学的建模、解模、释模能力与现实情境中的问题具有如下关系图[1]：

中职数学教学中有一章重要的内容是空间几何体，与以往教材相比，新课程标准中这部分内容无论在目标的要求还是内容的选择上，都发生了很大的变化。依据最新的课程标准，空间几何体是建立学生空间观念和形成几何直觉的重要载体，教学中应该注重学生空间想象能力及识图、画图、辨图能力的培养，让学生在实际生活中体会几何现象的存在，并利用所学的几何知识对现象进行解释[2]。下面我就以空间几何体这一章教学为例，创设情境实例数学新题，通过建模、解模、释模进行中职数学教学改革的探索。

一、情境实例题目源自生活，化枯燥为鲜活，使学生在快乐中学习

例1：上海迪士尼六大景区之一的“明日世界”，设计上采用大量弧线和穹顶造型，颇具科幻色彩，展现了高科技未来的无尽可能。其中“创极速光轮”项目，如图所示，是全球迪士尼乐园中最刺激的过山车项目之一。请问“创极速光轮”的一个车轮所形成的几何体可以近似地看成是（ ）。

【建模】上海迪士尼中深受大家喜欢的“创极速光轮”的车轮，抽象成学过的简单空间几何体，建立数学模型。情境实例数学问题归结为认识简单几何体。

【解模】以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，圆柱的上底面与下底面是全等的圆，圆柱的高与母线的长相等。所以，“创极速光轮”的车轮所形成的几何体就可以看成是上底面和下底面都与水平面垂直的圆柱，因此选B。

【释模】圆柱的上、下底面是全等的圆。

【设计意图】数学题目的创设源于实际，服务于生活，旨在引导学生关注身边的数学，从生活中发现或提出数学问题。数学解题的着力点是观察，“观”即看，是数学阅读，“察”即觉察，是明察秋毫，把题目的数学“钥匙”找到，从而解决这个问题。学生在阅读理解题目的过程中发展自学能力，获取知识，有效地培养学生的理解能力、思维能力、数学语言运用等方面的素养，培养对现实世界中数学现象的好奇心，培养学习数学的兴趣并增强学好数学的信心，形成良好的学习习惯，提高审美情趣。

二、情境实例题目应强调学生的思维参与，激发探究性

例2：如图所示，左边是一款小蝴蝶配对盒玩具，右边是一些几何体的积木，将这些积木从形状口中放入，培养儿童锻炼精细动作的技能。请问下边所给的几何体积木中，总共有（ ）几何体可以放入。

【建模】玩具积木就是一些简单几何体，将这些积木抽象成学过的简单几何体，建立直观图的数学模型。情境实例数学问题归结为直观图。

【解模】一个物体，从直观看上去的图形，叫作直观图，学生需要认识正方体、正三棱柱、圆柱等的直观图。右图从左到右分别是圆柱、正方体、正方体、圆柱、五角星棱柱、正三棱柱的直观图，其中两个圆柱放入左图右上方圆形的形状口中，两个正方体放入左图右下角正方形的形状口中，五角星棱柱放入左图左上方五角星的形状口中，正三棱柱放入左图左下方等边三角形的形状口中。总共6个几何体都可以放入相对应的形状口中，因此选D。

【释模】生活中需要将某件物品放置到某个固定的位置或区域，数学理论就是认识简单几何体的直观图，考查学生的发散思维和解决问题能力。

【设计意图】设置新颖的问题情境来发现或检测学生的创新思维的灵活性，将数学的本质隐藏在新颖的问题情境中，要求学生充分挖掘其中的信息，揭示其中的数学本质，使学生学会用数学的思维方式解决问题、认识世界，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。

三、情境實例题目创设要得体，体现真实性，展示数学价值

例3：2016年6月16日，上海迪士尼在庆典主会场“奇幻童话城堡”前举行盛大的开幕典礼，如图（1）所示，欢迎国内外游客前来参观游玩。随后，某开发商将“奇幻童话城堡”做成了旅游纪念品冰箱贴，供游客留作纪念，如图（2）所示。请问这款冰箱贴上的图案是三视图中的哪种视图（ ）。

【建模】将生活中常见的建筑场景图片与所学的视图知识进行对应。情境实例数学问题归结为三视图。

【解模】三视图一般能够反映物体的真实形状，而且能够说明各视图之间的对应关系及投影规律，应用非常广泛。从物体正前方看过去，画得的图形叫做主视图。本题中“奇幻童话城堡”所做成的冰箱贴图案就是此城堡从正前方看过去所得到的主视图。因此选A。

【释模】主视图可以从前方反映物体的某些特征。

【设计意图】本题以考查学生的空间观念为主要目标，要求学生能够熟练进行三视图与直观图的转化，有一定的逻辑思维能力，能够对给定的图形性质进行反思，展现知识形成和发展的过程，为学生提供感受数学文化和体验学习过程的机会，使学生在数学学习活动中获得新知、培养能力、发展情感。

四、情境实例题目应揭示数学的本质，让学生树立在生活中发现和解决数学问题的意识

例4：如图所示是迪士尼世界商店，坐落于上海迪士尼小镇，它的主体外形可以看成是由圆锥和圆柱构成。测得商店的最高顶点到地面的垂直距离为15米，圆柱的底面半径为12米，高为10米。

（1）画出此商店的主视图。

（2）求出此圆锥和圆柱的侧面积（π取3.14，结果取整数）。

（3）开业之时，商店的圆锥形顶部外墙涂上了绿色的乳胶漆，圆柱形的外墙（除去窗子的部分）涂上了白色的乳胶漆，假设所有窗子的总面积为360平方米，外墙乳胶漆的规格为每桶5升，理论上每升乳胶漆可以涂10平方米外墙，那么至少需要购买绿色的乳胶漆和白色的乳胶漆各几桶？（结果取整数）

【建模】如图1，创建组合体的主视图ABCDE，已知BC=2r=2×12=24米，AB=10米，E点到线段的CD距离为15米，求圆锥的侧面积和圆柱的侧面积。窗子的面积为10平方米，每桶乳胶漆5升，每升可以涂10平方米墙壁，求绿色和白色乳胶漆各需要几桶。情境实例数学问题归结为求圆锥和圆柱的侧面积以及相关的数学计算和应用。

【释模】商店的顶部圆锥侧面积为490平方米，需要10桶绿色乳胶漆，圆柱侧面积为754平方米，除去窗子的面积，需要白色乳胶漆8桶。

【设计意图】通过贴近生活的问题情境关注应用，看学生能否灵活运用所学数学知识解决数学问题以及在解决问题的过程中进行反思，提出有建设性的思考，用数学的方式进行交流合作。建模、解模、释模让学生见证数学怎样走进生活，又怎样从生活实际中提炼出完整过程，把探索实践的机会留给学生，把知识的形成过程还给学生。培养学生用数学观点和方法来考察周围事物的习惯，培养学生应用数学的实践能力，强化学生对数学应用的领悟能力和解决能力。

五、情境实例题目数据真实，以综合培养学生数学能力为主，让学生提炼数学的思想方法

例5：如图所示，是我们在饭店吃饭时餐桌上常见的沙漏，用于计算上菜的时间。

（1）假设当所有的细沙都在上半部分的容器内时，此时细沙所形成的几何体可以近似地看成是一个 。

（2）假设当所有的细沙都在上半部分的容器内时，测得细沙最上面的截面的最大跨度是5厘米，细沙的高是6厘米，请画出如图所示细沙都在上半部分容器时所形成的几何体的主视图，并且求出细沙所形成的几何体的体积（π取3.14，精确到0.01）。

（3）假设这款沙漏中的细沙从上到下流动的速度为0.02立方厘米/秒，饭店规定，每超时15分钟就送给顾客一杯饮料，那么如果沙漏中的所有细沙从上半部分全部流到下半部分，饭店还没有上菜，应该送给顾客几杯饮料呢？（结果取整数）

【建模】沙漏中的细沙在容器的上半部分时，形成的是一个倒置的圆锥，如下图所示，在△ABC中，AB=5，h=6，细沙从上到下流动的速度v=0.02立方厘米/秒，每超过15分钟送一杯饮料。情境实例数学问题归结为求圆锥的体积，并根据体积和细沙的流速，分析应该送几杯饮料。

【解模】（1）假设当所有的细沙都在上半部分的容器内时，此时细沙所形成的几何体可以近似地看成是一个圆锥。

（2）如下图所示为几何体圆锥的主视图。

【释模】沙漏中细沙所形成的几何体是圆锥，整个体积大约为39.25立方厘米，如果所有细沙从上半部分全部流到下半部分，饭店服务人员还没有上菜，按照每超时15分钟就送一杯饮料的方案，则需要送2杯饮料。

【设计意图】本题考查学生是否能够把所学知识应用到现实生活情境中，是否能够用数学知识和技能对实际问题进行解释、分析和推理，对解答的过程和结果进行交流、检验和反思。数学学习要与实践相结合，利用与生活实际有关的具体情境，使学生体验由生活情境中抽象出来的数学问题，即学会运用数学建模、解模、释模的思想方法，发展学生的空间观念和推理能力，培养学生用数学思维分析世界的数学素养[3]。

建模、解模、释模是从实际问题情境开始，运用数学知识，最后回到实际问题的螺旋式上升过程。如果我们把数学比喻成一艘船，那么船头就是数学的源头，是生活情境；数学解决就是船身，是知识方法；数学应用就是船尾，其实船尾对船是很重要的，强调了数学的应用价值，教师给学生的数学应该是整艘船，让学生感受到数学是有生命力的，数学的教育是鲜活的。

在解决数学情境实例题目的過程中，通过体验、感受、探究、应用等过程，提高数学建模、解模和释模的能力，针对源于生活实际的情境，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，提高数学思考、数学表达、数学交流和合作的能力，体会数学知识内容所蕴涵的基本数学思想、方法，培养学生未来发展所需的数学素养。

参考文献：

[1]上海市教育委员会.上海市中等职业学校数学课程标准[S].上海：华东师范大学出版社，2015.

[2]马萍，孙萍.PISA评价对“空间几何体”部分教学的启示[J].数学通报，2008，47（8）：13-18.

[3]胡松.以“数学素养”导引数学活动[J].数学通报，2017，56（1）：26-29，44.