采用类比推理方法探究2017年北京理科第18题

周开炎

在人类发展的历史上，类比推理方法被誉为科学活动中“伟大的引路人”“人类认知的核心”。在数学教学和研究中，通过类比推理方法可需寻求到解决数学问题和得出数学结论的方法和途径；可培养学生的发散思维、创造思维及合情推理能力.与之相对应的，高中新课标（实验）把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一。近年来，各地的高考试题中常出现类比思维的问题，同时很多高考题也适合进一步类比拓展。

2017年北京高考数学理科第18题是一道关于直线和抛物线位置关系的问题，试题朴实无华、平易简洁.笔者对本试题第（Ⅱ）小问进行了深入思考，采用类比推理的方法对试题进行了探究，得到了五个具有价值的推广结论.

一、试题及解答

已知抛物线 过点 .过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点.

（Ⅰ）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：点 为线段 的中点.

解：（Ⅰ）易求 .抛物线 的焦点坐标 ，准线方程为： .

（Ⅱ）易知直线 的斜率存在，设直线 ， .

由题意可知直线 ，直线 ，所以 .

由 消去 ，整理得 .

所以 .

因为

.

所以点 为线段 的中点.

二、采用类比推理方法推广试题结论

（一）从特殊类比到一般

通过取特殊值，容易判断出结论不再成立，也就是点 不再是线段 的中点.命题人是如何找到点 和点 这两个点的呢？还存在别的点吗？如果有，这两个点之间会有什么关系呢？

通过画图和计算，很容易看出过点 和点 的直线恰好与抛物线 相切.那么，在其它条件不变的情况下，是否过 轴上任意一点 作一条直线与抛物线相切于点 ，这样的一对点能使得点 为线段 的中点呢？

1.从特殊点类比到一般点

推广结论1：已知点 在抛物线 上，过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 （ 为原点）交于点 ，则点 为线段 的中点.

结论1对抛物线 成立吗？

2.从特殊抛物线类比到一般抛物线

求过点 的直线与抛物线的切点 .容易证明点 为线段 的中点.

于是，得到推广结论2.

推广结论2：已知抛物线 ，点 .过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点.则点 为线段 的中点.

由特殊向一般类比，丝丝相扣，既要求有良好的探究能力，同时也需要具有良好的发散性思维和合情推理能力.

（二）平行类比

由于抛物线与椭圆都属于圆锥曲线，具有很多相似的性质，应该可将这种特殊结论向同类相似问题类比.反之，熟练的运用类比推理的方法将这种特殊结论进行平行类比，也有利于加强知识之间的横向联系，加深对知识的深刻理解.

1.从抛物线类比到椭圆

结论2能否推广到椭圆呢？

回到结论2，容易发现 轴恰好与抛物线 相切于顶点，抓住这个特征，将结论推广到椭圆中.

推廣结论3 已知椭圆 ，点 .过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 .则点 为线段 的中点.

2.从抛物线类比到双曲线

类比将结论推广到椭圆的过程，容易得到结论4.

推广结论4已知双曲线 ，点 .过点 作直线 与双曲线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 .则点 为线段 的中点.

（三）联想类比

将上述结论作更一般化的推广，易得到结论5.

推广结论5：已知圆锥曲线 ，过点 作曲线 的两条切线，切点记为 .过点 作直线 与曲线 相交于点 ，过点 作平行于直线 的直线 分别与直线 交于点 .则点 为线段 的中点。

在高中数学教学中，教师不但要善于利用类比推理，而且要有意识地对学生进行类比训练，促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比推理，找出解决问题的办法.这样不仅能拓展其思维的领域，而且有助于发展学生的创造性思维和能力.