一道网络研讨问题的命题立意与解法探寻

郑冰心 陈少毅

摘 要：随着信息化时代的到来，网络教研成为传统教研的延伸，引领着老师们专业的提升与成长，也孕育出许多新题型新方法。现将最近我市在网络研讨中热议的一道问题的命制及解法讨论呈现给大家，以展示网络教研的新活力。

关键词：网络教研；命题立意；解法探究

1 问题出处与命题立意

1.1 问题呈现

图1如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P为BC边上一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交AB于Q。求线段BQ的最大值。

1.2 问题出处

在我市开展的一次命题研讨与培训活动中，一位老师呈现了如下的命题：

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P是BC边上一个动点，连结AP，作PQ⊥AP交CD于点Q。

（1）求证：△ABP∽△PCQ；

（2）设BP=x，CQ=y，求y与x的函数关系式；

（3）若点E是AQ的中点，连结DE，PE，求DE+PE的最小值。

本题虽然脱胎于常见的正方形中的一线三等角问题，但其第三问又高于常规地对第（2）小题的直接或简单运用的问题，如：“求CQ的最大值”或“求△ADQ面积的最小值”，这样的问题没有太大的思维含量。而求“DE+PE的最小值”，需要学生具备较强的化归转化能力，能将问题转化为求AQ的最小值，进而求CQ的最大值，将几何最值问题与函数关系式建立联系，体现了数形结合的思想；同时还要求学生能突破两点之间线段最短的思维定势。这样的问题设置有一定的思维高度，具有较强的选拔功能。

会后，笔者进行了反思，本题的命制与解题的关键在于一线三等角所构造的相似，因此试题背景不囿于正方形，也可以是矩形；再特殊一些，例如连接AC，或还可构造出新的关系。基于以上认识，于是在我市网络教研群中抛出了上述命题。

1.3 命题立意

本题以直角三角形为背景，以直角关系为主线，构造几何最值的求解问题。由于是比较熟悉的图形与构造方式，便于解题者思路的打开与先前方法的迁移应用；但试题有别于原题的图形特征，需要在求解中添加适当的辅助线，给解题带来了一定困难，体现了试题变式改造中基于原题、适度创新的命制原则。本题所展现的进易求难的命题方式，也正是很多中考压轴题所体现的命制方向。

由于只是一道供教师研讨的网络教研问题，试题只呈现了最终的问题，并没有进行适当的铺垫与小题设置，为后续的变式改造创造了条件。由于本问题经过搜索，尚未见诸网络，有利于老师们独立思考，并开展网络研讨，也为他们今后利用该问题编制例题或试题提供了很好的素材。

在本题的求解中，需要应用先前解决正方形等图形中“一线三等角”的经验，因此有助于教师关注对一类问题本质的探寻，而非一味地沉迷于题海战术；同时引导教师在例习题的教学中重视对解题方法的提炼，而非解题过程的展示；本题命制中所体现的变式方式，可促进老师们在变式教学中强化对问题结构的认识，让学生在有限的解题教学中融会贯通，解一通百。

2 关于问题求解的网络研讨

2.1 基于先行解题经验的解法探索

如图3，若将Rt△ABC补全为矩形，则会联想运用先前采用的相似方法求解问题，在网络研讨中，主要有以下两种方法。

以上兩种方法，均从原来矩形中“一线三等角”的解题经验入手，由相似三角形构造方程或函数模型，进而得到问题的结论。然而，上述两种解法最后的解决都依赖于高中的数学知识，解法1需要求解二次不等式，解法2则利用了均值不等式。显然这些高中的知识与方法并非绝大多数初中学生所能掌握，若作为中考试题也不利于正确的教学导向。

2.2 基于垂线段最短的解法展示

从总的方向看，上述两种方法都倾向于用代数方式解决问题，

而且或多或少地运用了高中知识。那么有无用初中所学就能完成的方法呢？部分老师给出如下解法。

上述两种解法，解题的关键都是利用点到直线的距离垂线段最短（或弦心距小于半径），只是解法3利用直角∠APQ构造了一个隐形圆，而解法4则是直接利用直角三角形的性质。这两种解法，都要求学生有较强的化归转化能力和代数表达与运算能力。借助上面的隐形圆，有老师又给出了另一种解法。

2.3 基于临界思想的解法表达

解法5：令点Q从点A向点B运动，以AQ为直径作⊙O，设⊙O的半径为r，点O到BC的距离为d.随着点Q的运动，r在不断增大，当时，⊙O与BC无交点，即在BC上不存在点P，使得∠APQ=90°；当时，⊙O与BC有唯一的公共点；此后，随着r的增大，⊙O与BC有交点，但BQ不断变小。

而当时，由相似可得，解得，此时BQ=2.5。

综上分析，线段BQ的最大值为2.5。

此种借助临界思想的解法，容易被学生所接受。但学生在思考时更多地是基于几何直观的合情推理，而不是也难于进行严密的逻辑表达。因此，教师要强化从合情推理到演绎推理过渡的教学。

3 网络研讨的后续思考

纵观本次网络研讨，众多老师能踊跃参与，得益于拥有一个宽松便捷的网络平台， 更主要的因素在于提供了一个可供研讨的好习题。一个好的研讨习题必须具有原创性、解法的多样性和可拓展性。原创性是激发教师积极思考的内在动力，试想如果只是提供一道陈题，手机一搜便有答案，岂不太低估老师的智慧，浪费大家的精力；解法的多样性有助于不同思维习惯学生进行解答，同时也避免了一条道走到黑的局面，也让网络研讨持续进行成为可能；可拓展性让研讨习题充满活力，例如本道习题，老师们还可在原题的基础上加以变式改造，或辅于前导性问题，降低解题的难度，或改变设问的角度，如求点Q的轨迹长，隐蔽问题结论。但不论何种改造，命题变式的关键要推陈出新，服务教学与考试，若对于课堂训练，则要侧重典型引领，关注解题思路的总结与提升；若对于考试命题，则要追求背景新颖，渗透数学思想方法的考查，体现对学生创新意识的考查。