半群的开分性

摘要：本文对半群的开分性进行了讨论，得到如下结论：如果半群S为无则半群，可生成一个奇半群，任意包半群对于半群的运算具有相容性，满足全向分解条件.S的任意扩导半群都有与之对应的逆算，并且每个扩导半群都是全分解的，则半群S为一个开分半群.或者后面条件改为S中存在方向元，使得其对应的正则元具有向深性，S的任意扩导半群都有与之对应的逆算，则半群S亦为一个开分半群。

关键词：开分性；可逆分解；奇半群；相容性

中图分类号：O152.7文献标识码：A

本文将讨论关于半群开分性的几个问题。

定义：设B为半群S的可容包半群，对于半群的运算以及可容运算构成环，并且满足开合逆算条件，如果对B进行S上的可逆分解，使B成为无限奇半群，如果半群S是这个奇半群的生成半群，则称半群S为一个开分半群。

定理 1：如果半群S为无则半群，可生成一个奇半群，任意包半群对于半群的运算具有相容性，满足全向分解条件.S的任意扩导半群都有与之对应的逆算，并且每个扩导半群都是全分解的，则半群S为一个开分半群。

证明：由于半群S为无则半群，则对S的任意扩导半群都至少有一个相邻半群T，使得半群T与半群S的一个无则扩导半群的核都有偏则半群.设这个偏则半群为D，则D外必有无核扩导半群，并且无核扩导的商半群必有偏子群.满足合得条件，因此半群S存在多个逆向非等扩导半群，且这些逆向非等扩导半群具有逆偏向性。

设BD，BΚD=S，则eKaD，

所以pD，qT，pq∈B。

因为S的任意逆向非等扩导半群都具有逆偏向性，设F为S的一个逆向非等扩导半群，

则由逆向非等扩导半群的一般性质，考虑到半群S为无则半群，满足合得条件，知pq∈BΔDΠS，n＼m∈B，使得mn∈DF，

又由于mn为逆向元，故

g、hD，有gh≠pqΠf 。

由于S可生成一个奇半群，并且任意包半群对于半群的运算具有相容性，满足全向分解条件.所以存在扩导半群T，使得T中存在自半群，设D为T中的自半群，则半群S中的存在相应的冪等半群B，对于半群的运算以及可容运算构成环，又因为

n＼m∈B，使得mn∈DF，

又由于S的任意扩导半群都有与之对应的逆算，而

BD，BΚD=S，g、hD，有gh≠pqΠf，

所以B为半群S的可容包半群，由于对于半群的运算以及可容运算构成环，从而D外的无则扩导半群T，使得mnΠT 。

因此S满足开合逆算条件，又由于半群S为无则半群，所以，如果对B进行S上的可逆分解，B成为无限奇半群，而半群S是这个奇半群的生成半群，

因此半群S为一个开分半群。

定理 2：如果半群S为无则半群，可生成一个奇半群，任意包半群对于半群的运算具有相容性，满足全向分解条件.S中存在方向元，使得其对应的正则元具有向深性，S的任意扩导半群都有与之对应的逆算，则半群S为一个开分半群。

证明：设半群S中存在方向元，使得其对应的正则元具有向深性，由于半群S为无则半群，所以半群S可分解为n个偏向子半群的逆向积，不妨设这n个偏向子半群为

T1，T2，…Tn，

而D为半群S的逆向非等扩导子半群，F为S的全向分解子半群，则

n＼m∈B，使得mn∈DF，

由于半群S为无则半群，则对S的任意扩导半群都至少有一个相邻半群T，使得半群T与半群S的一个无则扩导半群的核都有偏则半群.设这个偏则半群为D，设偏向元p，则存在成子元q，使得

pq∈BΔDΠS，

由扩导半群的性质知，T1，T2，…Tn，可生成外向分和半群，又由于D外必有无核扩导半群，并且无核扩导的商半群必有偏子群.使得偏子群满足可分条件.而S满足合得条件，因此半群S存在多个逆向非等扩导半群，且这些逆向非等扩导半群具有逆偏向性.所以可以分离F的偏向元为成子元的積.从而使得F可分解为外向分和半群的积。

T外的任意扩导半群都有其对应的偏则半群，所以由扩导半群的性质知，逆向扩导半群存在相应的逆向生成半群.设D为T的一个逆向生成半群半群，则S中存在一个成子元a，对a进行有限次的偏向分解，使a可变为一个可逆向成子元，则a∈T，a在这一分解过程中保持其成子性不变。

下面证明如果对D进行S上的可逆分解，可使D成为无限奇半群，

因为半群S为无则半群，可生成一个奇半群，所以有逆向元存在偏向性，设a可变为一个可逆向成子元，设a1，a2，…anD是S中存在偏向性的逆向元，由此可产生的偏向元。则由偏向元的性质可以导出一列元b1，b2，…，bn.从而可以进行T与D的扩导，使得该扩导满足偏向性.因为S为无则半群，所以b1，b2，…，bn是半群S的逆向元。由于每个扩导都有由逆向元生成，所以

aiTi，ai的包含元bi，使得biD，从而aiT1ΔT2Δ…ΔTn，

又因S存在多个逆向非等扩导半群，

所以a1，a2，…anD， 因此

a=a1a2…an，

因为b1，b2，…，bn是偏向元，所以有b1，b2，…，bnD，因此，如果设B为半群S的可容包半群，因为b1，b2，…，bn是偏向元，B对于半群的运算以及可容运算构成环，而

b1，b2，…，bnD。

由于任意包半群对于半群的运算具有相容性，满足全向分解条件。S中存在方向元，使得其对应的正则元具有向深性，S的任意扩导半群都有与之对应的逆算，因此B满足开合逆算条件，如果对B进行S上的可逆分解，则a=a1a2…an，故B成为无限奇半群，由偏向元的外向性，a可分解为逆向元的积.显然半群S是这个奇半群的生成半群，因此半群S为一个开分半群。

参考文献：

[1]Ponizovskii.J.S，Semigroup rings[J].Semigroup Forum，36（1987），146.

[2]马晨江.关于半群的原单集[J].科技研究，2014，1，578.

[3]Howie.J.M，An Introduction to Semigroup Theory[M].Acedemic Press Inc.（London），1976.

作者简介：马晨江（1965），男，讲师，硕士。