联系数四则运算的证明与联系数群

张玲 张亚飞 张立舒

【摘要】联系数是集对分析中的一个重要概念，是研究不确定性的一种新的数学方法.首先，本文介绍了联系度和联系数的基本概念及四则运算性质，给出了运算性质的详细证明过程；其次，在联系数的四则运算的基础上，结合群论的知识给出了联系数群的概念，它是联系数理论的推广与延伸.研究结果丰富了联系数理论，有重要的理论意义.

【关键词】联系度；联系数；四则运算；联系数群

在信息、系统和控制领域中，不确定性一直困扰着人们的工作.赵克勤[1]于1989年提出的集对分析，从两个集合同（同一）异（差异不确定）反（对立）这个角度研究不确定性，对不确定性加以客观承认、系统刻画、具体分析的态度，从而使研究结果更加贴近实际[2].而联系度是集对分析方法的基石，联系数是由联系度的概念引申而来，联系数用数学的语言给出了一个基于集对分析的重要理论——不确定性系统理论，联系数是描述“不确定量”的一种有效的数学工具.因此，研究联系数理论变得十分重要.

群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数中一个比较古老且内容丰富的重要分支，在数学、物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛的应用.在自动机理论中用到半群与群，在信息安全与编码理论中也用到群.本文在联系数理论的基础上，给出了联系数群的概念，本文的研究结果丰富了联系数理论，有重要的理论和实际意义.

一、联系度、联系数原理

（一）联系度的概念

定义1 给定2个集合A和B，并设这2个集合组成集对H=（A，B），在某个具体问题背景（设为W）下，我们对集对H的特性展开分析，共得到N个特性，其中，有S个为集对H中的两个集合A和B所共同具有；在P个特性上集合A和B相对立，在其余的F=N-S-P个特性上既不相互对立，又不为这2个集合所共同具有，则称比值：

SN为这2个集合在问题W下的同一度，简称同一度；

FN为这2个集合在问题W下的差异度，简称差异度；

PN为这2个集合在问题W下的对立度，简称对立度；

二、联系数的概念及其运算

联系数是由联系度引出来的，它把“数”与“值”联系起来，用于研究宏观系统间的确定性与不确定性关系.

（一）联系数定義

设μ=a+bi+cj，则称μ为联系数.其中，a，c为任意实数且符号相同，b为非负实数，b，c分别称为不确定数和对立数，i是一个不确定量，i∈[-1，1]且需根据问题的具体情况不确定取值，有时i也可仅作为一个不确定量的标记使用，j为对立标记，在定量计算时，可根据实际应用背景规定j取-1或+1之一.

联系数虽由联系度的概念引申而来，但与联系度又有区别，这就是联系数中a，b，c不再局限在[0，1]这个区间，而可以是任何正数.即对于联系数a+bi+cj，有约束条件a+b+c=k，k≥1.引进联系数的目的是为了应用上的方便，但其理论意义则在于拓广了数的概念.广泛应用于实践中的联系数形式是a+bi.如果有约束条件a+b≥k，a>0，b>0，可以根据需要，把a+bi型联系数简写成a，而不写出bi这一项，并称a是联系数a+bi中的可确定项，或可确定数或定数；bi是联系数a+bi中的不确定项或不确定数.

由上分析，可初步看出联系数的意义：

（1）联系数把可确定数与其所在范围联系起来.联系数与问题背景的范围有关.例如，0.6这个数，可以与1联系起来，则可以表示为0.6+0.4i，不同的问题涉及的范围不一样，联系数的表达式也会不同.

（2）联系数把数与值联系起来.同一个可确定数与不同的范围联系在一起时，事实上会使这个确定数具有不同的值.也就是说，平时说的数值既可以理解为同一个意义，也可以是不同意义的组合，即数与值的组合.

（3）联系数把宏观层次上的确定量和微观层次上的不确定量联系起来.例如，i=-0.5时，0.6+0.4i=0.4.等式右边的0.4既是联系数0.6的表达式0.6+0.4i当i=-0.5时所得结果，也是一个新的联系数0.4+0.6i的确定项的表达.因此，对于一个联系数的不确定项来说，从这个“不确定部分”中“拿走”一部分，不一定会使这个不确定项“变小”，相反，有时会“变大”.这说明对联系数中的不确定项进行处理时，其结果存在分叉现象，即：既可能减少原有的不确定性，也有可能增加原有的不确定性，有可能既没有增加又没有减少原有的不确定性.当i=-1时，联系数a+bi就转化为a+cj形式.

联系数的意义不仅在于把一个具体的数与这个数所在的范围联系起来，更在于把一个具体的数与它所在范围内的确定性与不确定性联系起来，使得一定范围内的确定性与不确定性的相互联系、渗透、制约与转化在数量上得到客观的反映，从而为研究复杂系统中众多的不确定性问题提供了新的数学工具.

由联系数的这些运算性质我们可以按照近世代数里群的定义，给出联系数群的概念，下面详细介绍联系数群的相关内容.

四、结 论

集对分析是一种新的不确定系统理论.其理论特点是把确定性与不确定性作为一个系统来进行处理.联系数是刻画不确定性的一个数学工具.该工具以简洁的数学形式反映出集对分析对不确定性采取的“客观承认、系统描述、定量刻画、具体分析”的方法论特点，其处理不确定性问题的优越性越来越受到人们的重视.本文则进一步指出了联系数的运算规则并首次给出联系数群的概念.本文的研究丰富了联系数理论，给后续的研究奠定了基础，有实际的应用价值.

【参考文献】

[1]赵克勤.集对分析及其初步应用[M].杭州：浙江科学技术出版社，2000.

[2]信息处理集对分析[M].北京：清华大学出版社，2015.

[3]黄德才，赵克勤，陆耀忠，等.a+bi+cj型联系数的四则运算及其应用[J].机电工程，2000（3）：81-84.

[4]赵克勤.集对分析对不确定性的描述和处理[J].信息与控制（3）：162-166.